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3.1.2用二分法求方程的近似值


3.1.2 用二分法求方程的近似解

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第三章 函数的应用

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在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜 某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某 次竞猜的物品为价格在500元~1 000元之间的一款 手机,选手开始报价: 选手:750. 主持人

:低了. 选手:800. 主持人:高了.
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第三章 函数的应用

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选手:760. 主持人:高了. 选手:755. 主持人:高了. 选手:753. 主持人:高了. 选手:752. 主持人:祝贺你,答对了. [问题] 物价竞猜体现了什么数学知识? [提示] 二分法求近似值.

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第三章 函数的应用

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1.会用二分法求方程的近似解.(重点) 2.明确精确度ε与近似值的区别.(易混点) 3.会判断函数零点所在的区间.(难点)

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用二分法求方程的近似解
1.二分法 连续不断 且 对于在区间[a,b]上____________ f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函 _____________ 一分为二 ,使区间 数 f(x)的零点所在的区间 ____________ 零点 的两个端点逐步逼近__________ ,进而得到零点 近似值的方法叫做二分法.

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2.给定精确度 ε,用二分法求函数 f(x)零点近似 值的步骤: 第一步:确定闭区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给 定精确度 ε. 第二步:求区间(a,b)的中点 c. 第三步:计算 f(c).

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(1)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (2)若 f(a)· f(c)<0, 则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (3)若 f(c)· f(b)<0, 则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). 第四步:判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则 得到零点近似值 a(或 b), 否则重复第二步至第四步.

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对二分法定义的理解 (1)二分法的基本思想:逼近思想; (2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数 的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.

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1.下列函数零点不宜用二分法的是( ) A.f(x)=x3-8 B.f(x)=ln x+3 C.f(x)=x2+2 2x+2 D.f(x)=-x2+4x+1 解析: 由题意知选C. 答案: C

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2.用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程 中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根在 区间( ) A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2) D.不能确定 解析: 由题意知f(1.25)·f(1.5)<0, ∴方程的根在区间(1.25,1.5)内,故选A. 答案: A

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3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点 附近的函数值用二分法计算,参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984

f(1.375)=-0.260 f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1) 为________.

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解析: 根据题意知函数的零点在1.406 25至 1.437 5之间,因为此时|1.437 5-1.406 25|=0.031 25<0.1,故方程的一个近似根可以是1.437 5.答案 不唯一,可以是[1.437 5,1.406 25]之间的任意一 个数. 答案: 1.437 5

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4.求函数f(x)=x2-5的负零点.(精确度0.1) 解析: 由于f(-2)=-1<0, f(-3)=4>0, 故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,用二分 法逐次计算,列表如图:
区间 中点 (-3,-2) -2.5 (-2.5,-2) -2.25 (-2.25,-2) -2.125 (-2.25,-2.125) -2.187 5 (-2.25,-2.187 5) -2.218 75 中点函数值(或近似值) 1.25 0.062 5 -0.484 4 -0.214 8 -0.077 1

由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1, 所以函数的一个近似负零点可取-2.25.
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二分法的概念

下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法 求图中函数零点的是( )

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[思路点拨] 解答本题可根据二分法的定义,判 断是否具备二分法的条件. 解析: 利用二分法求函数零点必须满足零点两 侧函数值异号.在B中,不满足f(a)·f(b)<0,不 能用二分法求零点,由于A、C、D中零点两侧函 数值异号,故可采用二分法求零点. 答案: B

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“二分法”与判定函数零点的定义密切相关,只 有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右 函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.

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1.(1)函数f(x)的图象如图所示, 能用二分法求函数f(x)的零点个数 为( ) A.0 B.1 C.4 D. 3 (2)用二分法求函数 f(x )在区间 [a ,b ]内的零点时, 需要的条件是( ) ①f(x)在区间[a,b]是连续不断;②f(a)· f(b )<0; ③f(a)· f(b)>0;④f(a)· f(b)≥0. A.①② B.①③ C.①④ D.①②③
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解析: (1)由图可知,图象与x轴有四个公共点, 三个穿过x轴,共有4个零点,其中有3个变号零 点,故选D. (2)根据二分法定义得①②正确,故选A. 答案: (1)D (2)A

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用二分法求函数零点的近似值

用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似 解.(精确度0.1)
[思路点拨]

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令 f ( x ) = 2 x 3+ 3 x - 3 , 经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0, 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点, 即方程2x3+3x=3在(0,1)内有解. 取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)0,又f(1)>0, 所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解. 如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间, 如下表:

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(a, b) (0,1) (0.5,1)

中点 c 0.5 0.75

f(a)

f( b)

f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75) (0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.625)<0 >0 (0.625, f(0.625) f(0.75) 0.687 5 f(0.687 5)<0 <0 >0 0.75) (0.687 5, |0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1 0.75)

a+ b f( ) 2 f(0.5)<0 f(0.75)>0

由于|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1,所以0.75可作 为方程的一个正实数近似解.
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用二分法求方程的近似解要注意的问题: (1)要看清题目要求的精确度,它决定着二分法步骤 的结束. (2)初始区间的选定一般在两个整数间,不同的初始 区间结果是相同的,但二分的次数却相差较大. (3)在二分法的第四步,由|a-b|<ε,便可判断零点 近似值为a或b,即只需进行有限次运算即可. (4)用二分法求出的零点一般是零点的近似值,但并 不是所有函数都可以用二分法求零点,必须满足在 区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0这样条件的函 数才能用二分法求得零点的近似值.
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2.用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5] 内的一个零点.(精确度0.01) 解析: 经计算f(1)<0,f(1.5)>0,所以函数在 [1,1.5]内存在零点x0. 取(1,1.5)的中点x1=1.25,经计算f(1.25)<0, 因为f(1.5)·f(1.25)<0,所以x0∈(1.25,1.5), 如此继续下去,如下表:

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区间 (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.312 5,1.375) (1.312 5,1.343 75)

中点值 中点函数近似值 1.25 -0.30 1.375 0.22 1.312 5 -0.05 1.343 75 0.08 1.328 125 0.01 -0.02

(1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5

因为|1.328 125-1.320 312 5|=0.007 812 5<0.01, 所以函数f(x)=x3-x-1精确度为0.01的一个近似 零点可取为1.328 125.
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函数零点与方程解的个数问题 求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数. [思路点拨]

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方法一:因为f(0)=1+0-2=-1<0,4分 f(2)=4+lg 3-2≈2.48>0,所以由函数零点存在 性判定定理知,f(x)在(0,2)上必定存在零点.8分 又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(0,+∞)上为增函数 ,故f(x)=0有且只有一个实根,即函数f(x)仅有 一个零点.12分

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方法二:在同一坐标系中作出 h(x)=2- 2x 和 g(x)= lg(x+1)的图象,如图所示,

6分 由图象可知 h(x)= 2-2x 和 g(x)= lg(x+1)有且只有一 个交点,即 f(x)= 2x+ lg(x+ 1)- 2 与 x 轴有且只有一 个交点,即函数 f(x)仅有一个零点 .12 分
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判断函数零点个数的方法主要有: (1)直接求出函数的零点进行判断; (2)结合函数图象进行判断; (3)借助函数的单调性及函数零点存在性判定定理 进行判断:若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一 条连续不断的曲线,且在区间(a,b)上单调,满 足f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅 有一个零点.

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3. (1)设函数 y=x 与

3

?1 ? ? ? - y=? ?x 2 的图象的交点为(x0, y0), ?2 ?

则 x0 所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) (2)确定函数 f(x)=log2x+x-4 的零点个数.
1

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解析:

(1)构造 f(x)= x

3

?1 ? ? ? - -? ?x 2, f(x)的零点就是 ?2 ?

53 x0.又 f(0)=- 4,f(1)=-1,f(2)=7,f(3)= ,f(4) 2 255 = ,从而有 f(1)· f(2)<0,所以 x0∈ (1,2),故选 B. 4

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(2)设 y1= log1x,y2= 4-x,则 f(x)
2

的零点个数即 y1 与 y2 的交点个数, 作出两函数图象,如图. 由图知, y1 与 y2 在区间(0,1)内有 一个交点, 当 x=4 时, y1=-2,y2= 0, 当 x=8 时, y1=-3,y2=-4, ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点, ∴两曲线只有两个交点,
即函数 f(x)= log1x+ x-4 有两个零点. 2 答案: (1)B
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◎用二分法求方程x2-5=0的一个非负近似解.(精 确度为0.1) 【错解】 令f(x)=x2-5, 因为f(2.2)=2.22-5=-0.16<0, f(2.4)=2.42-5=0.76>0, 所以f(2.2)·f(2.4)<0, 说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0, 取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3, f(2.3)=2.32-5=0.29, 因为f(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3),
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再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25. f(2.25)=0.062 5, 因为f(2.2)·f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25), 同理可得x0∈(2.225,2.25),(2.225,2.237 5), 又f(2.225)≈-0.049 4,f(2.237 5)≈0.006 4, 且|0.006 4-(-0.049 4)|=0.055 8<0.1, 所以原方程的近似正解可取为2.225. 【错因】 本题错解的原因是对精确度的理解不 正确,精确度ε满足的关系式为|a-b|<ε,而本题 错解中误认为是|f(a)-f(b)|<ε.

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【正解】 令f(x)=x2-5, 因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0, 所以f(2.2)·f(2.4)<0, 说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0, 取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3, f(2.3)=0.29, 因为f(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3), 再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25, f(2.25)=0.062 5, 因为f(2.2)·f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25), 由于|2.25-2.2|=0.05<0.1, 所以原方程的近似正解可取为2.25.
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