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2014高三数学模拟测试卷及答案(一)


2014 高三数学模拟测试卷(一)
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分)http://www.mathedu.cn 1、函数 y=sin2x+1 的小正周期是 . 2、直线 l 经过点(-2,1),且与直线 2x-3y+5=0 垂直,则 l 的 方程是 . 3、复数 z 满足(z-2i)=3+7i,则复数 z= . 4、在圆心角为 120° 的扇形 AOB 中(O

为圆心),随机作半径 OC,则使得 ∠AOC 和∠BOC 都不小于 20° 的概率为 .

开始 输入 p

n ? 0, S ? 0

n? p




5、执行右边的程序框图,若 p=4,,则输出的 S= . 6、某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生, 得到他们在某一天各自课外阅读所用的时间的数据如下表: 阅读时间(小时) 人数 0 5 0.5 20 1 10 . 1.5 10

n ? n ?1
S?S? 1 2n

输出 S 结束

2 5

由此可以估计该校学生在这一天平均每人的课外的阅读时间为 7、曲线 y=xex+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为

小时.

→→ 8、在△ABC 中,AB=2,AC=1,D 为 BC 的中点,则 AD · BC =_________. 9、已知集合 A={x|log2(x-2)>0,x∈R },B={x|x>m,m∈R},若 A?B,则实数 m 的取值 范围为(-∞,a],则 a= . .

10、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,acosB=5,bsinA=12,则 a= 11、已知 m,n 是两条不同的直线,α, β 为两个不同的平面,有下列四个命题: ① 若 m⊥α, n⊥β,m⊥n,则 α⊥β;②若 m//α, n//β,m⊥n,则 α//β; ③若 m⊥α, n//β,m⊥n,则 α//β; ④若 m⊥α, n//β, α//β,则 m⊥n. 其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)_______________. 12、设椭圆 M:

x2 y2 a2+b2=1(a>b>0)右顶点和上顶点分别为 A,B,直线 AB 与直线 y=-x 相交于

点 P,若点 P 在抛物线 y2= ? ax 上,则椭圆 M 的离心率等于________. 13、已知命题:“在等差数列{an}中,若 4a2+a10+a( )=24,则 S11 为定值”为真命题,由于印刷 问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为_________. 14、 已知函数 f(x)=log(-|x|+3) f ( x) ? log 1 (? | x | ?3) 定义域是[a,b] (a,b∈Z), 值域是[-1,0],
3

则满足条件的整数数对(a,b)有

对.

1

二、解答题:t 本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 1 15、(本题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P( ,cos2θ)在角 α 的终边上,点 Q(sin2θ,- 2 1 →→ 1)在角 β 的终边上,且 OP · OQ=- . 2 (1)求 cos2θ 的值; (2)求 sin(α+β)的值.

16、(本题满分 14 分)如图,在棱长都相等的正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别为 AA1,B1C 的 中点. A1 (1)求证:DE//平面 ABC; B1 (2)求证:B1C⊥平面 BDE B1C ? 平面BDE E C1 D

B C

A

2

?x≥0 ? 17、 (本题满分 14 分)已知平面区域?y≥0, 恰好被面积最小的圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2 ? ?x+2y-4≤0.
将其内部所覆盖. (1)试求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A,B 满足 CA⊥CB,求直线 l 的方程.

1 18、 (本题满分 16 分)已知函数 f(x)= x2-alnx(a∈R). 2 (1)若函数 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在(1,+∞)为增函数,求 a 的取值范围.

3

19、 (本题满分 16 分) 某公司以每吨 10 万元的价格销售某种化工产品, 每年可售出该产品 1000 吨,若将该产品每吨的价格上涨 x%,则每年的销售数量将减少 mx%,其中 m 为正常数. 1 (1)当 m= 时,该产品每吨的价格上涨百分之几,可使销售的总金额最大? 2 (2)如果存在一次涨价,能使销售总金额增加,求 m 的取值范围.

20、(本题满分 16 分)设数列{an}的通项公式为 an=pn+q(n∈N*,p>0). 数列{bn}定义如下:对于 正整数 m,bm 是使得不等式 an≥m 成立的所有 n 中的最小值. 1 1 (1)若 p= ,q=- ,求 b3; 2 3 (2)若 p=2,q=-1,求数列{bm}的前 2m 项和公式; (3)是否存在 p 和 q, 使得 bm=3m+2(m∈N*)?如果存在,求 p 和 q 的取值范围; 如果不存在, 请说明理由.

4

参考答案
一、填空题 http://www.mathedu.cn 2 15 3 1、? ;2、 3x ? 2 y ? 4 ? 0 ;3、7-i;4、 ;5、 ;6、 0.9 ; 7、3x-y+1=0;8、 ? ; 3 16 2 9、3;10、13;11、①,④;12、 二、解答题 3 1 1 1 →→ 1 2 15、⑴ OP · OQ= sin θ-cos2θ= sin2θ-1=- ?sin2θ= ?cos2θ= . 2 2 2 3 3 1 2 ⑵ P( , )?rP= 2 3 1 2 5 4 3 ( )2+( )2= .sinα= ,cosα= ; 2 3 6 5 5

3 ;13、18;14、 5 . 2

1 10 3 1 Q( ,-1)?rQ= ?sinβ=- ,cosβ= . 3 3 10 10 ∴ sin(α+β)= 4 1 3 3 1 10 × + (- )=- =- . 5 5 10 10 10 10

16、 (1)取 BC 中点 G ,连结 AG, EG ,
B1 A1

? G, E 分别为 CB, CB1 的中点,

? EG || BB1 ,且 EG ?

1 AA1 , 2

C1 D E

又?正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,? EG || AD, EG ? AD

?四边形 ADEG 为平行四边形.
? AG || DE
所以

B A G C

? AG ? 平面ABC, DE ? 平面A B C ,

DE || 平面A B C .

(1) 由可得,取 BC 中点 G

?正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,? BB1 ? 平面ABC .
? AG ? 平面 ABC ,? AG ? BB1 , ? G 为 BC 的中点, AB ? AC , ? AG ? BC
? AG ? 平面BB1C1C , ? B1C ? 平面BB1C1C , ? AG ? B1C ,? AG || DE ? DE ? B1C ,
5

? BC ? BB1 , B1 E ? EC

? B1C ? BE ,

? BE ? 平面BDE, DE ? 平面B D E ? B1C ? 平面BDE .

BE ? DE ? E ,

17:(1) 由题意知此平面区域表示的是以 O(0, 0),P (4, 0), 构成的三角形及其内部 , 且 Q (0, 2) △ OPQ 是直角三角形 , 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆 ,故圆心是 (2,1), 半径是

5 ,所以圆 C 的方程是 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 .
(2)设直线 l 的方程是: y ? x ? b . 因为 CA ? CB ,所以圆心 C 到直线 l 的距离是 即

??? ?

??? ?
?

10 , 2

| 2 ?1 ? b | 12 ? 12

10 2

,解得: b ? ?1 ? 5 .

所以直线 l 的方程是: y ? x ? 1 ? 5 . 18、解:(1)因为: f ?( x) ? x ?

a x

( x ? 0) ,又 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为

y ? x?b
所以

? 2?b ? ?2 ? a ln 2 a ? 2? ?1 ? 2 ?

解得: a ? 2, b ? ?2 ln 2 .

(2)若函数 f ( x) 在 (1,??) 上恒成立.则 f ?( x) ? x ?
2

a ? 0 在 (1,??) 上恒成立, x

即: a ? x 在 (1,??) 上恒成立。所以有 a ? 1. 19、 (1)由题设,当价格上涨 x%时,销售总金额:

y ? 10(1 ? x%) ?1000(1 ? mx%) ? ?mx 2 ? 100(1 ? m) x ? 10000(0 ? x ?
当m ?

100 ). m

1 1 时, y ? [?( x ? 50) 2 ? 22500 ], 2 2

当 x=50 时, y max ? 11250 . 即该吨产品每吨的价格上涨 50%时,销售总金额最大. (2)由(1) y ? ?mx 2 ? 100(1 ? m) x ? 10000, (0 ? x ?

100 ); m

如果存在一次涨价,能使销售总金额增加,则存在 0 ? x ?

100 使y ? 10 ?1000 , m

? mx 2 ? 100 (1 ? m) x ? 10000 ? 10000 , ∴ ? mx ? 100 (1 ? m) ? 0 , 注 意 到 m>0 ,
6

100(1 ? m) 100(1 ? m) 100 100(1 ? m) ,∴ , ∵ ? ? 0 ,解得 0 ? m ? 1 . m m m m 1 1 1 1 20 20、(1)由题意,得 an ? n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 2 3 2 3 1 1 ∴ n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3 m ?1 (2)由题意,得 an ? 2n ? 1,对于正整数,由 an ? m ,得 n ? . 2
∴x? 根据 bm 的定义可知 当 m ? 2k ?1 时, bm ? k k ? N

?

*

? ;当 m ? 2k 时, b

m

? k ? 1? k ? N * ? .

∴ b1 ? b2 ? ? ? b2 m ? ? b1 ? b3 ? ? ? b2 m?1 ? ? ? b2 ? b4 ? ? ? b2 m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ?

?

m ? m ? 1? 2

?

m ? m ? 3? 2

? m 2 ? 2m . m?q . p

(3)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?
?

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 ,即 ?2 p ? q ? ? 3 p ? 1? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. p p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3
?

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ) ; p 和 q 的取值范围分别是 p ?

1 2 1 , ? ? q ? ? . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 3 3

7


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