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【创新方案】2015高考数学(文)一轮热点题型突破:第8章 第7节 抛物线]


第七节

抛 物 线

考点一

抛物线的定义及应用

[例 1] 设 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点. (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值. [自主解答]

(1

)如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x=-1. 由抛物线的定义知:点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离. 于是,问题转化为:在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0) 的距离之和最小. 显然,连接 AF 交曲线于点 P,则所求的最小值为|AF|,即为 5.

(2)如图,过点 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交抛物线于点 P1,则|P1Q|=|P1F|. 则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4. 即|PB|+|PF|的最小值为 4. 【互动探究】 若将本例(2)中的 B 点坐标改为(3,4),求|PB|+|PF|的最小值. 解:由题意可知点(3,4)在抛物线的外部. ∵|PB|+|PF|的最小值即为 B,F 两点间的距离. ∴|PB|+|PF|≥|BF|= 42+22= 16+4=2 5. 即|PB|+|PF|的最小值为 2 5. 【方法规律】 抛物线定义中的“转化”法 利用抛物线的定义解决此类问题, 应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距 离的等价转化.“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问 题的有效途径. p ? p 1.(2014· 天津模拟)已知动圆过定点 F? ?2,0?,且与直线 x=-2相切,其中 p>0,则动 圆圆心的轨迹 E 的方程为____________. p ? p 解析:依题意得,圆心到定点 F? ?2,0?的距离与到直线 x=-2的距离相等,再依抛物线 的定义知,动圆圆心的轨迹 E 为抛物线,其方程为 y2=2px. 答案:y2=2px

2.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,若|AF|=3,则|BF|= ________. 解析:因为抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0). 显然,当 AB 垂直于 x 轴时,|AF|≠3, 所以 AB 的斜率 k 存在, 设 AB 的方程为 y=k(x-1),与抛物线 y2=4x 联立, 消去 y 得 k2x2-2k2x-4x+k2=0, 即 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由根与系数的关系得 2k2+4 4 x1+x2= 2 =2+ 2. k k p 又|AF|=3=x1+ =x1+1,所以 x1=2, 2 2 2 2 代入 k x -2k x-4x+k2=0,得 k2=8, 5 1 所以 x1+x2= ,x2= , 2 2 1 3 故|BF|=x2+1= +1= . 2 2 3 答案: 2

考点二

抛物线的标准方程及性质

y2 [例 2] (1)(2013· 四川高考)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- =1 的渐近线的距离 3 是( ) 1 3 A. B. C.1 D. 3 2 2 x2 y2 (2)(2013· 江西高考)抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F, 其准线与双曲线 - =1 相交于 A, 3 3 B 两点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________. y2 [自主解答] (1)由抛物线 y2=4x,有 2p=4,p=2.其焦点坐标为(1,0),双曲线 x2- =1 3 的渐近线方程为 y = ± 3 x. 不妨取其中一条 3 x - y = 0. 由点到直线的距离公式有 d = | 3×1-0| 3 = . 2 3+1 AB 3 3 p (2)在等边三角形 ABF 中,AB 边上的高为 p, = p,所以 B? p,- ?.又因为点 B 2 3 2? ?3 p2 p2 3 4 在双曲线上,故 - =1,解得 p=6. 3 3 答案:(1)B (2)6 【方法规律】 1.求抛物线的标准方程的方法及流程 (1)方法:求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有 p,所以只需一个条件 确定 p 值即可. (2)流程:因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量. 2.确定及应用抛物线性质的关键与技巧 (1)关键:利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关键是将抛物线方程化 成标准方程.

(2)技巧:要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解. 1.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( ) A.2 2 B.2 3 C .4 D.2 5 p 2 解析:选 B 依题意,设抛物线方程是 y =2px(p>0),则有 2+ =3,得 p=2,故抛物 2 线方程是 y2=4x,点 M 的坐标是(2,± 2 2),|OM|= 22+8=2 3. x2 y2 2.(2014· 湖州模拟)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2 a b =2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( ) 8 3 16 3 A.x2= y B.x2= y 3 3 2 2 C.x =8y D.x =16y a2+b2 b?2 b c 解析:选 D 双曲线的渐近线方程为 y=± x,由于 = 1+? 2 = ?a? =2,所 a a a p 2 p b ? 以 = 3,所以双曲线的渐近线方程为 y=± 3x.抛物线的焦点坐标为? ?0,2?,所以2=2,则 a p=8,所以抛物线方程为 x2=16y.

高频考点

考点三

直线与抛物线的位置关系

1.直线与抛物线的位置关系,是高考命题的热点,多以解答题的形式出现,试题难度 较大,多为中、高档题. 2.直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度: (1)已知抛物线方程及其他条件,求直线方程; (2)证明直线过定点; (3)求线段长度或线段之积(和)的最值; (4)求定值. [例 3](2014· 杭州模拟)已知直线 y=2x-2 与抛物线 x2=2py(p>0)交于 M1,M2 两点,且

|M1M2|=8 15. (1)求 p 的值; p p (2)设 A 是直线 y= 上一点, 直线 AM2 交抛物线于另一点 M3, 直线 M1M3 交直线 y= 于 2 2 点 B,求 OA · OB 的值.
?y=2x-2, ? [自主解答] (1)由? 2 整理得 x2-4px+4p=0, ? x = 2 py , ?

Δ=16p -16p>0, ? ? 设 M1(x1,y1),M2(x2,y2),则?x1+x2=4p, ? x2=4p, ?x1· ∵|M1M2|=8 15, ∴ [?x1+x2?2-4x1x2]?1+22?=8 15, 即 ?16p2-16p?×5=8 15. ∴p2-p-12=0,解得 p=4 或 p=-3(舍去), 且 p=4 满足 Δ>0,∴p=4.

2

(2)由(1)知抛物线方程为 x2=8y, x2 x2 1 2 x1, ?,M2?x2, ?, 且 x1+x2=16,x1x2=16,M1? 8? 8? ? ? x3? 设 M3? ?x3, 8 ?,A (t,2),B(a,2), x2 2 -2 x2+x3 8 2 由 A,M2,M3 三点共线得 kM2M3=kAM2,∴ = ,即 x2 2+x2x3-t(x2+x3)=x2- 8 x2-t 16, 整理得 x2x3-t(x2+x3)=-16, ① 由 B,M3,M1 三点共线,同理可得 x1x3-a(x1+x3)=-16, ② ②式两边同乘 x2 得 x1x2x3-a(x1x2+x2x3)=-16x2, 即 16x3-a(16+x2x3)=-16x2, ③ 由①得 x2x3=t(x2+x3)-16, 代入③得 16x3-16a-at(x2+x3)+16a=-16x2, 即 16(x2+x3)=at(x2+x3),∴at=16. ∴ OA · OB =at+4=20.
2

直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略 (1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件,若缺少一个可设出此量,利用题设条件 寻找关于该量的方程,解方程即可. (2)证明直线过定点.可依题设条件寻找该直线的方程,可依据方程中的参数及其他条 件确定该直线过那个定点. (3)求线段长度和线段之积(和)的最值.可依据直线与抛物线相交,依据弦长公式,求出 弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或利用函数的知识,求函数的最值;也 可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.

(4)求定值.可借助于已知条件,将直线与抛物线联立,寻找待定式子的表达式,化简 即可得到. (2014· 潍坊模拟)已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G:x2=2py(p>0)相交于 B,C 两 1 点.当直线 l 的斜率是 时, AC =4 AB . 2 (1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 1 解:(1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是 时, 2 1 l 的方程为 y= (x+4),即 x=2y-4, 2 2 ?x =2py, ? 8+p 联立? 消去 x,得 2y2-(8+p)y+8=0,y1+y2= ,y1y2=4,由已知 AC 2 ? ?x=2y-4, =4 AB ,∴y2=4y1, 由韦达定理及 p>0 可得 y1=1,y2=4,p=2, ∴抛物线 G 的方程为 x2=4y. (2)由题意知直线 l 的斜率存在,且不为 0, 设 l:y=k(x+4),BC 中点坐标为(x0,y0), 2 ? ?x =4y, 由? 得 x2-4kx-16k=0, ?y=k?x+4?, ? xB+xC 由 Δ>0 得 k<-4 或 k>0,∴x0= =2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k,BC 中垂线方程为 y 2 1 -2k2-4k=- (x-2k), k ∴b=2(k+1)2,∴b>2. 故 b 的取值范围为(2,+∞). ———————————[ 课 堂 归 纳 —— 通 法 领 悟]———————————————— 4 个结论——直线与抛物线相交的四个结论 已知抛物线 y2=2px(p>0), 过其焦点的直线交抛物线于 A, B 两点, 设 A(x1, y1), B(x2, y2),则有以下结论: 2p (1)|AB|=x1+x2+p 或|AB|= 2 (α 为 AB 所在直线的倾斜角); sin α p2 (2)x1x2= ; 4 (3)y1y2=-p2; (4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,抛物线的通径长为 2p. 3 个注意点——抛物线问题的三个注意点 (1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 的值,但首先要判断抛物线是否 为标准方程,若是标准方程,则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程. (2)注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题. (3)直线与抛物线有一个交点, 并不表明直线与抛物线相切, 因为当直线与对称轴平行(或 重合)时,直线与抛物线也只有一个交点.


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