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高中文科数学导数复习



课程目标:
(一)导数概念及其几何意义 1.了解导数概念的实际背景。 2.理解导数的几何意义。 (二)导数的运算



会用给出的常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数, 能求简单的复合函数(仅限于形如 f (ax ? b) )的导数。 常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则:

r />n n ?1 ; ( x ) ' ? nx , n ? Q*; C ' ? 0 (C 为常数)

(sin x ? )'
1) ; ( l n x )?'

c xo s ( ; c ox s ? ) '?

s xi n ;

(e x ) ' ? e x ;

(a x ) ? ' a x la na( ?

a0 ?,

1 x

;

(log a x) ' ?

1 (a ? 0, a ? 1) . x ln a

法则 1: [u( x) ? v( x)]' ? u '( x) ? v '( x); 法则 2: [u( x)v( x)] ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x);

法则 3: ?

? u ( x) ? u '( x)v( x) ? u ( x)v '( x) (v( x) ? 0) . ?' ? v 2 ( x) ? v( x) ?

(三)导数在研究函数中的应用 1.了解函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调 区间(对多项式函数不超过三次) 。 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小 值(对多项式函数不超过三次) ,会求在闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不 超过三次) 。 3.会用导数解决某些实际问题。

课程讲解
一、导数的概念与和、差、积、商的导数 1 导数的定义: 设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义, 如果 ?x ? 0 时,?y 与 ?x 的
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?y ?y (也叫函数的平均变化率)有极限即 无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫 ?x ?x

1

做函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作

y/

x ? x0 ,即

f / ( x0 ) ? lim
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?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
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2 导数的几何意义:是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率 因此,如果
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y ? f ( x) 在 点 x 0 可 导 , 则 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处 的 切 线 方 程 为
y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )( x ? x0 )
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3 导函数(导数):如果函数 y ? f ( x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数,此时对于每一
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个 x ? (a, b) ,都对应着一个确定的导数 f ( x) ,从而构成了一个新的函数 f ( x) , 称这个
/ /

函数 f ( x) 为函数 y ? f ( x) 在开区间内的导函数,简称导数,
/

4 可导: 如果函数 y ? f ( x) 在开区间 (a, b) 内每一点都有导数, 则称函数 y ? f ( x) 在开
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区间 (a, b) 内可导
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5 可导与连续的关系:如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导,那么函数 y=f(x)在点 x0 处连续,
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反之不成立
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6 求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法:
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(1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x)

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?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ?x ?x ?y / (3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? lim ?x ? 0 ?x 7 常见函数的导数公式:
(2)求平均变化率
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C ' ? 0 ; ( x n )' ? nx n ?1 (sin x) ' ? cos x;
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( c ox s ? ) '?
1) ; ( l n x )?'

s xi n ;

(e x ) ' ? e x ;

(a x ) ? ' a x la na( ?

a0 ?,

1 x

;

(log a x) ' ?
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1 (a ? 0, a ? 1) . x ln a

8 和差积商的导数:
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法则 1: [u( x) ? v( x)]' ? u '( x) ? v '( x); 法则 2: [u( x)v( x)] ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x);

2

法则 3: ?

? u ( x) ? u '( x)v( x) ? u ( x)v '( x) (v( x) ? 0) ?' ? v 2 ( x) ? v( x) ?

二、单调性及其应用 1 利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤
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(1)求 f ? (x)

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(2)确定 f ? (x)在(a,b)内符号

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(3)若 f ? (x)>0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是增函数;若 f ? (x) <0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是减函数 2 用导数求多项式函数单调区间的一般步骤
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(1)求 f ? (x)

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(2) f ? (x)>0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
f ? (x)<0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间
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三、函数的极值、最值及应用 1 极大值: 一般地, 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f(x)
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<f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点
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2 极小值:一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)
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>f(x0) 就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点
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3 极大值与极小值统称为极值
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(ⅰ)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比
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较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
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(ⅱ)函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以
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不止一个

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(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值,
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(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点
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而使函数

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4 判别 f(x0)是极大、极小值的方法:若 x 0 满足 f ?( x 0 ) ? 0 ,且在 x 0 的两侧 f ( x) 的导数
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异号,则 x 0 是 f ( x) 的极值点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x) 在 x 0 两侧满足“左正右负” , 则 x 0 是 f ( x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值;如果 f ?( x) 在 x 0 两侧满足“左负右正” ,则 x 0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值 5 求函数 f(x)的极值的步骤:
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(1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x)
3

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(2)求方程 f′(x)=0 的根

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(3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格 检
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查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果 左负右正, 那么 f(x)在这个根处取得极小值; 如果左右不改变符号即都为正或都为负, 则 f(x) 在这个根处无极值
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6 函数的最大值和最小值:在闭区间 ?a, b ? 上连续的函数 f ( x) 在 ?a, b ? 上必有最大值与最
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小值. ⑴在开区间 (a, b) 内连续的函数 f ( x) 不一定有最大值与最小值. ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的; 函数的极值是比较极值点附近函数 值得出的. ⑶函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b ? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b ? 上有最大值与最小值的充 分条件而非必要条件. (4) 函数在其定义区间上的最大值、 最小值最多各有一个, 而函数的极值可能不止一个, 也可能没有一个
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7 利用导数求函数的最值步骤:
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⑴求 f ( x) 在 (a, b) 内的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较得出函数 f ( x) 在 ?a, b ? 上的最值

例题解析
热点之一 利用导数的定义求函数的导数 根据导数的定义求函数 y=f(x)在点 x0 处导数的方法: (1)求函数的增量 Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0); Δ y f(x0+Δ x)-f(x0) (2)求平均变化率 = ; Δx Δx (3)得导数 f′(x0)=Δ lim x→0 Δy .简记作:一差、二比、三极限. Δx

[例 1] 用定义法求下列函数的导数. 4 2 (1)y=x ;(2)y= 2.

x

Δ y f(x+Δ x)-f(x) [课堂记录] (1)因为 = Δx Δx = (x+Δ x) -x x +2x·Δ x+Δ x -x = =2x+Δ x, Δx Δx
2 2 2 2 2

4

所以 y′=lim
Δ x→0

Δy = lim (2x+Δ x)=2x. Δx
Δ x→0

4 4 4Δ x(2x+Δ x) (2)Δ y= , 2- 2=- (x+Δ x) x x2(x+Δ x)2 Δy 2x+Δ x =-4· 2 , Δx x (x+Δ x)2 ∴ lim
Δ x→0

2x+Δ x ? Δy 8 ? = lim ?-4· 2 2?=- 3. x ( x + Δ x ) Δx x ? ?
Δ x→0

即时训练

用导数的定义求函数 y= 1

1

x

在 x=1 处的导数.

解:∵Δ y=f(1+Δ x)-f(1)=

1+Δ x

-1



1- 1+Δ x 1-1-Δ x = 1+Δ x (1+ 1+Δ x) 1+Δ x -Δ x



, (1+ 1+Δ x) 1+Δ x Δy 1 ∴ =- . Δx (1+ 1+Δ x) 1+Δ x ∴f′(1)=lim
Δ x→0

Δy 1 =- . Δx 2

热点之二

导数的计算

求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算,再 利用运算法则求导数,在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则,联系 基本初等函数求导公式进行求导;对于不具备直接求导的结构形式要适当变形. [例 2] 求下列函数的导数: (1)y=x sinx;(2)y=3 e -2 +e; (3)y= lnx 3 ;(4)y=sin 2x. x2+1
2

x x

x

[课堂记录] 直接利用导数公式和导数运算法则求导. (1)y′=(x )′sinx+x (sinx)′=2xsinx+x cosx; (2)y′=(3 e )′-(2 )′+(e)′ =(3 )′e +3 (e )′-(2 )′=3 ln3·e +3 e -2 ln2 =(ln3+1)·(3e) -2 ln2; (lnx)′(x +1)-lnx·(x +1)′ (3)y′= 2 2 (x +1)
2 2 2 2 2

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

x

5

·(x +1)-lnx·2x 2 x +1-2x2·lnx = = ; 2 2 (x +1) x(x2+1)2

1

2

x

(4)y′=3(sin2x) ·(sin2x)′=6sin 2xcos2x. [ 思维拓展 ] 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条

2

2

件.运算过程出现失误,原因是不能正确理解求导法则,特别是商的求导法则.求导过程中 符号判断不清,也是导致错误的原因,从本例可以看出:深刻理解和掌握导数的运算法则, 再结合给定函数本身的特点,才能准确有效地进行求导运算,才能充分调动思维的积极性, 在解决新问题时才能举一反三,触类旁通,得心应手. 即时训练 求下列函数的导数:

lnx (1)y=xsinx;(2)y= ;

x

(3)y= x +1;(4)y=e

2

1-x

.

解:(1)y′=(xsinx)′=(x′)sinx+x(sinx)′=sinx+xcosx.

(2)y′=? =

?lnx?′=(lnx)′x-(x)′lnx=x ? x2 ? x ?

1 ·x-lnx

x2

1-lnx . 2

x

(3)∵函数 y= x +1可以看作函数 y= u和 u=x +1 的复合函数, ∴y′x=y′u·u′x=( u)′(x +1)′ 1 1 x = · ·(2x)= 2 . 2 u x +1 (4)∵ 函 数 y = e
u u
1-x 2

2

2

可 以 看 作 由 y = e 和 u = 1 - x 复 合 而 成 的 函 数 , ∴y′x =
1-x

u

(e )′·(ux)′=e (1-x)′=-e

.

热点之三

导数的几何意义

1.函数 y=f(x)在点 P(x 0 ,y 0 )处的导数 f′(x 0 )表示函数 y=f(x)在 x=x 0 处的瞬时 变化率,导数 f′(x 0 )的几何意义就是函数 y=f(x)在 P(x 0 ,y 0 )处的切线的斜率,其切线 方程为 y-y 0 =f′(x 0 )(x-x0). 2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤: (1)求出函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数 f′(x 0 ); (2)根据直线的点斜式方程得切线方程

y-y0=f′(x 0 (x-x 0 ).

6

特别警示:求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异,过点

P 的切线中,点 P 不一定是切点,点 P 也不一定在已知曲线上,而在点 P 处的切线,必以点 P 为切点.
[例 3] (1)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x -10x+3 上,且在第二象
3

限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2,则点 P 的坐标为________. 1 3 4 (2)已知曲线 y= x + . 3 3 ①求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; ②求曲线过点 P(2,4)的切线方程; ③求斜率为 4 的曲线的切线方程. [思路探究] 求曲线的切线方程方法是通过切点坐标, 求出切线的斜率, 再通过点斜式 得切线方程. [课堂记录] (1)由 y′=3x -10=2 可解得 x=±2, ∵切点 P 在第二象限内, ∴x=-2,由此可得点 P 的坐标为(-2,15). 1 3 4 2 (2)①∵P(2,4)在曲线 y= x + 上,且 y′=x , 3 3 ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. 1 3 4 1 3 4 ②设曲线 y= x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A(x0, x0 + ),则切线的斜率 k= 3 3 3 3
2

y′|x=x0=x02.
1 3 4 2 ∴切线方程为 y-( x0 + )=x0 (x-x0), 3 3 2 3 4 2 即 y=x0 ·x- x0 + . 3 3 2 3 4 2 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x0 - x0 + , 3 3 即 x0 -3x0 +4=0,∴x0 +x0 -4x0 +4=0, ∴x0 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2) =0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 4 2 ③设切点为(x0,y0),则切线的斜率 k=x0 =4,x0=±2.切点为(2,4)或(-2,- ), 3 4 ∴切线方程为 y-4=4(x-2)或 y+ =4(x+2), 3 即 4x-y-4=0 或 12x-3y+20=0. [思维拓展] 利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件:
2 2 3 2 3 2 2

7

(1)函数在切点处的导数函数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率,已 知斜率可求切点的坐标. (2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点. 即时训练 ________. 解析:因为 f(x)=xlnx+1, 1 所以 f′(x)=lnx+x· =lnx+1. 设 f(x)=xlnx+1,若 f′(x0)=2,则 f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为

x

因为 f′(x0)=2,所以 lnx0+1=2, 解得 x0=e,y0=e+1. 由点斜式得,f(x)在点(e,e+1)处的切线方程为 y-(e+1)=2(x-e),即 2x-y-e +1=0.故填 2x-y-e+1=0. 答案:2x-y-e+1=0

热点之四 [例 4]

导数的物理意义

有一架长度为 5 米的梯子贴靠在垂直的墙上,假设其下端沿地板 3 米/秒的速

度离开墙脚而滑动,则: (Ⅰ)当其下端离开墙脚 1.4 米时,梯子上端下滑的速度是多少? (Ⅱ)何时梯子的上、下端能以相同的速度移动? (Ⅲ)何时其上端下滑的速度为 4 米/秒? [思路探究] 利用已知条件可以建立一个距离对时间的函数,即一个实际中的位移函

数,由导数的物理意义可知所求的速度即是该函数在这一时刻的导数. [课堂记录] 设在时刻 t 秒时梯子上端距开始位置的距离为 s 米, 梯子下端离开墙角的 距离为 x 米, 则 x=3t,s=5- 25-x =5- 25-9t , ∴st′= 9t 25-9t
2 2 2

.

∴(Ⅰ)当 x=1.4 米,即 3t=1.4 时,

st′=

1.4×3 25-1.4

2

=0.875(米/秒). 5 2 =3,解得 t= . 6 25-9t
2

(Ⅱ)令 st′=3 得

9t

5 2 ∴在时刻 秒时,梯子的上、下端能以相同的速度移动. 6 9t 4 4 (Ⅲ)令 st′=4 得 =4,解得 t= ,故在时刻 秒时,梯子上端下滑的速度为 4 2 3 3 25-9t 米/秒.

8

即时训练

旗杆高 10 m,一人以每秒 3 m 的速度向旗杆前进,当此人距杆脚 5 m 时,

他与杆顶的距离改变率如何(此人的身高不计)? 解: 设从杆脚 5 m 向杆前进, 时间为 t 秒时该人距杆顶的距离为 s, 则 s= 10 +(5-3t) , 2(5-3t)·(-3) 所以 s′= , 2 2 2 10 +(5-3t) 而所要求的改变率为在 5 m 处时的情况,即 t=0, 所以 s′(0)= -15 3 5 =- (m/s). 5 125
2 2

9


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