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椭圆的简单几何性质2


椭圆的简单几何
性质(2)

新知探究

1.对于椭圆的原始方程,
(x + c ) + y +
2
2 2

(x - c ) + y = 2a
2 2

2

2

变形后得到 a - cx = a (x

- c ) + y , 再变形为
(x-c)+ y a xc
2 2 2

c = . a

这个方程的几何意义如何?

新知探究

y
2 2

l

(x-c)+ y a xc
2

c = a

M
O F

H
x
2

a x= c
2

椭圆上的点M(x,y)到焦点F(c,0)的

a 距离与它到直线x = 的距离之比等于 c 离心率.

新知探究

若点F是定直线l外一定点,动点M到点 F的距离与它到直线l的距离之比等于 常数e(0<e<1),则点M的轨迹是椭圆.
l

M F

H

新知探究

a 直线 x = 叫做椭圆相应于焦点F2(c,0) c
2

2

的准线,相应于焦点F1(-c,0)的准线方程

a 是 x= c

y
2

a x= c

a x= c
F1 O F2 x

2

新知探究

x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的准线方程是 b a 2 y a y= c
F2

O
F1

x
a y= c
2

新知探究

椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是
y
2 2

l

a b | FM |= - c= c c

O

F

M x

新知探究

椭圆上一点M(x0,y0)到左焦点F1(-c,0) 和右焦点F2(c,0)的距离分别是

|MF1|=a+ex0
N

y M

|MF2|=a-ex0

F1 O

F2

x

新知探究

椭圆上的点到椭圆一个焦点的距 离叫做椭圆的焦半径,上述结果就是 椭圆的焦半径公式.

|MF1|=a+ex0
|MF2|=a-ex0

y M F1 O

F2

x

新知探究

y2 x2 椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?的焦半径公式是 a b

|MF2|=a-ey0
|MF1|=a+ey0

y M F2 O F1 x

1 求下列椭圆的准线方程. 2 (1) x ? 4 y ? 4 (2)
2 2
2 2

x y2 ? ?1 16 81
x2 ? y2 ? 1 4

解:⑴方程 x ? 4 y ? 4 可化为

(1)准线方程为
(2) 准线方程为

4 4 3 x?? ?? 3 3

81 81 65 y?? ?? 65 65

典型例题

x y ? ? 1上一点P到 例1 若椭圆 100 36
y
N1 10 P

2

2

椭圆左准线的距离为10,求点P到椭 圆右焦点的距离.12
B2
O F2

4 x2 y 2 解:椭圆100 ? 36 ? 1的离心率为 e ? 5 , K1 A1

F1

A2

x

点P到椭圆的左焦点距离为 : PF1 ? PN1 ? e ? 10e ? 8.

B1

再根据椭圆的第一定义得, 点P到椭圆的右焦点的距离为 : 2a ? PF1 ? 20-8=12

典型例题

例2 方程.

已知椭圆的两条准线方程为

1 y=±9,离心率为 3 ,求此椭圆的标准

x y ? ?1 8 9

2

2

典型例题

例3

已知椭圆中心在原点,焦点

在x轴上,点P为直线 x=3与椭圆的一 个交点,若点P到椭圆两焦点的距离分

别是6.5和3.5,求椭圆的方程. y 2 2 x = 3 x 4y + = 1 P 25 75
F1 O F2
x

典型例题

例4 已知点M与点F(4,0)的距离和它 4 25 到直线l:x ? 的距离之比等于 , 5 4 y l 求点M的轨迹方程.

x y + = 1 25 9

2

2

M O F

H

x

x2 y2 例5. 已知点M为椭圆 F2分 ? ? 1 的上任意一点,F1 、 25 16 5 别为左右焦点;且A(1,2), 求 | MA | ? | MF1 | 的最小值。 3 MF1 MF1 3 5 分析: Q = e= \ d= = MF1 d 5 e 3 5 y 故有: MA + MF1 3 M = MA + d


d

5 ? ( MA ? MF1 ) min 3 25 28 ? 1 ? (? ) ? 3 3

M

A
F1 O
F2

x

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为F1,F2,在直线 例6、已知椭圆 9 5 L:x+y-6=0上找一点M,求以F1,F2为焦点,通过M

且长轴最短的椭圆方程.
解:由题知:F1(-2,0),F2(2,0)

y M

且F2关于直线L的对称点为F2`(6,4)

F2′(6,4)

2a ? MF1 ? MF2 ? MF1 ? MF2 '

? F1 F2' ? 4 5

a ? 2 5, c ? 2, b ? 4 x2 y 2 ? ?1 所求椭圆方程为 20 16

F1

F2

x

例7

x2 y2 设F1、F2是椭圆 64 ? 36 ? 1的左、右焦

点,点M在椭圆上,且∠F1MF2=60°,求 △F1MF2的面积.
又 F1 F2 ? MF1 ? MF2
2 2 2 0

y

? a ? 8, b ? 6,? c ? 2 7 ? 2 ? MF1 ? MF2 ? cos 60

M

F1

O

F2

x

? ( MF1 ? MF2 ) 2 ? 3 ? MF1 ? MF2
1 S = MF1 鬃 MF2 sin 600 = 12 3 2

? MF1 ? MF2 ? 48

课堂小结

1.椭圆上的点到一个焦点的距离 与它到相应准线的距离之比等于椭圆 的离心率,这是椭圆的一个重要性质, 通常将它称为椭圆的第二定义.

课堂小结

2.一个椭圆有两条准线,并与两 个焦点相对应,两条准线在椭圆外部, 且与长轴垂直,关于短轴对称.

课堂小结

3.椭圆焦半径公式的两种形式与 焦点位置有关,可以记忆为“左加右 减,下加上减”.

布置作业

1、P49习题2.2A组:

3,4,5,10.


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