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江苏省学2015届高三12月月考文科数学试题 Word版含解析


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江苏省扬州中学 2014-2015 学年第一学期质量检测 高 三 数 学 [文] 2014.12 【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察,覆盖面广, 注重数学思想方法的简单应用,试题有新意,符合课改和教改方向,能有效地测评学生,有 利于学生自我评价,有利于指导

学生的学习,既重视双基能力培养,侧重学生自主探究能力, 分析问题和解决问题的能力,突出应用,同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。 【题文】一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分 【题文】1.已知集合 A ? {x | x ? ?1}, B ? {x | x ? 2}, 那么 A ? B ? _________. 【知识点】并集及其运算.A1 【答案】 【解析】 R 解析:由并集的运算律可得 A ? B ? R ,故答案为 R 。

【思路点拨】根据集合并集的定义,得到集合 A、B 的全部元素组成集合,即可得答案.

f ( x) ? 2 cos( ?2 x ?
【题文】2.函数 【知识点】三角函数的周期.C3 【答案】 【解析】 ?

?

) 4 的最小正周期为_________.

T=
解析: 由正余弦函数的周期公式

2p 2p = =p | w| | - 2 | ,故答案为 ? 。

【思路点拨】直接利用函数周期公式即可。

1 ? ai (a ? R) 【题文】3.复数 z ? 1 ? i ,且 z 是纯虚数,则实数 a 的值为_________.
【知识点】复数的概念及运算.L4 【答案】 【解析】1

1 - ai 1 - ai 1 - a 1 + a = = i 1+i 2 2 ,若为纯虚数, 解析:因为复数 z ? 1 ? i , z

则实数 a =1,故答案为 1. 【思路点拨】先利用复数的运算法则把复数化简,再结合纯虚数的概念即可。

1 x2 y2 y ? x, ? ? 1(m ? 0) 2 则 m 的值为_______. 3 【题文】 4.已知双曲线 m 的一条渐近线方程为
【知识点】双曲线的简单性质.H6

x2 y2 y= ? ? 1(m ? 0) 3 【答案】 【解析】12 解析:双曲线 m 的一条渐近线方程为
y?
其中一条为:

3 x m ,

3 1 1 = x, 2 ,所以 m 2 ,解得 m=12.故答案为:12.
0 0

【思路点拨】求出双曲线的渐近线方程,即可求出 m 的值. 【题文】5.在 ?ABC 中, A ? 45 , C ? 105 , BC ?
第 -1- 页

2, 则 AC =________.

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【知识点】正弦定理.C8

A = 45 , C = 105 ,∴ B = 300 , 【答案】 【解析】1 解析:∵

0

0

BC AC = BC = 2 ,∴ ∵ 由正弦定理 sin A sin B 得:

AC =

BC sin B = sin A

2? 2 2

1 2 =1


故答案为:1 【思路点拨】由 A 与 C 的度数,利用三角形内角和定理求出 B 的度数,再由 sinA,sinB 及 BC 的长,利用正弦定理即可求出 AC 的长. 【题文】6.“ M ? N ”是“ log2 M ? log2 N ”成立的________条件.(填“充分不必要” “必 要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”). 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2 【答案】 【解析】必要不充分 解析:∵ 当 M ? N 时,不确定两个数字的正负,不一定得到

log2 M ? log2 N ,即前者不一定推出后者;
当 log2 M ? log2 N 时,根据对数函数的单调性知有 M ? N , 即后者可以推出前者,∴ “ M ? N ”是“ log2 M ? log2 N ”成立的必要不充分条件, 故答案为:必要不充分 【思路点拨】当 M ? N 时,不确定两个数字的正负,不一定得到 log2 M ? log2 N ,即前者 不一定推出后者;当 log2 M ? log2 N 时,根据对数函数的单调性知有 M ? N ,即后者可以 推出前者,得到结论.

y ? tan(
【题文】7.已知函数

?

x? ) 4 2 的部分图象如图所示,则 (OA ? OB) ? AB ?

?

【知识点】向量在几何中的应用.C5 F2

y ? tan(
【答案】 【解析】6 解析:因为

?

? p p p p x? ) x - = kp x - = kp 4 2 =0?4 2 2 ?4 ,由图得

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x = 2 ;故 A( 2,0) ,由


y ? tan(

?

? p p p x? ) x - = kp + 4 2 =1?4 2 4 ?x = 4k + 3 ,由图得 x = 3 ,

B ( 3,1)



所以 OA + OB =(5,1) , AB =(1,1) .

(OA +OB) AB =5×1+1×1=6. ∴
【思路点拨】先利用正切函数求出 A,B 两点的坐标,进而求出 OA + OB 与 AB 的坐标,再代 入平面向量数量积的运算公式即可求解. 【题文】8.已知

m, n 为直线, ? , ? 为平面,给出下列命题:

?m ? ? ?m ? ? ? n || ? ? m || n ? ? m?n n?? ①? ; ②? ;
?m ? ? ? ?n ? ? ? m || n ?? || ? ?

?m ? ? ? ? || ? ? m?? ③?



; ⑤

?? ? ? ? ?? ? ? m ? n ? ? ?n ? ? , m ? n ?

其中正确的命题是 (填写所有正确的命题的序号) 【知识点】线面、面面的位置关系的判断.G4 G5

【答案】 【解析】②③⑤

?m ? ? ? n || ? ? m ? n ? 解析:命题① 或 n ? a ,故不正确;命题②

?m ? ? ?m ? ? ? m || n ? ? || ? ? ? m?? ?n ? ? ,由线面垂直的性质定理易知正确;命题③ ? ,由线面垂直
?m ? ? ? ?n ? ? ? m || n ?? || ? ?

的性质定理易知正确;命题④

或 m、n 异面,所以不正确;命题⑤是面面垂

直的性质定理,所以是正确命题.故答案为②③⑤. 【思路点拨】线面、面面的判定定理即性质定理依次判断即可。

【题文】9. 设

x , y 满足约束条件

? x, y ? 0 ? ? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 3 ?

,则 z ? x ? 2 y 的取值范围为

【知识点】简单线性规划.E5 【答案】 【解析】

[ - 3,3]

解析:作出不等式组表示的平面区域

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由 z = x - 2 y 可得

y=

1 1 1 x- z - z y 2 2 , 则 2 表示直线 x - 2 y - z = 0 在 轴上的截距, 截距越大,

z 越小
结合函数的图形可知,当直线 x - 2 y - z = 0 平移到 B 时,截距最大, z 最小;当直线

x - 2 y - z = 0 平移到 A 时,截距最小, z 最大

ì ì ? x- y =-1 ? x+y =3 í í ? x + y = 3 可得 B(1,2) ? y = 0 可得 A(3,0) 由? ,由 ?
∴ Zmax=3,Zmin=﹣3

- 3,3 则 z = x - 2y ∈
故答案为:

[

]
1 1 1 x- z - z 2 2 , 则 2 表

[ - 3,3]
y=

【思路点拨】 先作出不等式组表示的平面区域, 由 z = x - 2 y 可得,

y 示直线 x - 2 y - z = 0 在 轴上的截距,截距越大, z 越小,结合函数的图形可求 z 的最大与
最小值,从而可求 z 的范围。 【 题 文 】 10. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x ? 3) ? f ( x), 当 x ? (?2,0) 时 ,

) ? f (2014 ) ? f (2013 ) ? _________. f ( x) ? 2 x , 则 f (2015
【知识点】抽象函数及其应用.B10

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【答案】 【解析】0

解析:∵f ( x ? 3) ? f ( x), ∴ f(x)的周期 T=3;

) ? f (2014 ) ? f (2013 ) ? f(671×3+2)+f(671×3+1)+f(671×3+0) ∴f (2015
=f(2)+f(1)+f(0)=f(﹣1)+f(1) , 又∵ f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴ f(﹣1)+f(1)=0, 故答案为:0. 【思路点拨】由题意化 f(2015)+f(2014)+f(2013)=f(671×3+2)+f(671×3+1)+f(671×3+0) =f(2)+f(1)+f(0)=f(﹣1)+f(1)=0. 【题文】 11.若 _______. 【知识点】等比数列的性质;等差数列的前 n 项和.D2 D3 【答案】 【解析】 ? 4 2 则由等比数列的性质可得 则 解析:∵ n 为等差数列

S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104, 则 a5 与 a7 的等比中项为

S

{an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104,

9a5 = - 36,13a7 = - 104 .解得 a5 = - 4, a7 = - 8 ,

a5 与 a7 的等比中项为 ? a5 a7

4 2

,故答案为 ? 4 2 .

【思路点拨】由条件利用等比数列的性质可得 从而求得

S9 ? ?36, S13 ? ?104, 解得 a5 = - 4, a7 = - 8 ,

a5 与 a7 的等比中项的值.
2

【题文】12.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,点 P 在抛物线上,且位于 x 轴上方。若点 P 到坐标原点 O 的距离为 4 2 ,则过点 F,O,P 三点的圆的方程是 【知识点】抛物线的简单性质;圆的一般方程.H3 H7

1 7 25 ( x ? ) 2 ? (y ? ) 2 ? 2 2 2 【答案】 【解析】

解析:∵ 抛物线的方程为 y ? 4 x ,∴ 抛物线焦点
2



F (1,0)

,设

骣 t2 P琪 ,t 琪 4 桫

,则

骣 t2 P琪 ,t 琪 4 桫
2

P 坐标为 4,4 , ,解之得 t = 4 (舍负) ,∴
2

( )

设经过 F , O, P 三点的圆的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0 ,将 O(0,0) ,F(1,0) ,P(4,

ì F =0 ? ? 1+ D + F = 0 í ? ? 16 +16 + 4 D + 4 E + F = 0 4)代入,得 ? ,解之得 D=﹣1,E=﹣7,F=0
1 7 25 ( x ? ) 2 ? (y ? ) 2 ? 2 2 2 。 ∴ 经过 F , O, P 三点的圆的方程为 x + y - x - 7 y = 0 .即
2 2

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1 7 25 ( x ? ) 2 ? (y ? ) 2 ? 2 2 2 。 故答案为:
【思路点拨】根据抛物线方程,求出焦点 F 的坐标和满足条件|OP|= 4 2 的 P 点的坐标,再设 经过 F、O、P 三点圆的一般式方程,将 O、F、P 坐标代入,解关于 D、E、F 的方程组,即可 得到所求圆的方程. 【 题 文 】 13. 若 函 数 f ( x) ? sin x ? cos x , f '( x) 是 f ( x ) 的 导 函 数 , 则 函 数

F ( x) ? f ( x) f '( x) ? f 2 ( x) 的最大值是
【知识点】函数的值域;导数的运算.菁 B3 B11 【答案】 【解析】 1 ? 2 解析:∵f ( x) ? sin x ? cos x ,∴

f ?( x) = cos x - sin x
2



﹣ sin x) +( sin x + cos x) F ( x) ? f ( x) f '( x) ? f 2 ( x) = ( sin x + cos x) ( cos x ∴

骣 p 琪 = 2sin 2x + +1 琪 桫 4 = cos2 x ﹣sin 2 x + 2sinxcosx +1 = cos2x + sin2x +1 , 骣 p sin 琪 2x + 琪 4 ≤1,∴ F ( x) 的最大值是 1 ? 2 .故答案为1 ? 2 。 桫 ∵ 骣 p = 2sin 琪 2x + +1 琪 F x F x 桫 4 【思路点拨】 先计算 f '( x) , 然后化简 ( ) , 即可求出 ( ) 的最大值.
2 { a } { b } { b } n 【 题 文 】 14. 已 知 数 列 n , n 中 , a1 ? a, 是公比为 3 的等比数列.记

bn ?

an ? 2 (n ? N * ), a ? an?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是 an ? 1 若不等式 n

________. 【知识点】递推关系式;等比数列.D1 D3

【 答 案 】【 解 析 】 a > 2

bn ?
解析:∵

an ? 2 b ?2 (n ? N * ), an ? n . an ? 1 bn ? 1 ∴ ∴

an?1 ? an ?

bn?1 ? 2 bn ? 2 ? bn?1 ? 1 bn ? 1

bn?1 ? bn 1 1 ? ? ? ? bn ? 1 bn?1 ? 1 (1 ? bn?1 )(1 ? bn )

1 ? bn 3 ? 0, 2 3 bn ? (1 ? bn )(1 ? bn ) 2 或 0 ? bn ? 1. 若 3 解得
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bn ?

3 2 3 b1 ( ) n ?1 ? 2 ,则 3 2 对一切正整数 n 成立,显然不可能; 2 0 ? b1 ( ) n ?1 ? 1 3 对一切正整数 n 成立,只要 0 ? b1 ? 1 即可,即

0 ? bn ? 1, 则 若
0?

a1 ? 2 ? 1, a1 ? 1 ,解得 a1 ? a ? 2. an ? bn ? 2 3 . b ? bn ? 1 再结合 an ? an?1 解得 n 2 或 0 ? bn ? 1. 再分情

【思路点拨】先由已知变形为

况讨论即可。 【题文】二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 【题文】15.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱

ABC ? A 1B 1C 1 中, E 、 F 分别是 A 1B 、 AC 1 的中点,点 D 在 B 1C1 上,

A1D ? B1C 。
求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面

A1FD ? 平面 BB1C1C .

【知识点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.菁优网 G4 G5 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)见解析。 解析: (1)因为 E,F 分别是 A1B,A1C 的中点,所以 EF∥ BC,又 EF? 面 ABC,BC? 面 ABC,所 以 EF∥ 平面 ABC; (2)因为直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,所以 BB1⊥ 面 A1B1C1,BB1⊥ A1D, 又 A1D⊥ B1C, BB1∩ B1C=B1, 所以 A1D⊥ 面 BB1C1C, 又 A1D? 面 A1FD, 所以平面 A1FD⊥ 平面 BB1C1C 【思路点拨】 (1) 要证明 EF∥平面 ABC, 证明 EF∥BC 即可; (2) 要证明平面 A1FD⊥平面 BB1C1C, 通过证明 A1D⊥面 BB1C1C 即可,利用平面与平面垂直的判定定理证明即可. 【题文】16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? m ? n, 其中向量 m ? (sin?x ? cos?x, 3 cos?x),

n ? (cos?x ? sin ?x,2 sin ?x), ? ? 0, 若 f ( x) 的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于

?.
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(1)求 ? 的取值范围;

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B C 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,a ? 3, 当 ? 最大时,f ( A) ? 1, 求 ?ABC (2) 在 ?A
的面积最大值. 【知识点】余弦定理;两角和与差的正弦函数.C5 C8

0?? ?
【答案】 【解析】 (1)

1 3 . 2 ; (2) 4
2

解析: (1)由题意知 f ( x) ? m ? n ? cos

?x ? sin 2 ?x ? 3 sin 2?x
T 1 2? ? ? ? ? ? ? , ? ? 0, 2 2 2? 2?

cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ?
=

?
6

).

0?? ?
解得

1 . 2 1 ? ? max ? , f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 1, 2 6 sin( A ?


?
6

)?

(2)由(1)知

1 . 2

又∵ 0 ? A ? ? , ∴ 6

?

? A?

?
6

?

7? ? 5? 2? , A? ? , A? . 6 ∴ 6 6 得 3 1 ? bc , 2 即 bc ? 1.

a 2 ? 3 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ?
由余弦定理得



S ?ABC ?

1 1 3 3 bc sin A ? ? 1 ? ? . 2 2 2 4

【思路点拨】 (1)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则列出关系式,根据 f(x) 的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于 π,得到周期的一半大于等于 π,利用周期公式即 可求出 ω 的取值范围; (2)把 ω 的最大值代入 f(A)=1,求出 A 的度数,利用余弦定理列出 关系式,把 A 的度数代入并利用基本不等式求出 bc 的最大值,即可确定出三角形面积的最大 值. 【题文】17.(本小题满分 14 分) 水库的储水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,以年初为起点,根据历年数据, 某水库的储水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为:

? 1 (?t 2 ? 15t ? 51)et ? 50, 0 ? t ? 9 ? v(t ) ? ? 240 ? ?4(t ? 9)(3t ? 41) ? 50,9 ? t ? 12
(1)该水库的储水量小于 50 的时期称为枯水期。以 i ? 1 ? t ? i 表示第 i 个月份(i=1,2,..., 12) ,问:一年内哪几个月份是枯水期?

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3

(2)求一年内该水库的最大储水量(取 e ? 20 计算) 【知识点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.B12 【答案】 【解析】 (1)枯水期为 1,2,3,4,5,10,11,12 月; (2)一年内该水库的最大蓄 水量是 150 亿立方米. 解析: (1)当 0 < t 即 t2﹣15t+51>0,

1 (- t 2 +15t - 51)et + 50 v ( t ) = 9 时, 240 <50,

t>
解得

15 + 21 15 - 21 t< 2 2 或 , 15 21 2
≈5.2.

从而 0<t< 当9 <t

12 时, v(t ) = (t - 9)(3t - 41) + 50 <50,

即(t﹣9) (3t﹣41)<0,

41 解得 9<t< 3 ,所以 9 < t 12 .
综上,0<t<5.2 或 9 < t

12 ,枯水期为 1,2,3,4,5,10,11,12 月.

(2)由(1)知,水库的最大蓄水量只能在 6~9 月份.

1 1 v′ (t)= 240 (﹣t2+13t﹣36)et=﹣ 240 et(t﹣1) (t﹣9) ,
令 v′ (t)=0,解得 t=9 或 t=4(舍去) , 又当 t∈ (6,9)时,v′ (t)>0;当 t∈ (9,10)时,v′ (t)<0.

1 所以,当 t=9 时,v(t)的最大值 v(9)= 240 ×3×e9+50=150(亿立方米) ,
故一年内该水库的最大蓄水量是 150 亿立方米. 【思路点拨】 (1)对 t 分段讨论,分别令 v(t)<0,解不等式求出 t 的范围即得到枯水期对 应的月份. (2)据(1)判断出最大值所在的可能月份,求出 v(t)的导数,求出导函数大于 0 和小于 0 的 t 的范围即函数的单调区间,求出最值. 【题文】18.(本小题满分 16 分)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 如图,F 是椭圆 a 的一个焦点,A,B 是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为
1 l : x ? 3y ? 3 ? 0 2。 已知点 C 在 x 轴上, 且 BC ? BF , B, C , F 三点确定的圆 M 恰好与直线 1
相切。
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求椭圆的方程; 若过点 A 的直线 2 与圆 M 交于 P,Q 两点, 且 MP ? MQ ? ?2 ,求直线 2 的方程。

l

l

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.H8

【答案】 【解析】 (1)

(2)y=

(x+2)

解析: (Ⅰ )∵ F 是椭圆 椭圆的离心率为 ,

(a>b>0)的一个焦点,A,B 是椭圆的两个顶点,



,∴

= ,∴ b=

,c=

, ) ,

设 F(﹣c,0) ,B(0, ∵ kBF= = ,BC⊥ BF,

)=(0,

∴ kBC=﹣

,∴ =

,∴ xC=

=

=

=3c,

∴ C(3c,0) , 设圆 M 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 把 B(0, ) ,C(3c,0) ,F(﹣c,0)代入,得:

, 解得 D=﹣2c,E=0,F=﹣3c2, ∴ 圆 M 的方程为(x﹣c)2+y2=4c2, ∵ 圆 M 与直线 l1:x+ y+3=0 相切,
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∴ ∴ a=2,b= ,

,解得 c=1,

∴ 所求的椭圆方程为



(Ⅱ )∵ A 是椭圆方程为

的左顶点,∴ A(﹣2,0) ,

∵ 圆 M 的方程为(x﹣1)2+y2=4, ∴ 过点 A 斜率不存在的直线与圆不相交, ∴ 设直线 l2 的方程为 y=k(x+2) , ∵ ,又| |=| |=2,

∴ cos< ∴ ∠ PMQ=120°,

>=

=﹣ ,

圆心 M 到直线 l2 的距离 d=





,解得 k=

, (x+2) . ) ,C(3c,0) ,F(﹣c,0) ,由此求出圆 M 的 y+3=0 相切,解得 c=1,a=2,b= ,由

∴ 直线 l2 的方程为 y=

【思路点拨】 (1)由已知条件求出 B(0,

方程为(x﹣c)2+y2=4c2,再由圆 M 与直线 l1:x+

此能求出椭圆方程. (2)设直线 l2 的方程为 y=k(x+2) ,由已知条件求出∠PMQ=120°,从而 求出 k= ,由此能求出直线 l2 的方程. 【题文】19. (本小题满分 16 分) 已知数列 若
2 {an } 的各项都是正数,且对任意 n ? N * , an ?1 ? an an ? 2 ? k ( k 为常数) 。

k ? (a2 ? a1 )2 ,求证: a1 , a2 , a3 成等差数列;

a2 a ,a ,a a 若 k ? 0 ,且 2 4 5 成等差数列,求 1 的值;
已知

a1 ? a, a2 ? b ( a , b 为常数) a ? an?2 ? ? an?1 对任意 n ? N * 都 ,是否存在常数 ? ,使得 n
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成立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由。 【知识点】数列递推式;等差关系的确定.D1 D2 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)1 或 解析: (1)证明:∵ ∴ 令 n=1,则 ∵ a1>0,∴ 2a2=a1+a3, 故 a1,a2,a3 成等差数列; (2)当 k=0 时, , , , , (3)见解析

∵ 数列{an}的各项都为正数, ∴ 数列{an}是等比数列,设公比为 q>0, ∵ a2,a4,a5 成等差数列, ∴ a2+a5=2a4,∴ ∵ a1>0,q>0, ∴ q3﹣2q2+1=0, 化为(q﹣1) (q2﹣q﹣1)=0,解得 q=1 或 . ,







(3)存在常数 λ= 证明如下:∵ ∴

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈ N*都成立. ,∴ ,即 , ,

由于 an>0,两边同除以 anan+1,得到





=…=



即当 n∈ N*时,都有



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∵ a1=a,a2=b,



∴ a3=

.∴

=



∴ 存在常数 λ= 【思路点拨】 (1)把 (2)当 k=0 时,

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈ N*都成立. ,代入 ,令 n=1 化简即可证明;

,由于数列{an}的各项都为正数,可得数列{an}是等比数列, ,解

设公比为 q>0,根据 a2,a4,a5 成等差数列,可得 a2+a5=2a4,即

出 即 可; ( 3 ) 存在 常 数 λ= , 及

, 使 得 an+an+2=λan+1 对 任 意 n∈ N* 都 成 立.由 , 可 得

, 由 于 an > 0 , 两 边 同 除 以 anan+1 , 得 到

,进而

=…=

, 即 当 n∈ N* 时 , 都 有

,再利用已知求出 a1,a2,a3 即可证明. 【题文】20. (本小题满分 16 分)

f ( x) ?
设函数

1? a 2 x ? ax ? ln x(a ? R). 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性.

(a 2 ? 1) m ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) x , x ?[1, 2] ,恒有 2 (3)若对任意 a ? (3, 4) 及任意 1 2 成立,
求实数 m 的取值范围. 【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用.B12
' ' 【答案】 【解析】 (1) 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0; f ( x) 单调递减; 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0. f ( x)

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单调递增,

? f ( x)极小值 =f (1) ? 1
(0,

,无极大值.(2)当 a ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数;

当 a ? 2 时, f ( x ) 在

1 1 ) ( ,1) a ? 1 和 (1, ??) 单调递减,在 a ? 1 上单调递增;当1 ? a ? 2 时,

1 1 1 ( , ??) (1, ) m? . f ( x) 在 (0,1) 和 a ? 1 15 单调递减,在 a ? 1 上单调递增; (3)
解析: ( 1 )函数的定义域为 (0, ??) . 当 a ? 1 时,

f ( x) ? x ? ln x, f ' ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? , x x 当

' ' 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0; f ( x) 单调递减;当 x ? 1 时, f ( x) ? 0. f ( x) 单调递增

? f ( x)极小值 =f (1) ? 1

,无极大值.

f ' ( x) ? (1 ? a ) x ? a ?
(2)

(1 ? a) x ? ax ? 1 1 ? ? x x
2

(1 ? a)( x ?

1 )( x ? 1) a ?1 x

(1 ? x)2 1 ' ?1 f ( x) ? ? ? 0, x 当 a ?1 ,即 a ? 2 时,
0?


f ( x) 在定义域上是减函数;

1 1 ?1 0? x? ' ' a ? 1 ,即 a ? 2 时,令 f ( x) ? 0, 得 a ? 1 或 x ? 1; 令 f ( x) ? 0,

1 ? x ? 1. 得 a ?1 1 1 ?1 x? ; ' ' f ( x ) ? 0, a ? 1 令 f ( x) ? 0, 当 a ?1 ,即 1 ? a ? 2 时,令 得 0 ? x ? 1或 1? x ?


1 . a ?1 (0, 1 ) a ? 1 和 (1, ??) 单

综上,当 a ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数;当 a ? 2 时, f ( x ) 在

1 1 ,1) ( , ??) f ( x ) (0,1) 1 ? a ? 2 a ? 1 a ? 1 调递减,在 上单调递增;当 时, 在 和 单调递减,在 ( (1, 1 ) a ? 1 上单调递增;

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(3)由(Ⅱ)知,当 a ? (3, 4) 时, f ( x ) 在 [1, 2] 上单减, f (1) 是最大值, f (2) 是最小值.

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (2) ? m?
经整理得

a 3 ? ? ln 2 2 2

(a 2 ? 1 ) a 3 m?l n 2 ? ? ?l n 2 2 2 ? 2 ,而 a ? 0

a ?3 a ?3 1 1 0? 2 ? m? . 2 a ? 1 ,由 3 ? a ? 4 得 a ? 1 15 ,所以 15

【思路点拨】 (1)确定函数的定义域,利用导数的正负,确定函数的单调性,从而可求函数

的极值; (2)求导函数 f ( x)

'

?

(1 ? a)( x ?

1 )( x ? 1) a ?1 x ,分类讨论,利用导数的正负,确定

函数的单调性; (3)由(2)知,当 a∈ (3,4)时,f(x)在[1,2]上单调递减,从而可得

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (2) ?

a 3 ? ? ln 2 2 2







a?(

3

,, 4 恒 ) 有

(a 2 ? 1) a 3 a ?3 m? 2 m ? ln 2 ? ? ? ln 2 2 2 a ? 1 ,求出右边函数的值域,即可求得结论. 2 ,等价于

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