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F2012《高等数学》竞赛试卷评分标准(2012.9)


集 美 大 学 试 卷 纸(参考解答与评分标准)
2012 — 2013 课程名称
适 用 学院、专业、 年级



学年 第



学期 试卷 卷别 考试 方式 竞赛试卷
√ 闭卷 □ 开卷 □

?

?
4 ar

ctan 1 4

d? ?

2 cos? 1 sin ? cos?

f ( tan ? ) rdr

.

高等数学
全校(含诚毅学院)理工科和经管类各专业 09-11 级
1.本试卷共 6 页,答题前请检查;2.考试时间 150 分钟。 题号 得分 一 二 三 四

得 分
?

二、 (本题 9 分)求极限 lim (1 ? x)3 ? n2 x n . ?
x ?1 n ?1

?

解 注意到 ? n2 x n ? x? n2 x n?1 ,记 S ( x) ? ? n2 x n?1 ,则当 x ? 1 时,有
n ?1 n ?1 n ?1
?

?

?

备注
线 学号 总分







?

x 0

S ( x) dx ? ? ? n2 x n?1 dx ? ? nx n ? x? ( x n )? ,
x n ?1 0 n ?1 n ?1

?

?



阅卷人 姓名 从而 S ( x) ? [ 息

? x ( ? x n )? ? x (
n ?1

?

x x , )? ? 1? x (1 ? x)2

(7 分)

得 分
订 班级

一、填空题(本大题共 40 分,每小题 5 分)

x 1? x ]? ? ,所以 2 (1 ? x) (1 ? x)3

x 1. 函数 f ( x) ? ln x 的跳跃间断点为 1? x

x ?1



.

x ?1

lim (1 ? x)3 ? n2 x n ? lim (1 ? x)3 x ? ?
n ?1 x ?1

?

1? x ? 2. (1 ? x)3

(10 分)



k 2. 当 x ? 0 时, e x ? ln(1 ? x) ? 1 与 x 是同阶无穷小,则 k ?

3

.

3. 考 专业

1 x? 1 (1 ? x ? ) e x dx ? ? x

xe

x?

1 x

?c



4. 设 2sin( x ? 2 y ? 3z) ? x ? 2 y ? 3z ,则 装
?? 0

?z ?z ? ? ?x ?y
x

1

.

得 分 解

三、 (本题 9 分)设 f ?( x) ? arcsin ( x ?1)2 ,且 f ( 0) ? 0 ,求 I ? ? f ( x) dx .
0

1

5. 已知

?

e? x dx ?

2

?
2

,则

?
3

?? 0

e ?x ? e ? x


dx ?

? ?2

.

由分部积分公式可得,
2 ? I ? ? f ( x) dx ? [ xf ( x)] 1 0 ? ? xf ( x) dx ? f (1) ? ? x arcsin ( x ? 1) dx . 0 0 0 1 0 1 1 1 1

6. 数列 学院

? n ? 中最大的数是
n

(3 分)

3

7. 设 ? xn ? 是正值有界数列,则 lim
n ??

xn ? x1 ? x2 ? ? ? xn

又由 N-L 公式知, f (1) ? f (1) ? f (0) ?

?

f ?( x) dx ? ? arcsin ( x ?1)2 dx ,所以
0
0

0

.

8. 设 D ? ( x, y ) 1 ? x ? 2, 1 x ? y ? x ,则

?

?

??
D

f(

y ) dxdy 在极坐标下的累次积分(先 r 后 ? ) x

I ? ? (1 ? x ) arcsin ( x ? 1) 2 dx ?? ? ? t arcsin t 2 dt
0 ?1

1

t ? x ?1

P1

P2

1 0 1 ? ? ? arcsin t 2 dt 2 ? ? [ t 2 arcsin t 2 ? 1 2 2 1 ? ? 1 ? ? [ ? ? 1? t 4 0 ? . ?1 ] ? 2 2 4 2

0 ?1

??

0 ?1

2t 3 1? t
4

dt ]
(10 分)

S (a, b) ? ?

b?a 0

( bx ? x 2 ? ax ) dx ? [
2 2

b ? a 2 1 3 b?a 1 x ? x ] 0 ? ( b ? a )3 . 2 3 6

(4 分)

问题归结为求 S (a, b) 在约束条件 a ? b ? 1 下的最值. 为此,作函数

F (a, b, ? ) ?

1 ( b ? a )3 ? ? ( a 2 ? b2 ? 1) , 6

得 分
学号 线

四、 (本题 10 分)设 f (t ) 在 ? 上可导,对 ?x, y ? ? ,恒有

f ( x ? y) ? e y f ( x) ? e x f ( y) ,且 f ?( 0) ? 2 . 求 f (t ) .

? Fa? ? ? ( b ? a )2 2 ? 2? a ? 0 1 1 1 ? 2 则由方程组 ? Fb? ? ( b ? a ) 2 ? 2?b ? 0 解得唯一条件驻点 ( ? , ) ,此时 S ? 2. 3 2 2 ? F ? ? a 2 ? b2 ? 1 ? 0 ? ?
又因为当 a ? 0, b ? 1 时,或当 a ? ?1, b ? 0 时, S ?

解 在 f ( x ? y) ? e y f ( x) ? e x f ( y) 中,取 x ? y ? 0 代入得,


1 ,所以所求面积的最大值和最小值分别 6
(10 分)

f ( 0 ? 0) ? 2 f ( 0) ?
姓名

f ( 0) ? 0 .

(2 分)

为 Smax ?

1 1 2, Smin ? . 3 6

对 ?x ? ? (固定) ,将 f ( x ? y) ? e y f ( x) ? e x f ( y) 两边关于 y 求导可得,



f ?( x ? y)(0 ? 1) ? e y f ( x) ? e x f ?( y) ,

x 令 y ? 0 代入上式,并注意 f ?( 0) ? 2 ,可得 f ?( x) ? f ( x) ? 2e . t 记 y ? f (t ) ,则 y? ? f ?(t ) ,解微分方程 y? ? y ? 2e 得通解
dt ? dt y ? e ? [ ? 2et e ? dt ? c ] ? et ( 2t ? c ) ,



(5 分)

班级



得 分

六、 (本题 10 分)设 f ( x) 在 [0,1] 上非负连续,且 f 2 ( x) ? 1 ? 2? f (t ) dt ,
0

x

证明:对 ?x ? [0,1] ,有 f ( x) ? 1 ? x .



专业

而由 y

t ?0

? 0 得 c ? 0 ,所以 y ? 2 te ,即 f (t ) ? 2 te .
t

t

(10 分)

证明 令 g ( x) ? 1 ? 2? f (t ) dt , x ? [0,1] ,则 g ( x) 在 [0,1] 上正值可导,且 f 2 ( x) ? g ( x) ,
0

x

从而 g?( x) ? 2 f ( x) ? 2 g ( x) . 装 于是,由 N-L 公式及积分的单调性可得,对 ?x ? [0,1] ,有

(4 分)

得 分
学院

五、 (本题 10 分)设 a, b 满足 ?

b a

1 x dx ? ( a ? 0 ? b ) ,求曲线 y ? x2 ? ax 2

g ( x) ? 1 ? g ( x) ? g (0) ? ?

x 0

d g (t ) dt dt

与直线 y ? bx 所围平面区域面积的最大值和最小值.

??
因此对 ?x ? [0,1] ,有 f ( x) ?

x 0

x g ?(t ) dt ? ? 1dt ? x , 0 2 g (t )



因为

?

b a

x dx ? ?? x dx ? ? x dx ?
a 0

0

b

1 2 1 ( a ? b 2 ) ? ,所以 a 2 ? b2 ? 1 . 2 2

g ( x) ? 1 ? x .

(10 分)

而曲线 y ? x ? ax 与直线 y ? bx 所围区域的面积为
2

P3

P4

得 分

七、 (本题 12 分)设 z ? z ( x, y ) 二阶偏导数连续,且满足方程

?2 z ?2 z ?2 z A 2 ? 2B ? C 2 ? 0 ,其中 B 2 ? AC ? 0 . ?x ?x?y ?y

?2 z ?0. 从而原方程化成 (9 分) ?u?v ? ?z ?z ?2 z ( ) ?0 ? ? ? (u ) ? z (u , v ) ? ? ? (u ) du ? ? (v) , ?0 ? (2)由(1)得 ?v ?u ?u ?u?v
记 ? (u ) ? ? (u ) du ,则 z ( x, y ) 的一般表示式为

若作变换 ?

? u ? x ?? y ?2 z ? 0 ,并求 z ( x, y ) 的一般表示式. ,试确定 ? , ? 的值,使得原方程化成 ?u?v ?v ? x??y

?

z( x, y) ? ? (u) ?? (v) ? ? ( x ? ? y) ?? ( x ? ? y) .

(12 分)

解(1)将 x, y 视为自变量, u, v 视为中间变量,由链锁法则可得,
学号 线

?z ?z ?u ?z ?v ?z ?z ?z ?z ?u ?z ?v ?z ?z ? ? ? ? , ? ? ?? ?? ; ?x ?u ?x ?v ?x ?u ?v ?y ?u ?y ?v ?y ?u ?v



?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ?( 2 ? )?( ? )? 2 ?2 ? , ?x 2 ?u ?u?v ?v?u ?v 2 ?u ?u?v ?v 2
姓名
2 2 ?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ?2 z 2 ? z 2 ? z , ? ? ( ? ? ? ) ? ? ( ? ? ? ) ? ? ? 2 ?? ? ? ?y 2 ?u 2 ?u?v ?v?u ?v 2 ?u 2 ?u?v ?v 2



班级

?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ?( 2?? ? )?( ? ? 2 ? ) ? ? 2 ? (? ? ? ) ? ? 2 , (5 分) ?x?y ?u ?u?v ?v?u ?v ?u ?u?v ?v
将上述结果代入所给方程,化简得
2 ?2 z ?2 z ?2 z ?2 z 2 ? z A 2 ? 2B ? C 2 ? ( A ? 2B? ? C? ) 2 ? 2[ A ? B(? ? ? ) ? C?? ] ?x ?x?y ?y ?u ?u?v







专业



?( A ? 2 B? ? C ? 2 )


?2 z ? 0. ?v 2

? A ? 2 B? ? C? 2 ? 0 2 2 令 ? ,因为 B ? AC ? 0 ,所以方程 A ? 2 Bt ? Ct ? 0 有两个不同实根,分别 2 ? A ? 2B? ? C ? ? 0
学院

? B ? B 2 ? AC ? B ? B 2 ? AC 为? ? . , ?? C C
因此,当 ? ?

? B ? B 2 ? AC ? B ? B 2 ? AC 时,注意到此时 A ? B(? ? ? ) ? C?? ? 0 , , ?? C C

P5

P6


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