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平面向量复习题(含答案)

时间:2011-12-08


平面向量复习
【例1】 】 在下列各命题中为真命题的是( )

【例6】 已知 a = (1,0), b = ( 2,1). 】 ① 求 | a + 3b | ; ②当 k 为何实数时,k a ? b 与 a + 3b 平行, 平行时它们是同向还是反向?

①若 a =(x1,y1)、 b =(x2,y2),则 a · b =x1

y1+x2y2 ②若 A(x1,y1)、B(x2,y2),则| AB |= ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 ③若 a =(x1,y1)、 b =(x2,y2),则 a · b =0 ? x1x2+y1y2=0 ④若 a =(x1,y1)、 b =(x2,y2),则 a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0 A、①② 【例2】 】 A、30° 【例3】 】 坐标、 B、②③ C、③④ D、①④

【例7】 已知 | a |= 2, | b |= 1, a 与 b 的夹角为 】

π ,若向量 2a + kb 与 a + b 垂直, 求 k. 3

已知 a =(- 3 ,-1), b =(1, B、60°

3 ),那么 a , b 的夹角θ=(
D、150°

)

C、120°

已知 a =(2,1), b =(-1,3),若存在向量 c 使得:a ·c =4, b ·c =-9,试求向量 c 的

求证: 【例8】 已知向量 OP , OP2 , OP 满足条件 OP + OP2 + OP = 0 ,OP = OP2 = OP3 = 1 , 】 1 1 3 1 3

?P P2 P3 是正三角形.. 1

【例4】 】

求向量 a =(1,2)在向量 b =(2,-2)方向上的投影、

【变式】已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA + OB + OC = 0 ,那么( A. AO = OD B. AO = 2OD C. AO = 3OD D. 2AO = OD



【例5】 】

已知△ABC 的顶点分别为 A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的高 AD,

求 AD 及点 D 的坐标、

【例 9】用向量方法证明: 例

衡状态.已知 F1 , F2 成 60 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为( B. 2 答案 D C. 2 5 D. 2 7

0

)

A. 6

cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β

【例 10】用向量方法证明柯西不等式 ( x1 + y1 ) ? ( x2 + y2 ) ≥ ( x1 x2 + y1 y2 ) 2 例
2 2 2 2

解析

F32 = F12 + F22 ? 2 F1 F2 cos(180 0 ? 60 0 ) = 28 ,所以 F3 = 2 7 ,选 D.

4.(2009 北京卷文)已知向量 a = (1, 0), b = (0,1), c = ka + b( k ∈ R ), d = a ? b ,如果 c // d 那么 A. k = 1 且 c 与 d 同向 C. k = ?1 且 c 与 d 同向 【巩固练习】 巩固练习】 1.(2009 山东卷理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC + BA = 2 BP ,则( A. PA + PB = 0 答案 B 解析 :因为 BC + BA = 2 BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,可以借助图形解答. 2.(2009 年广东卷文)已知平面向量 a= x,1 ,b= ( ) (-x, x ) 则向量 a + b ( ,
2

( B. k = 1 且 c 与 d 反向 D. k = ?1 且 c 与 d 反向

)

答案 )

D

解析 本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查. ∵a = (1, 0 ) ,b = ( 0,1) ,若 k = 1 ,则 c = a + b = (1,1) ,d = a ? b = (1, ?1) , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k = ?1 ,则 c = ? a + b = ( ?1,1) ,d = ? a + b = ? ( ?1,1) , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 5.(2009 全国卷Ⅱ文)已知向量 a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= 5 2 ,则︱b ︱= A. 5 答案 C 6.(2009 全国卷Ⅰ理)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 ( a ? c ) ? ( b ? c ) 的最 小值为 A. ?2 B. 2 ? 2 C. ?1 D. 1 ? 2 ( ) B. 10 C.5 D.25

B. PC + PA = 0

C. PB + PC = 0

D. PA + PB + PC = 0

)

A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 答案 C 解析

B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

a + b = (0,1 + x ) ,由 1 + x ≠ 0 及向量的性质可知,C 正确.
2
2

3.( 2009 广 东 卷 理 ) 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平

答案 解析

D

9.(2009 湖南卷文)如图 1, D,E,F 分别是 ? ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则(

)

∵ a, b, c 是单位向量∴ a ? c ? b ? c = aib ? (a + b)ic + c

(

) (

)

2

A. AD + BE + CF = 0 B. BD ? CF + DF = 0

A D F

= 1? | a + b |i| c |= 1 ? 2 cos < a + b, c >≥ 1 ? 2 .
7.(2009 辽宁卷理)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a = (2, 0) , b = 1 则 a + 2b =
0

( )

C. AD + CE ? CF = 0 D. BD ? BE ? FC = 0 答案 A 图1 解析 ∵ AD = DB,∴ AD + BE = DB + BE = DE = FC , 得 AD + BE + CF = 0 . 或 AD + BE + CF = AD + DF + CF = AF + CF = 0 . 10.(2009 全国卷Ⅰ文)设非零向量 a 、b 、c 满足 | a |=| b |=| c |, a + b = c ,则 < a, b >= ( A.150° 答案 B 解析 本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。 解 由向量加法的平行四边形法则,知 a 、 b 可构成菱形的两条相邻边,且 a 、 b 为起点 B.120° C.60° D.30° )

A. 3 答案 B

B. 2 3

C. 4

D.2

B E

C

解析 由已知|a|=2,|a+2b| =a +4a·b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ a + 2b = 2 3 8.(2009 宁夏海南卷理)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且

2

2

2

OA = OB = OC , NA + NB + NC = 0 ,且 PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA ,则点 O,N,
P 依次是 ?ABC 的 A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 答案 C (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 解析 B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心 ( )

处的对角线长等于菱形的边长,故选择 B。 20.(2009 宁夏海南卷文)已知 a = ( ?3, 2 ) , b = ( ?1, 0 ) ,向量 λ a + b 与 a ? 2b 垂直,则实数 λ 的值为 A. ? 答案 ( B. A )

由 OA = OB = OC 知, O为?ABC的外心; NA + NB + NC = 0知,O为?ABC的重心 由
∵ PA ? PB = PB ? PC, PA ? PC ? PB = 0, CA ? PB = 0,∴ CA ⊥ PB, ∴ ∴

(

)

同理,AP ⊥ BC ,∴ P为?ABC的垂心,选C.

1 7

1 7

C. ?

1 6

D.

1 6

解析 向量 λ a + b =(-3 λ -1,2 λ ) a ? 2b =(-1,2) , ,因为两个向量垂直,故有(-

3 λ -1,2 λ )×(-1,2)=0,即 3 λ +1+4 λ =0,解得: λ = ?

1 ,故选.A. 7

A. ( ?2, 1) ? C. (?1 0) , 答案 D

B. (?2, 1) D. (1 2) ,

11.(2009 重庆卷文)已知向量 a = (1,1), b = (2, x ), 若 a + b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是 ( A.-2 答案 D 解法 1 因为 a = (1,1), b = (2, x ) ,所以 a + b = (3, x + 1), 4b ? 2a = (6, 4 x ? 2), 由于 a + b 与 4b ? 2a 平行,得 6( x + 1) ? 3(4 x ? 2) = 0 ,解得 x = 2 。 解法 2 因为 a + b 与 4b ? 2a 平行,则存在常数 λ ,使 a + b = λ (4b ? 2a ) ,即 B.0 C.1 D.2 )

15.(2007 山东)已知向量 a = (1,n),b = ( ?1,n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a = ( A. 1 答案 C 16.(2008 陕西)关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题: ①若 a ib = a ic ,则 b = c .②若 a = (1,k ),b = ( ?2, , a ∥ b ,则 k = ?3 . 6) ③非零向量 a 和 b 满足 | a |=| b |=| a ? b | ,则 a 与 a + b 的夹角为 60 . 其中真命题的序号为 答案 ② . (写出所有真命题的序号) B. 2 C. 2 D.4



(2λ + 1)a = (4λ ? 1)b ,根据向量共线的条件知,向量 a 与 b 共线,故 x = 2
12.(2009 江苏卷)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , | a |= 2,| b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数
o

量积 a ? b = 答案 3 解析

.

17.(2005 上海)直角坐标平面 xoy 中,若定点 A(1,2) 与动点 P ( x, y ) 满足 OP ? OA = 4 ,则点 P

考查数量积的运算。

3 a ?b = 2? 3 ? =3 2

的轨迹方程是__________. 答案 x+2y-4=0

13.(2007 北京)已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA + OB + OC = 0 , 那么 A. AO = OD C. AO = 3OD 答案 A ( )

B. AO = 2OD D. 2AO = OD

,, , 14.(2007 海南、宁夏)已知平面向量 a = (11) b = (1 ? 1) ,则向量

1 3 a? b=( 2 2




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