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不等关系与不等式111


普通高中课程标准试验教科书

3.1不等关系与不等式

郯城二中高二数学组

一、新课引入

横看成岭侧成峰,远近高低各不同。
宋—苏轼《题西林壁》

生活中的实例 探究(一):用不等式(组)表示不等关系 1、今天的天气预报说:明天最低温度t为7℃,明 天最高温度t为

13℃;
温度t大于或等于7℃且小于或等于13℃

7 ? t ? 13

2、在限速40km/h的路段,要求司机在该路段行 驶时,应使汽车的速度 v不超过40km/h ;
速度 v大于0且小于或等于40km/h
0 ? V ? 40

3、某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含 量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%;
脂肪的含量f大于或等于2.5%且 蛋白质p的含量大于或等于2.3%

用不等号连接的表示不等关系的式子叫做不 在数学中,我们用什么来表示这些不等关系? 等式。常用的不等号有: ≠、>、<、≥、≤.

? f ? 2.5% ? ? p ? 2.3%

小试身手:(你一定可以)
用不等式表示下面的不等关系: 1、a与b的和是非负数;

2、某公路立交桥对通过车辆的高度 h “限高4m” 3、设点A与平面α的距离为d,B为平面α上的任
意一点,则d与|AB|具有怎样关系呢?

A d

1、 a ? b ? 0
2、 0 ? h ? 4
3、 d ? AB

B

C

问题1:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以 售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元销售 量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价 设为 x 元,怎样用不等式表示销售的总收入不低 于20万元呢? x ? 2.5 ? 0.2 分析: 销售量减少了多少? 0.1

现在销售量是多少?
销售总收入为多少?

x ? 2.5 8? ? 0.2 0.1
x ? 2.5 (8 ? ? 0.2) x 0.1

解: 不等关系是:销售的总收入不低于20万元. 用不等式表示为:

x ? 2.5 (8 ? ? 0.2) x ? 20 0.1

问题2:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求, 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍 怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢? 分析:假设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢 管 y根。 由题意知:题目中有怎样的不等关系呢? 解:满足所有不等关系的不等式组为: (1)截得两种钢管的总长度不 ?500 x ? 600 y ? 4000 能超过4000mm; ? ?y ? 3x (2)截得600mm钢管的数量不能超 过500mm 的钢管数量的3倍; ? ?x?0 (3)截得两种钢管的数量都不 ? ?y?0 能为负. ? ? ? x, y ? N 考虑到实际问题的意义,还应有x, y ∈N*

练习:某学校计划使用不超过5000元的资金购 买单价分别为60元、70元的试验仪器和化学药 品,根据需要,试验仪器至少买33套,化学药 品至少买15瓶,写出满足上述所有不等关系的 不等式. 设学校购买试验仪器x套,化学药品y瓶. 由题意可得不等式组为:

?60x ? 70 y ? 5000 ? x ? 33 ? ? y ? 15 ? ? ? ? x, y ? N

探究(二):实数大小比较的基本原理

设在数轴上表示实数a和b的两个点分别为A和B, 点A和点B在数轴上的位置关系有几种:
a b O A B b O B a (b) O A(B) a A b O B a A a A x

x
x

a >b
a=b

x

a <b

如果 a ? b ? 0,那么 a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b 如果 a ? b ,那么 a ? b ? 0 ;a ? b反之成立吗? ? a ?b ? 0

实数比较大小的基本原理:

a ?b ? 0 ? a ? b

a ?b ? 0 ? a ? b
a ?b ? 0? a ? b
基本原理的主要作用:比较两个数的大小关系

例1:比较 x ? y ? 1与 2 ? x ? y ?1? 的大小. 2 2 x ? y ? 1? ? 2 ? x ? y ? 1? “作差比较法” 解:?
2 2

配 方 法

? x ? y ? 1 ? 2x ? 2 y ? 2 2 2 ? ? x ? 2 x ? 1? ? y ? 2 y ? 2
2 2

作差 变形 判号
定论

? ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2
2 2
2 2

Q ? x ? 1? ? 0, ? y ? 1? ? 0
? ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ? 0

? x ? y ? 1 ? 2 ? x ? y ? 1?
2 2

练习:当x >1 时 比较 x3 与x2-x+1的大小

练习:当 x 时 比较 x3 与x2-x+1的大小 当 x>1 ≥1时 解: x3-(x2-x+1) 另解: x3-(x2-x+1) =x3-x2+x-1 =x3-x2+x-1 分组分解法 =(x3-x2)+(x-1) =(x3+x)-(x2+1) =x2(x-1)+(x-1) =x (x2+1)-(x2+1) =(x-1)(x2+1) =(x-1)(x2+1) ∵ x>1

∴ x-1>0 , x2+1 >0
∴(x-1)(x2+1)>0

∴ x3>x2-x+1.

三、课堂小结:
1、用不等式(组)表示实际问题中的不等关系。 2、实数大小比较的基本原理:

a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b
3、作差比较法的一般步骤: 作差 变形 判号 定论

其中关键的是变形,变形的目的在于便于判断差 的符号。常见的变形有因式分解、配方法等。

四、作业:习题3.1A组 4、5

谢谢!再见!

B组 1、(1)(2)


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