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数列求和方法汇总(含答案)


一、利用常用求和公式求和
1、 等差数列求和公式: S n ?

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基 本最重要的方法.

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、 等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ?

a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q

[例 1] 已知 log3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3 ?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

解:由 log3 x ?

由等比数列求和公式得 用常用公式)

Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n
1 1 (1 ? n ) x (1 ? x n ) 2 2 =1- 1 = = 1 2n 1? x 1? 2

(利

1. 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

李昊

1

二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

若 an ? bn ? cn ,其中 ?bn ? 是等差数列, ?cn ? 是公比为 q 等比数列,令

Sn ? b c 1 c 1? b 2 ? 2 ??
则 qSn ?

n ?

b1 ?1 ? n c

n

bn c b n c 1?
n ?n

b1 c2? b2 c ? 3 ??

n?

b c1

两式相减并整理即得
[例 2] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① 解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x 通项之积 设
n ?1

}的

xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ……………………….



(设制错位) ① - ② 得 (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

(1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

2. 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

李昊

2

3.已知 an ? n ? 2n?1 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) , 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .
0 1 2 n [例 3] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n

证明: 设 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ………………………….. ①
0 1 2 n

把①式右边倒转过来得
n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

(倒序)
李昊 3

m n ?m 又由 Cn 可得 ? Cn 0 1 n?1 n …………..…….. ② S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

① + ② 得 (倒序相加) ∴

0 1 n?1 n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

S n ? (n ? 1) ? 2 n

4. 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

5.求值: S ?

12 22 32 102 ? ? ? ?? ? 12 ? 102 22 ? 92 32 ? 82 102 ? 12

李昊

4

四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 4] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?
(分组)

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a
(3n ? 1)n (3n ? 1)n = 2 2
(分

Sn ? n ? 当 a=1 时,
组求和)

1 n (3n ? 1)n a ? a1?n (3n ? 1)n a a ? 1 ? 当 时, S n ? = ? 1 a ?1 2 2 1? a 1?
?1 ?2 ?3 ?n 6. 求和: S n ? 2 ? 3 ? 5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 6 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ? 3 ? 5

?

? ?

? ?

?

?

?

李昊

5

7.求和: Sn ? ? a ? 1? ? ? a 2 ? 2 ? ? ? a 3 ? 3? ? ? ? ? a n ? n ?

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项(通 项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? cos n? cos(n ? 1)?

1 1 1 ? ? (3) a n ? n(n ? 1) n n ? 1
李昊

(2n) 2 1 1 1 (4) an ? ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
6

(5) an ? (6)

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

an ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 1? 2 , 1 2? 3


[例 5] 求数列

,? ? ?,

1 n ? n ?1


,? ? ? 的前 n 项和. 1 n ? n ?1

解 (裂项) 则

an ?

? n ?1 ? n

Sn ?

1 1? 2

?

1 2? 3

? ??? ?

1 n ? n ?1

(裂项求和)
= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 8. 在数列{an}中, an ? 的和.

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

9. 求证:

1 1 1 cos1? ? ? ? ? ? ? ? cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?

李昊

7

10. 已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等 比数列{bn}的第二、三、四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对任意自然数 n 均有 求 c1+c2+c3+…+c2003 的值.

c c1 c2 c3 ? ? ? ? ? n ? an?1 成立. b1 b2 b3 bn

李昊

8

答案“

1.

解:由等差数列求和公式得 S n ?

1 1 n(n ? 1) , S n ? (n ? 1)( n ? 2) 2 2

(利用常用

公式)
∴ f ( n) ?

n Sn = 2 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 n ? 64



1 n ? 34 ? 64 n



( n?

1 8 n

?

) 2 ? 50

1 50

∴ 当

n?

1 8 ,即 n=8 时, f (n) max ? 50 8

2n 1 }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 n 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② (设制 2 2 2 2 2

2.

解:由题可知,{

错位)
①-②得 (1 ? ) S n ?

1 2

2 2 2 2 2 2n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2

(错位

相减)

? 2?


1 2
n ?1

?

Sn ? 4 ?

n?2 2 n ?1

2n 2 n ?1

3.解: Sn

? 1? 20 ? 2? 21 ??? (n ?1)? 2n?2 ? n? 2n?1

① ②

2Sn ? 1? 21 ? 2? 22 ? ?? (n ?1)? 2n?1 ? n? 2n
②—①得

Sn ? n? 2n ?1? 20 ? 21 ??2n?1 ? n? 2n ? 2n ?1

4.

解:设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 …………. ①
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

将①式右边反序得

S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? …………..②
又因为 sin x ? cos(90 ? x), sin x ? cos x ? 1
? 2 2

(反序)

李昊

9

①+②得

(反序相

加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89
∴ S=44.5

6. 解: Sn ? ? 2 ? 3 ? 5?1 ? ? ? 4 ? 3 ? 5?2 ? ? ? 6 ? 3 ? 5?3 ? ? ? ? ? 2n ? 3 ? 5? n ?
? ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ? 3 ? 5?1 ? 5?2 ? 5?3 ? ? ? 5? n ?
n 1? ?1? ? ?1 ? ? ? ? n 5? 3 ? ?1? ? ? ?5? ? ? ? n ? n ? 1? ? 3 ? ? n2 ? n ? ?1 ? ? ? ? 1 4? ? ?5? ? ? 1? 5 1 2 n n ? ? ??? ? ? 8. 解: ∵ a n ? n ?1 n ?1 n ?1 2



bn ?

2 1 1 ? 8( ? ) n n ?1 n n ? 1 ? 2 2

(裂项)
∴ 数列{bn}的前 n 项和

1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 8n 1 ) = = 8(1 ? n ?1 n ?1 1 1 1 ? ? ??? ? 9. 解:设 S ? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?

(裂项求和)

sin 1? ∵ ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)
项)
∴S ?

(裂

1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?

(裂项求

和)


1 {(tan 1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan 1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} ? sin 1


1 1 cos1? ? ? ? (tan 89 ? tan 0 ) ? cot 1 = = sin 1? sin 1? sin 2 1?
∴ 原等式成立

10.
李昊

解:(1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0)

10

解得 d=2,∴an=2n-1,可得 bn=3n (2)当 n=1 时,c1=3; 当 n≥2 时,由

-1

cn ? an ?1 ? an ,得 cn=2·3n-1, bn

故 cn ? ?

?3(n ? 1),
n ?1 ?2 ? 3 (n ? 2).

故 c1+c2+c3+…+c2003=3+2×3+2×32+…+2×32002=32003.

李昊

11


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