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辽宁省五校协作体2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案


2014-2015 学年度上学期省五校协作体高三期中考试

数学(理)试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分;考试时间:120 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂在答题卡上. 3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上, 用钢笔或圆珠把Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位

置上.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共有 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。

1.已知集合 A={x||x|<3},B={x|y=lg(x-1)},则集合 A∩B 为 A.[0,3) B.[1,3) 且为偶函数的是 B. y=sin(2x+ 2 ) C. y=sin(x+ 2 ) D. y=cos(x2 ) C.(1,3) D.(-3,1]

2.下列函数中周期为 A. y=cos(2x2 )

3.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“?x R, 均有 x2-x+1>0”的否定是:“?x B.“x=3”是“2x2-7x+3=0”成立的充分不必要条件

R, 使得 x2-x+1<0”

?x ? a ? ?b ? 对应的直线一定经过其样本数据点(x1,y1), C.线性回归方程 y

(x2,y2),?,(xn,yn)中的一个点 D.若“p ( q)”为真命题,则“p q”也为真命题 4.已知平面向量→ a =(2m+1,3), → b =(2,m),且→ a 与→ b 反向,则|→ b |等于 10 2 A. 7 B. 5 或2 2 2 C. 5 2 D. 2 2 1 ,且当 x f(x) [-3,-2]时,f(x)=4x,

5.设偶函数 f(x)对任意 x 则 f(107.5)= A.10 B. 1 10 x+

R 都有 f(x+3)=-

C.-10

D.-

1 10

6.函数 f(x)=Asin( 正确的是

)(A>0,

>0,|

|<

2

)的图象如下图所示,则下列说法
1

y
O 5 6

-1-

-

6

x

A.对称轴方程为 x=

3

+2k

(k

Z)

B.

=-

6 3 2 ,5 6 )上单调递减

C.最小正周期是 7.已知 f(x)=sin(2014x+ 对任意实数 x 总有 f(x1) A. 1007 B. 2014

D.f(x)在区间()+cos(2014xf(x)

6

3

)的最大值为 A, 若存在实数 x1,x2,使得 )

f(x2)成立,则 A|x1-x2|的最小值为( C. 2 1007 D. 2 1007

8.已知向量→ a =(2,1) ,→ a ·→ b =10,|→ a +→ b |=5 2,则|→ b |=


A.5

B.25

C. 5 0,x 0,y

D. 10 0},N={(x,y)|y ) D. 7 6 x,y

BC

9.已知集合 M={(x,y)|x+y-2

0},则集合
长 度 为 a,



M∩N 中的点所构成的平面区域的面积为( A. 7 9 B.1 C. 3 4

同 10.已知数列{an},定直线 l:(m+3)x-(2m+4)y-m-9=0,若(n,an)在直线 l 上,则数 理b 列{an}的前 13 项和为( ) A.10 B.21 C.39 D.78 c

11. 已知 {an} 为等差数列 ,0<d<1,a5 ≠ 的前 n 项和,若 Sn S10 对一切 n

k 2

,sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7,Sn 为数列 {an}
3A C=

AB-

N*都成立,则首项 a1 的取值范围是( 5 9 C. (- ?,- ?] 4 8 5 9 D.[- ?,- ?] 4 8



9 9 A.[- ?,-?) B.[- ?,-?] 8 8

ABAC2A

12.已知函数 f(x)在[0,+∞)上可导, 其导函数记作 f f(x),当 x [0, )时, f (x)· cos2x>f(x)· sin2x-f n }的前 n 项和为 k2n C.n·2n-1

C= 1 (x), f(0)=-2,且 f(x+ CB)= 2

(x),若方程 f(x)+knsecx=0
C (A B-3

2A

在[0,+∞)上有 n 个解,则数列{

A.(n-1)·2n+1

B.(n-1)·2n+1+2

D.

(2n-1)·3 +1 4

n

AC ) ⊥ CB (C B-2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
-2-

AC ) *CB =0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
13.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB=b,则 =______ . →,OC →, →|=1,|OB →|= 3,|OC →|=1, → → → 14.平面上三个向量→ OA,OB 满足|OA OA· OB=0, 则→ CA· CB 的最大值是__________。 15.在数列{an}中, a1≠0,an+1= 3an, Sn 为{an}的前 n 项和。 记 Rn= 的最大项为第_____ 项。 82Sn-S2n ,则数列{Rn} an+1 a b

16.设 f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意 x,y∈R,均有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2014 成立,若函数 g(x)=f(x)+2014x2013 有最大值 M 和最小值 m,则 M+m=_________

三、解答题:本大题共 6 小题,总计 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 10 分) 3 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=1,c= 2,cosC= 。 4 (1)求 sinA 的值; (2)求△ABC 的面积。

18. (本小题满分 12 分) 已知向量→ a =(2cosx, 3sinx),→ b =(cosx,-2cosx)设函数 f(x)= → a ·→ b (1)求 f(x)的单调增区间; (2)若 tan = 2,求 f( )的值.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax+ 1-x (a>0) ax

(1)用单调性的定义判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性并加以证明; (2)设 f(x)在 0<x 1 的最小值为 g(a),求 y=g(a)的解析式。

-3-

20.(本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+an=1,数列{bn}满足 b1=4,bn+1=3bn-2; (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足 cn=anlog3(b2n-1-1),其前 n 项和为 Tn,求 Tn;

21.(本小题满分 12 分) 设 f(x)=xlnx,g(x)=x2-1 (1)令 h(x)=f(x)-g(x),求 h(x)的单调区间; (2)若当 x≥1 时,f(x)-mg(x)≤0 恒成立,求实数 m 的取值范围;

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(x2–a+1)ex,g(x)=(x2-2)ex+2. (1)若曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线为 l: y=2ex+b,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在[-3,1]上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 f(x)有两个不同极值点 m,n (m<n) ,且|m+n|≥|mn|–1,记 F (x)=e2f(x)+g(x), 求 F(m)的最大值.

2014-2015 学年度上学期省五校协作体高三期中考试

高三(理)数学试题参考答案及评分标准
一.选择题: CBBDB, DAADC, DA 二.填空题_ 13. 1 14. 3 15. 4; 16. -4028 17.(本小题满分 10 分) a c 1 2 解: (Ⅰ)由正弦定理得: = 即: = sinA sinC sinA 7 4 ∴sinA= 14 ?????????????????????????4 分 8 2 2 2 (Ⅱ)由余弦定理得:c =a +b -2abcosC 2b -3b-2=0
2

3 2 即:2=1+b -2b× 4 ∴b=2

(2b+1)(b-2)=0 ???????????????????8 分
-4-

1 1 7 7 ∴S△ABC= absinC= ×1×2× = 2 2 4 4 18.(本小题满分 12 分)

???????????10 分

f(x)= → a ·→ b =2cos2x-2 3sinxcosx=1+cos2x- 3sin2x=1+2cos(2x+

3

)???3 分 k 6 k k

(1)当 2k Z

-

2x+

3

?2k

时, f(x)单调递增, 解得: k 2 3

-

2 3

?x

∴ f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 [k Z
(2)f( ??????????7 分 )=2cos
2

2cos2

,k

-

6

]

-2 3 sin

cos

=

-2 3sin cos sin2 +cos2

=

2-2 3tan 1+tan2

=

2-2 6 3

??????????????????????12 分

19.(本小题满分 12 分) 1 1 (1)f(x)=ax+ ax a 1 1 f(x)在(0, )上是单调递减的,在( ,+∞)上单调递增的;??????2 分 a a 下面证明: 1 设 x1,x2 是(0, )上的任意两个值,且 x1<x2,则△x=x2-x1>0 a 1 1 1 1 x1-x2 △ y=f(x2)-f(x1)=ax2+ -ax1=a(x2-x1)+ = a(x2-x1)+ ax2 ax1 ax2 ax1 ax1x2 2 1 a x1x2-1 =(x2-x1)(a)=(x2-x1)· ax1x2 ax1x2 1 1 1 ∵ 0<x1< ,0<x2< ∴ 0<x1x2< 2 ∴ 0<ax1x2<1 ax1x2-1<0 又 △ x= x2-x1>0, a a a

ax1x2>0 ∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴f(x)在(0, )上是单调递减,同理可证 f(x)在( ,+∞)上单调递增; ????7 分
1 (2)当 0< 1 即 a 1 时,f(x)在(0,1]上单调递减,∴fmin(x)=f(1)=a a 1 1 1 1 1 当 >1 即 0<a<1 时,f(x)在(0, ]单调递减,在[ ,1]单调递增,∴fmin(x)=f( )=2a a a a a a(,)a 1 ? ? ∴g(a)= ? 1 ???????????????????????12 分 2- (,)0<a<1 ? a ? 20.(本小题满分 12 分) 1 (1)①当 n=1 时,a1+S1=1 ∴a1= 2 ②当 n 2 时,an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1)=an-1-an 1 ∴an= an-1 2 1 a 1 a

-5-

1 1 ∴数列{an}是以 a1= 为首项,公比为 的等比数列; 2 2 1 1 n-1 1 n ∴an= ·( ) =( ) 2 2 2 ???????????????????3 分

∵bn+1=3bn-2 ∴bn+1-1=3(bn-1) 又∵b1-1=3 ∴{bn-1}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列 n n ∴bn-1=3 ∴bn=3 +1 ???????????????????6 分 1 n 1 n 2n-1 (2)cn=( ) ·log33 =(2n-1)·( ) 2 2 1 1 2 1 3 1 n-1 1 n Sn=1× +3×( ) +5×( ) +?+(2n-3)·( ) +(2n-1)·( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n+1 Sn=1×( ) +3×( ) +5×( ) +?+(2n-3)·( ) +(2n-1)·( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n-1 1 n 1 n+1 (1- )Sn =1× +2[( ) +( ) +?+( ) +( ) ]-(2n-1)·( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n-1 ( ) (1-( ) ) 2 2 1 1 n+1 1 1 n-1 1 n+1 3 = +2 × -(2n-1) · ( ) = +1-( ) -(2n-1) · ( ) = -4 × 2 1 2 2 2 2 2 12 1 n+1 1 n+1 ( ) -(2n-1)·( ) 2 2 3 1 n+1 = -(2n+3) ( ) 2 2 2n+3 ∴Sn=3- n 2 21. (本小题满分 12 分) 解: (1)h(x)=xlnx-x2+1 h (x)=lnx+1-2x 令 t(x)=lnx+1-2x t 1 1-2x (x)=x -2= x t(1/2)=-ln2<0 ?????????????????6 分 (x-1)+(1-2x)=-x<0 证明 h (x)<0,同样赋分) 1 (x)= -2m x 即G (x) 0 0 ??????????????12 分

∴t(x)在(0,1/2) (1/2,+∞) ∴t(x) 即 h (x)<0 ∴h(x)在(0,+∞)上单调递减 (也可以先证明 lnx x-1,再由 lnx+1-2x 2 (2)令 F(x)=xlnx-m(x -1) 则F ①当 m (x)=lnx+1-2mx 1 时,∵x 2 1

令 G(x)=lnx+1-2mx 1 ∴ ?1 x 1 ∴ -2m x

则G 0

∴G(x)在[1,+∞)上单调递减 ∴G(x) G(1)=1-2m 即 F (x) 0 ∴F(x)在[1,+∞)上单调递减 ∴F(x) F(1)=0 ∴f(x)-mg(x)≤0 ∴m 1 合题意; 2
-6-

②当 m 0 时,显然有 F (x)=lnx+1-2mx ∴F(x)>F(1)=0 即 f(x)-mg(x)>0 1 ③当 0<m< 时, 令 G 2 ∴G(x)在[1, ∴F(x)在[1,

0 ∴F(x)在(1,+∞)上单调递增 不合题意 1 1 (x)= -2m<0 解得:x> x 2m 即F (x)>0

1 1 (x)= -2m>0 解得:1<x< ,G x 2m G(1)=1-2m>0 (0,

1 ]上单调递增,∴G(x) 2m 1 ]上单调递增 ∴当 x 2m 不合题意

1 )时,F(x)>F(0)=0 2m

即 f(x)-mg(x)>0

综合①②③可知,m

1 1 ,合题意∴m 的取值范围是[ ,+∞)??????????12 分 2 2 由题意:f 解得:a=2

22. (本小题满分 12 分) 解: (1)f (x)=(x2+2x-a+1)ex (1)=(4-a)e=2e

∴f(x)=(x2-1)ex

又 f(1)=0=2e+b, ∴b=-2e

??????????????4 分

(2)若函数 f(x)在[-3,1]上是单调递增函数 则f (x)=(x2+2x-a+1)ex≥0 在[-3,1]上恒成立,即 x2+2x-a+1≥0

a≤x2+2x+1=(x+1)2 在[-3,1]上恒成立,∴a≤0 若函数 f(x)在[-3,1]上是单调递减函数 则f (x)=(x2+2x-a+1)ex≤0 在[-3,1]上恒成立,即 x2+2x-a+1≤0

a≥x2+2x+1=(x+1)2 在[-3,1]上恒成立,∴a≥4 综上,若函数 f(x)在[-3,1]上是单调函数,则 a 的取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞) (3)令 f (x)=0 得:x2+2x-a+1=0 即 a>0 ∴|a-1|≤3 ?8 分

由题意:△=4-4(1-a)=4a>0

且:m+n=-2,mn=1-a(m<n) ∵|m+n|≥|mn|–1 ∴0<a≤4 ∵f (m)=(m2+2m-a+1)em=0 ∴a= m2+2m +1 ∴-3≤m<-1
2

∴0<m2+2m +1≤4

∴-3≤m≤1 且 m≠-1
2

又∵m<n
2 x+2

F(x)=(x –a+1)e +(x -2)e =(2x –a-1)e

x+2

x+2

F(m)= (2m2–a-1)em+2=(m2-2m-2)em+2
F (m)=(m -4)e
2 m+2

∴F(m)在[-3,-2]上单调递增,在[-2,-1)上单调递减 ∴Fmax(m)=F(-2)=6 ???????????????????12 分

-7-


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