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吉林省松原市油田高中2014届高三上学期10月基础知识调研考试数学理试题 Word版含答案


吉林省松原市油田高中 2014 届高三上学期 10 月基础知识调 研考试数学(理科)试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 M={x|x2+2x-3≤0) ,N={x|-1≤x≤4},则 M ? N 等于 A.{x |1≤x≤4} B. {x |-

1≤x≤3} C. {x |-3≤x≤4)D. {x |-1≤x≤1}

1? i 2.复数 表示复平面内的点位于 2?i
A.第一象限


B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.设 a=30 3,b=log ? 3,c=log0.3 e 则 a,b,c 的大小关系是 A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b

4.若 p : ?x? R , cos x ? 1 ,则 A. ?p : ?x0 ? R , cos x0 ? 1 C. ?p : ?x0 ? R , cos x0 ? 1 B. ?p : ?x? R , cos x ? 1 D. ?p : ?x? R , cos x ? 1

5. 如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所 学校,要求甲学校的学生连续参观两天,其余学校的学生均只参观一天,则不同的安排方法 共有 A.50 种 B.60 种 C.120 种 D.210 种 6.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下列选项中,不可能是该锥体的俯视图的是

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点是椭圆的顶点, 7.已知椭圆方程为 a b 4 3
顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C.2 D.3

? x ? y ? 11 ? 0 ? 8.设实数 x,y 满足不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ,则 z=2x+Y 的最大值为 ?x ? 0 ?

A.13

B.19

C.24
2

D.29

9.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 2, a3 ? a5 ? 4a6 , 则a3 的值为 A.

1 2

B.1

C.2

D.

10.非零向量 a ,b 使得 l a ? b l= | a | ? | b | 成立的一个充分非必要条件是

?

?

?

?

?

1 4

? ? A. a / / b
x

? ? ? B. a ? 2b ? 0

? ? a b C. ? ? ? |a| |b|

D. a ? b

?

?

11.设函数 f ( x) ? 2 ,则如图所示的函数图象 A. y ? f (| x |) B. y ? ? | f ( x) | C. y ? ? f (? | x |) D. y ? ? | f (? x) |

12 . 已 知 y ? f (x) 是 奇 函 数 , 且 满 足 f ( x ? 2) ? 2 f (? x) ? 0 , 当 x ? (0,2) 时 ,

1 1 f ( x) ? ln x ? ax(a ? ) ,当 x ? (?4,?2) 时, f (x) 的最大值为 ? ,则 a ? 2 4 3 5 A. B. 2 C. D.1 4 2
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上 13.

?

2

1

x 2 dx =

;

14.已知程序框图如右图所示,则输出的 i= ; 15.在棱锥 P-ABC 中,侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,Q 为底面 ABC 内 一点,若点 Q 到三个侧面的距离分别为 2,2, 2 ,则以线段 PQ 为直径的 球的表面积是: ; 16.对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3 23 ? 3 ? 5

32 ? 1 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11

42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7

… …
3

43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19

根 据 上 述 分 解 规 律 , 若 m2 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 11 , p 分 解 中 最 小 正 整 数 是 21 , 则 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x ? 3 ? 1 .
2

m ? p ? __

(1)求 f (x) 的最小正周期及其单调增区间: (2)当 x ? [?

? ?

, ] 时,求 f (x) 的值域. 6 6

18. (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形, AB//CD, AD⊥AB, AD=AB= 面 ABCD,PD= 2 ,E 是 PC 的中点 (1)证明:BE//面 PAD; (2)求二面角 E—BD—C 的大小. 19.(本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从 6 道备选题中一次性 抽取 3 道题独立作答, 然后由乙回答剩余 3 题, 每人答对其中 2 题就停止答题, 即闯关成功. 已 知在 6 道备选题中,甲能答对其中的 4 道题,乙答对每道题的概率都是 (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; (2)设甲答对题目的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:
2

1 CD=1,PD⊥ 2

2 . 3

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,左、右焦点分别为 F、F2 ,抛 1 2 2 a b

物线 y ? 4 2 x 的焦点 F 恰好是该椭圆的一个顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知圆 M: x 2 ? y 2 ?

2 的切线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,那么以 AB 为直径的圆是 3

否经过定点?如果是,求出定点的坐标;如果不是,请说明理由,

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? p ln x ? ( p ? 1) x ? 1 .
2

(1)讨论函数 f (x) 的单调性; (2)当 p ? 1 时, f ( x) ? kx 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)证明: ln(n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? (n ? N * ) . 2 3 n

请考生在第 (22) 、 (23) 、 (24) 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. A 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为⊙ O 的直径, BC 、 CD 为⊙ O 的切线,
D O

B 、 D 为切点
(1)求证: AD // OC (2)若⊙ O 的半径为 1 ,求 AD· 的值. OC

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的单位长

B

C

??
度.已知直线 L 经过点 P(1,1),倾斜角 (I)写出直线 L 的参数方程;

?
6.

(II)设 L 与圆 ? ? 2 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积. 24.(本小题满分 10 分)选修 4- 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 1| (1)若 f ( x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围; (2)解不等式 f ( x) ? x ? 2 x .
2

数学(理科)答案
一、 DABAC CCABB CD 二. 7/3 9 16? 11 三. 18. 【解析】 :

17.【解析】

(1). f ( x) ? sin 2 x ? 3 (1 ? 2 sin x) ? 1
2

? 2? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 .函数 f (x) 的最小正周期 T ? ?? . 3 2 ? ? ? 由正弦函数的性质知,当 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 2 3 2 5? ? ? 即 k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 时,函数 y ? sin(2 x ? ) 为单调增函数,所以函数 12 12 3 5? ? , k? ? ] , (k ? Z ) . f (x) 的单调增区间为 [k? ? 12 12 ? ? ? 2? ? (2)因为 x ? [? , ] ,所以 2 x ? ?[0, ] ,所以 sin(2 x ? ) ? [0,1] , 3 6 6 3 3 ? 所以 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1? [1,3] ,所以 f (x) 的值域为[1,3]. 3
19.【解析】 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件 A、B, 则 P ( A) ?
1 2 C4C2 4 1 ? ? , 3 C6 20 5

2 2 2 1 2 7 1 P( B) ? (1 ? )3 ? C3 ? ? (1 ? )2 ? ? ? 3 3 3 27 9 27
事件 A、 相互独立, B 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是

1 7 128 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? ? . ? 5 27 135
(2)由题知 ? 的所有可能取值是 1,2.

P (? ? 1) ?

1 2 C 4C 2 1 C 2C 1 ? C 3 4 ? , P (? ? 2) ? 4 2 3 4 ? , 3 C6 5 C6 5

则 ? 的分布列为

所以 E? ? 1?

1 4 9 ? 2? ? . 5 5 5

20. 【解析】(1)因为椭圆 C 的离心率 e ?
2

2 c 2 ,所以 ? ,即 a ? 2c . 2 a 2

因为抛物线 y ? 4 2 x 的焦点 F ( 2 ,0) 恰好是该椭圆的一个顶点, 所以 a ? 2 ,所以 c ? 1 , b ? 1 .所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)(i)当直线 l 的斜率不存在时. 因为直线 l 与圆 M 相切,故其中的一条切线方程为 x ?

6 . 3

? 6 , ?x ? 6 6 6 6 ? 3 , ) , B( ,? ), 由? 不妨设 A( 2 3 3 3 3 ? x ? y 2 ? 1, ?2 ?
则以 AB 为直径的圆的方程为 ( x ? (ii)当直线 l 的斜率为零时. 因为直线 l 与圆 M 相切,所以其中的一条切线方程为 y ? ?

6 2 2 ) ? y2 ? . 3 3

6 . 3

? 6 , ?y ? ? 6 6 6 6 ? 3 ,? ) , B(? ,? ), 由? 不妨设 A( 3 3 3 3 x2 ? ? y 2 ? 1, ? ?2
则以 AB 为直径的圆的方程为 x ? ( y ?
2

6 2 2 ) ? . 3 3

显然以上两圆都经过点 O(0,0). (iii)当直线 l 的斜率存在且不为零时. 设直线 l 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? k x ? m, ? 2 2 2 由 ? x2 消去 y ,得 (2k ? 1) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ? 1, ?2
所以设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?
2

2m 2 ? 2 ? 4km , x1 x2 ? . 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
2

所以 y1 y2 ? (kx ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 1 所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ?

m 2 ? 2k 2 . 2k 2 ?1

3m 2 ? 2k 2 ? 2 .① 2k 2 ? 1
|m| 1? k 2 ? 6 , 3

因为直线 l 和圆 M 相切,所以圆心到直线 l 的距离 d ?

整理,得 m 2 ?

2 (1 ? k 2 ) , ② 3

将②代入①,得 OA ? OB ? 0 ,显然以 AB 为直径的圆经过定点 O(0,0) 综上可知,以 AB 为直径的圆过定点(0,0). 21. 【解析】 (1) f ( x) 的定义域为(0,+∞) ,

p 2? p ? 1?x 2 ? p f ? x ? ? ? 2? p ? 1?x ? x x
'

当 p ? 1 时, f '( x) >0,故 f ( x) 在(0,+∞)单调递增; 当 p ? 0 时, f '( x) <0,故 f ( x) 在(0,+∞)单调递减; 当 0< p <1 时,令 f '( x) =0,解得 x ?

?

p . 2? p ? 1?

则当 x ? ? 0, ?

? ? ?

? ? p ? p ? 时, f '( x) >0; x ? ? ? , ? ? ? 时, f '( x) <0. ? ? 2? p ? 1? ? 2? p ? 1? ? ? ? ? ? p ? p ? 单调递增,在 ? ? , ? ? ? 单调递减 ? ? ? 2? p ? 1? ? 2? p ? 1? ? ?
1 ? ln x x

故 f ( x) 在 ? 0, ?

? ? ?

(2)因为 x ? 0 ,所以 当 p = 1 时, f ( x) ? kx 恒成立 ? 1 ? ln x ? kx ? k ?

1 ? ln x ,则 k ? h(x) max , x ? ln x 因为 h' ( x) ? ,由 h' ( x) ? 0 得 x ? 1 , x2
令 h( x ) ? 且当 x ? (0,1) 时, h' ( x) ? 0 ;当 x ? (1,??) 时, h' ( x) ? 0 . 所以 h(x) 在 (0,1) 上递增,在 (1,??) 上递减.所以 h( x) max ? h(1) ? 1 ,故 k ? 1 (3)由(2)知当 k ? 1 时,有 f ( x) ? x ,当 x ? 1 时, f ( x) ? x 即 ln x ? x ? 1 ,

n ?1 n ?1 1 1 ,则 ln ? ,即 ln(n ? 1) ? ln n ? n n n n 2 1 3 1 n ?1 1 所以 ln ? , ln ? ,…, ln ? , 1 1 2 2 n n 2 3 n ?1 1 1 相加得 ln ? ln ? ?ln ?1? ?? 1 2 n 2 n
令x?

而 ln

2 3 n ?1 n ?1? ?2 3 ? ln ? ?ln ? ln? ? ? ? ? ? ? ln(n ? 1) 1 2 n n ? ?1 2
1 1 1 ? ? ? ? , (n ? N * ) 2 3 n

所以 ln(n ? 1) ? 1 ? 22. 【解析】

(1)如图,连接 BD、OD.∵CB、CD 是⊙O 的两条切线, ∴BD⊥OC,∴∠2+∠3=90° 又 AB 为⊙O 直径,∴AD⊥DB,∠1+∠2=90°, ∴∠1=∠3,∴AD∥OC (2)AO=OD,则∠1=∠A=∠3,∴Rt△BAD∽Rt△ODC,AD?OC=AB?OD=2 ? 23. 【解析】

? 3 t, ?x ? 1 ? ? 2 (t是参数) ? ? y ? 1 ? 1 t; ? 2 (I)直线的参数方程是 ?
(II)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别为

A(1 ?

3 1 3 1 t1 ,1 ? t1 ), B(1 ? t 2 ,1 ? t 2 ) 2 2 2 2 .
2 2

圆 ? ? 2 化为直角坐标系的方程 x ? y ? 4 . 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x ? y ? 4 整理得到
2 2

t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0



因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2. 所以|PA|·|PB|= |t1t2|=|-2|=2. 24.【解析】 ( x ? ?1) ? 3 ? (1) f ( x ) ? ? ? 2 x ? 1 ( ?1 ? x ? 2) , ? ?3 ( x ? 2) ? 又当 ? 1 ? x ? 2 时, ? 3 ? ?2 x ? 1 ? 3 , ∴ ? 3 ? f ( x) ? 3 ∴若使 f(x)≤a 恒成立,应有 a≥fmax(x),即 a≥3 ∴a 的取值范围是:[3,+∞) (2)当 x ? ?1 时, x 2 ? 2 x ? 3 ? ?1 ? x ? 2 ? x ? 1 ; 当 ? 1 ? x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?2 x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ; 当 x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?3 ? x ? ? ; 综合上述,不等式的解集为: ?? 1,1? .


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