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2015年高一数学精品优秀教案:2.3《幂函数》(新人教A版必修一)

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三维目标定向 〖知识与技能〗 (1)了解幂函数的概念; (2)会画函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 的图象,并了解它们的变化情况。
2 3 ?1 1 2

〖过程与方法〗 通过画 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x

, y ? x 的图象,由特殊到一般,归纳出幂函数的
2 3 ?1 1 2

图象和性质。 〖情感、态度与价值观〗 通过大量实例,感受幂函数的概念,体会幂函数在客观现实中的应用,学会应用数学的 方法,形成一定的数学应用意识。 教学重难点:幂函数的图象和性质。 教学过程设计 一、实例剖析 引例: (1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 x 千克,那么她需要支付 y = (2)如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积 y = (3)如果立方体的边长为 x,那么立方体的体积 y = ; ; ; km / s。 元;

(4)如果一个正方形场地的面积为 x,那么这个正方形的边长为 y = (5)如果某人 x s 内骑车行进了 1km,那么他骑车的平均速度 y = 问题:以上函数具有什么共同特征? 共同特征:函数解析式是幂的形式,且指数是常数,底数是自变量。 二、幂函数的图象和性质 (一)定义:函数 y ? x 叫做幂函数。 (其中 x 为自变量,α 为常数) 探究 1:你能指几个学过的幂函数的例子吗? 探究 2:你能说出幂函数与指数函数的区别吗? 名称 式子 a 指数函数: y ? a
x

?

x 指数

y 幂值

底数

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幂函数: y ? x a

指数

底数

幂值

探究 3:如何判断一个函数是幂函数还是指数函数? 看看自变量 x 是指数(指数函数)还是底数(幂函数) 。 练习:1、下面几个函数中,哪几个函数是幂函数? (1) y ?

1 5 3 2 2 x ; (2) y ? 2 x ; (3) y ? x ? x ; (4) y ? x ; (5) y ? 2 。 x2

2、已知幂函数 y = f (x)的图象经过点(3 , 3 ) ,求这个函数的解析式。

3、如果函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) ? x 是幂函数,求实数 m 的值。
2 m

(二)幂函数性质的探究: 对于幂函数,我们只讨论 ? ? 1,2,3,?1,
2 3 ?1

1 时的情况, 2
1 2

即: y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x

探究 4:结合前面指数函数与对数函数的方法,我们应如何研究幂函数呢? 作具体幂函数的图象 → 观察图象特征 → 总结函数性质
1

探究 5:在同一平面直角坐标系内作出幂函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 2 的
2 3

?1

图象:

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探究 6:性质:

y?x
定义域 值域 奇偶性 R R 奇函数

y ? x2
R

y ? x3
R R 奇函数

1

y ? x2
[0,??)

y ? x ?1
{x | x ? 0}

[0,??)
偶函数

[0,??)
非奇非偶

{ y | y ? 0}
奇函数

[0,??) 增
单调性 增函数 增函数

(??,0)



[0,??) 增
(0,??) 减

(??,0] 减
公共点 (1,1)

三、例题 例 1:证明幂函数 f ( x) ?

x 在 [0,??) 上是增函数。

(备用)例 2:在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速 率 v(单位:cm / s)与管道半径 r(单位:cm)的四次方成正比。 (1)写出气流速率 v 关于管道半径 r 的函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速率为 400 cm / s ,求该气体通过半径为 r 的管道时,其流量速率 v 的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5cm,计算该气体的流量速率。
3 3

四、练习:P79,习题 2.3。

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