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37届奥赛物理试题理论题


第 37 届国际奥林匹克物理竞赛 理论考试 (2006 年 7 月 10 日,星期一,新加坡)

考试须知:
1. 本场考试时间为 5 小时。共有 3 题,每题 10 分。 2. 只能使用考场所提供的笔。 3. 只能使用考场所提供的纸张的正面。 4. 不同的题目不要在同一张演算纸(Writing Sheets)上解答。 5. 请在答卷纸(Answer

Script)上答题。另外还提供演算纸(Writing Sheets)。根据 题中给出的数据,数值答案请保留正确的有效位数。不要忘记写物理单位。 6. 在演算纸上,写下解题所必需的步骤、内容,并标明希望考官批改的部分。书 写时,希望用尽可能少的文字,只需提供公式、数值、符号和图表等。 7. 请务必在所使用的每张答卷纸和演算纸上指定的方框内,填上国家号和学生 号;在所使用的每张演算纸上,填上题号、演算纸页码号和每题所使用的演算 纸总数,以便考官批改。此外,你可将题号和小题号写在空白纸张的顶部。如 果你不希望某张演算纸上的草稿被批改,请在不要的纸上画一个大叉,且不要 把它算在演算纸的总页数内,亦不要编写页码。 8. 考试结束时,请将所有答卷纸和演算纸按顺序整理,即每题答卷纸在前,希望 批改的演算纸随后,不希望批改的演算纸其次,未使用的纸张和印刷的考题 放在最后。将所有纸张按题号顺序放置,用所提供的夹子把它们夹好,留在桌 面上。不得把所提供的任何纸张携带出考场。

理论题 1 中子干涉仪中的重力 请将答案写在答卷纸上 a M IN BS 2? 2? BS OUT1 a M a a OUT2

BS – 分束板 图 1 .a

M –反射镜

IN

OUT2

?

OUT1

图1.b

物理描述 考虑 Collela, Overhauser and Werner 著名的中子干涉仪实验,在干涉仪 中,我们将假设分束板和反射镜是理想的,实验研究重力场对中子德布罗意波影响. 干涉仪中采用与光学类似的符号如图 1a .中子从入口 IN 进入干涉仪,沿图 示的两条路径到达两个输出端口,在输出端口 OUT1 和 OUT2 检测,两条路经形成 一个菱形,其面积一般为数个平方厘米(cm2)。 中子的德布罗意波(波长约为 10?10 m)产生干涉,当干涉仪水平放置时,所 有中子都从输出端口 OUT1 输出。但如果将干涉仪以中子入射方向为轴旋转 ? 角, 则可以观察到依赖于 ? 的中子输出量在 OUT1 与 OUT2 两个端口之间的再分配。

几何描述 当 ? ? 0? 时,干涉仪的平面是水平的;而当 ? ? 90? 时,该平面是竖 直的,且两个输出端口皆在旋转轴的上方。 1.1 1.2 (1.0) 求两条路径所形成的菱形的面积 A 。 (1.0) 以旋转轴所在的水平面为基准,求输出端口 OUT1 的高度 H 。

将 A 与 H 的答案用 a , ? , ? 来表示。

光程 光程 Nopt(为一个数)是几何路径长度(为一个距离)与波长 ? 的比值。 但如果 ? 的值不是常数、而是沿着路径变化,则 Nopt 可通过求 ??1 沿着路径的积分 得到。 1.3 (3.0) 当干涉仪被旋转了 ? 角后,求两条路径之间的光程差?Nopt。将答案用 以下物理量来表示: a , ? , ? ,中子质量 M,入射中子的德布罗意波长 ? 0 ,重力加速度 g,以及普朗克常数 h 。 (1.0) 引进体积参数
h2 gM 2 并将?Nopt 完全用 A , V , ? 0 , ? 来表示。已知 M = 1.675× ?27 kg, g = 10 V ?

1.4

9.800 m s?2, h = 6.626 × 10?34 J s,求 V 的值。 1.5 (2.0) 如果把从高强度到低强度又回到高强度作为一个循环,问当 ? 的值由 ? ? ?90? 增加到 ? ? 90? 时,输出端口 OUT1 共经历了多少个完整的循环? 及 ? ? 22.10? ,结

实验数据 在一次实验中,干涉仪的参数选为 a = 3.600 cm 果观察到 19.00 个完整的循环。 1.6 1.7 (1.0) 问在这次实验中 ? 0 的值为多少?

(1.0) 如果在另一次类似的实验中观察到了 30.00 个完整的循环,而入射中 子的 ? 0 = 0.2000 nm,求 A 的值为多少?

提示 当 ?x ?? 1 时, ?1 ? x ?? 可近似为 1 ? ?x 。

国家号(Country Code)

学生号(Student Code)

题号(Question Number) 1

答卷纸
几何 1.1 面积为

仅供考官使 用

1.0

A?

1.2

高度为

1.0

H?

国家号(Country Code)

学生号(Student Code)

题号(Question Number)

1 光程 1.3 用 a , ? , ? , M , ? 0 , g 和 h 来表示光程差: ?Nopt =
仅供考官使 用 3.0

1.4

用 A , V , ? 0 和 ? 来表示光程差: ?Nopt =

0.8

体积 V 的数值为

0.2

V?

1.5

可观察到的完整循环的次数为 # of cycles =

2.0

国家号(Country Code)

学生号(Student Code)

题号(Question Number) 1
仅供考官使 用

实验数据

1.6

德布罗意波长为

?0 ?

1.7

面积为

A?

理论题 2:观察运动的细棒 请将答案写在答卷纸上。

针孔照相机 mera

D

细棒 v 0

x

物理描述 一架针孔照相机以瞬间开关针孔的方式拍摄木棒的运动状况,其针 孔位于 x ? 0 ,与 x 轴的距离为 D 处。 x 轴上标有等距的刻度,用于在照片中测量 木棒的表观长度。当木棒静止时,其长度为 L 。然而,本题中木棒以固定的速度 ? 沿 x 轴运动, 基本关系 置为 ~ 。 x 2.1 在针孔照相机所拍摄的一张照片中,某一小段木棒在像中显示的位

(0.6) 问在该照片的拍摄时刻,该小段木棒的实际位置 x 是多少?请将答案用 ~ , D , L , ? 和光速 c =3.00× 8 m s-1 来表达。需要时,可用下列关系 10 x 1 ? 和 ? ? ?? c 1? ? 2 来简化答案。 (0.9) 求对应的逆关系,即用 x , D , L , ? 和 c 来表达 ~ 。 x

2.2

注意:实际位置是指照相机静止为参考系的位置 木棒的表观长度 一张照片。 2.3 2.4 (1.5) 利用已给出的量,求此照片中木棒的表观长度。 (1.5) 在答卷纸上,选择正确描述表观长度如何随时间变化的答案。请在正 确答案旁的方框内打勾。 一张针孔相机的照片显示,针孔到木棒两端的距离相等。 在木棒中点的实际位置到达 x 0 的瞬间,针孔照相机拍摄了

对称照片 2.5 2.6

(0.8) 求该照片中木棒的表观长度。 (1.0) 求照像时木棒中点的实际位置。

2.7

(1.2)在照片中,木棒中点的像的位置在哪里?

很早及很迟时所拍摄的照片 在很早的时候,即当木棒从极远处靠近且还在极远 处时,针孔照相机拍摄了一张照片;在很迟的时候,即木棒远离并已到达极远处时 又拍摄了一张照片。其中一张照片中木棒的表观长度为 1.00 m,另一张照片中木棒 的表观长度为 3.00 m。 2.8 2.9 (0.5) 在答卷纸上指明哪一个表观长度出现在哪一张照片上。请在正确答案 旁的方框内打勾。 (1.0) 求速度 ? 。

2.10 (0.6) 求木棒静止时的长度 L 。 2.11 (0.4) 推导出该木棒在对称照片中的表观长度。

国家号(Country Code)

学生号(Student Code)

题号(Question Number) 2

答卷纸
基本关系

仅供考官使 用

0.6

2.1

已知 ~ ,求 x 的值: x

x =

2.2

已知 x ,求 ~ 的值: x

~ = x

木棒的表观长度 2.3 表观长度为
~ L ( x0 ) =

2.4

选择一项:该表观长度将会 ? 先增大,达到最大值,然后减小。 ? 先减小,达到最小值,然后增大。 ? 始终减小。 ? 始终增大。 学生号(Student Code) 题号(Question Number) 2 对称照片
仅供考官使 用 0.8

国家号(Country Code)

2.5

表观长度为

~ L=

2.6

木棒中点的实际位置为
x0 =

2.7

木棒中点在照片上的位置至木棒前端端点像的距离为

l =

国家号(Country Code)

学生号(Student Code)

题号(Question Number) 2

很早及很迟时所摄的照片 2.8 选择一项: ? 表观长度在早摄的照片上为1.00 m ,在迟摄的照片上为 3.00 m 。 ? 表观长度在早摄的照片上为3.00 m ,在迟摄的照片上为

仅供考官使 用 0.5

1.0

1.00 m 。 2.9 速度为

? =

2.10 木棒静止时的长度为
L=

2.11 在对称照片上木棒的表观长度为
~ L=

理论题 3
本题由五个独立的部分组成。每个题目都估算大小,不要求精确结果。请在答卷 纸上答题。 数码相机 一数码相机装有边长为 L = 35 mm 的正方形 CCD 芯片,像素为 Np = 5 Mpix (1 Mpix = 106 pixels),其透镜焦距为 f = 38 mm。 出现在透镜上的著名 数列(2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 22) 叫做 F-数,记作 F # ,定义为透镜焦 距和孔径(即光圈直径)之比,即 F # ? f / D 。 3.1 (1.0) 由于相机镜头所限,求芯片所能达到的最佳空间分辨率 ?x min 。请用波 长 ? 和 F-数(即 F # )来表达。当波长 ? = 500 nm 时,求空间分辨率的数 值。 (0.5) 若 CCD 芯片要达到此最佳的空间分辨率,求其 CCD 芯片所必须拥有 的像素数 N Mpix。 (0.5)一般摄影师尽量选用可供使用的最小孔径。如果现在我们有一个像素为 N 0 = 16 Mpix 的数码相机,其芯片大小和透镜焦距如前面所述,那么应选择 的 F # 值是多少才能使得图片清晰度不受光学装置的限制? 3.4 (0.5) 已知人类肉眼的角度分辨率大约是 ? = 2 arcsec(秒),普通照片打印 机的分辨率为 300 dpi (即每英寸打印 300 点)。求你的眼睛和打印出的纸张之 间的最小距离 z ,以确保你看到的不是单个分开的点。 1 inch (英寸)= 25.4 mm 1 arcsec (秒) = 2.91 × 10?4 rad

3.2 3.3

Data

煮透的鸡蛋

一只从温度为 T0 = 4?C 的冰箱里取出的鸡蛋,直接被放入一个

盛有沸水的锅中,水始终保持沸腾,其水的温度为 T1 。 3.5 3.6 3.7 3.8 (0.5) 使鸡蛋凝固所需的能量 U 是多少? (0.5) 传导给鸡蛋的热流量 J 是多少? (0.5) 传导给鸡蛋的热功率 P 是多少? (0.5) 需要煮多久才能把鸡蛋煮透,即完全凝固? 你可使用简化的傅里叶定律 J ? ? ?T / ?r ,其中 ?T 是与问题的特征尺度 ?r 相关联的温度差。热流量 J 的单位是 W m?2。

提示

数据

鸡蛋的密度为:μ = 103 kg m?3 鸡蛋的比热为:C = 4.2 J K?1 g?1 鸡蛋的半径为:R = 2.5 cm 蛋白(鸡蛋的蛋白质)的凝固点: Tc = 65?C 热能传导系数: ? = 0.64 W K?1 m?1(假设液态和固态蛋白的热能传导系数 相同)

闪电 以下是闪电的简化模型。闪电是由云层中所累积的电荷引起的,其结 果是云层底部通常带正电,而顶部则带负电,云层下的地面带负电。当电场强度积 累到足以击穿空气时,突然的放电就会发生,形成闪电。 电流

时间 闪电时,理想化云层底部和地面之间的电流脉冲

把电流看作时间的函数,利用上图简化的曲线和以下数据: 云层底部与地面之间的距离:h = 1 km 击穿湿润空气所需的电场: E 0 = 300 kV m-1 地球每年闪电数:32 × 106 世界总人口:6.5 × 109 人 请回答下列问题: 3.9 (0.5) 闪电释放的总电量 Q 是多少? 3.10 (0.5) 闪电时云层底部和地面之间的平均电流 I 是多少? 3.11 (1.0) 假设一年内所有闪电的总能量被收集起来,并平均分配给每个人,如你 分得的这份能量用来点亮 100 W 的灯泡,可以持续多长时间?

毛细血管 把血液看作不可压缩的粘性液体,并把它的密度 μ 视为和水一样, 它的动态粘滞系数为 ? = 4.5 g m?1 s?1。我们用圆柱形直筒作为血管模型,其半径为 r,长度为 L,并用伯肃叶定律来描述血流量,
?p ? R D ,

这一流体动力学公式与电学中的欧姆定律相似,这里 ?p 是血管入口和出口的压强 差, D ? S? 是单位时间流经横截面积为 S 的血管的血液的体积, ? 是血液流动的 速度。血管阻抗 R 由下式给出:

R?

8?L 。 ? r4

在体循环中(即血液从左心室流经身体到右心房),处于平静状态的人,血流是 D ? 100 cm3 s?1。假设所有的毛细血管都并联,并且其半径为 r = 4 μm,长度为 L = 1 mm,并在压强差为 ?p = 1 kPa 的情况下工作,回答下列问题: 3.12 (1.0) 人体内共有多少根毛细血管? 3.13 (0.5) 当血液流经毛细血管时,它的流速 ? 是多少? 摩天大厦 在高度为 1000 m 的摩天大厦底部,室外温度为 Tbot= 30?C。本题的 目标是估算摩天大厦顶部的温度 Ttop。设想一片薄的空气切片(可近似为理想氮 气,其绝热系数为 ? = 7/5)慢慢上升到高度为 z 气压较低的地方,并假设这空气 切片绝热膨胀,使得它的温度降低到周围空气的温度。 3.14 (0.5) 问随着压强的相对变化 dp / p ,温度的相对变化 dT / T 是多少? 3.15 (0.5) 请用高度变化 dz 来表达压强差 dp 。 3.16 (1.0) 由此可得到楼顶温度是多少? Data 玻尔兹曼常量:k = 1.38 × 10?23 J K?1 单个氮分子的质量:m = 4.65 × 10?26 kg 重力加速度:g = 9.80 m s?2

国家号(Country Code)

学生号(Student Code)

题号(Question Number) 3

答卷纸
数码相机 3.1 最佳空间分辨率是
?x min ?

仅供考官使 用

(公式):

0.7

它给出当 ? = 500 nm时的
?x min ?

(数值):

0.3

3.2

像素数Mpix是

0.5

N?

3.3

最佳的F-数是
F#?

0.5

3.4

最小距离是

0.5

z?

国家号(Country Code)

学生号(Student Code)

题号(Question Number) 3

煮透的鸡蛋
仅供考官使 用

3.5

所需的能量是
U?

0.5

3.6

热流量是

0.5

J?

3.7

传导的热功率是

0.5

P?

3.8

煮透鸡蛋所需的时间

0.5

??

国家号(Country Code)

学生号(Student Code)

题号(Question Number) 3

闪电 3.9 总电量是
Q?
仅供考官使 用 0.5

3.10 平均电流是

0.5

I?

3.11 灯泡可持续的时间是

1.0

t?

毛细血管 3.12 人体内的毛细血管总数是
N?
1.0

3.13 毛细血管内血液的流速是

0.5

??

国家号(Country Code)

学生号(Student Code)

题号(Question Number) 3

摩天大楼 3.14 温度的相对变化是

仅供考官使 用 0.5

dT ? T

3.15 压强差是
dp =

0.5

3.16 楼顶的温度是 Ttop =

1.0


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