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2015高考数学(理)真题分类汇编:专题14+推理与证明、新定义(Word版含解析)

时间:2016-04-02


专题十四 推理与证明、新定义
1. 【 2015 高 考 湖 北 , 理 9 】 已 知 集 合 A ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1, x, y ? Z} , , 定 义 集 ) 合

B ? {( x, y ) | x |? 2 , | y |? 2, x, y ? Z}

A ? B ? {( x1 ? x

2 , y1 ? y2 ) ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B} ,则 A ? B 中元素的个数为(
A.77 【答案】C B.49 C.45 D.30

【解析】因为集合 A ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1, x, y ? Z} ,所以集合 A 中有 9 个元素(即 9 个点) , 即图中圆中的整点,集合 B ? {( x, y ) | x |? 2 , | y |? 2, x, y ? Z} 中有 25 个元素(即 25 个点) : 即图中正方形 ABCD 中的整点,集合 A ? B ? {( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B} 的元 素可看作正方形 A1 B1C1 D1 中的整点(除去四个顶点) ,即 7 ? 7 ? 4 ? 45 个.

【考点定位】1.集合的相关知识,2.新定义题型. 【名师点睛】新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个 新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系 所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的. 2. 【2015 高考广东, 理 8】 若空间中 n 个不同的点两两距离都相等, 则正整数 n 的取值 ( A.大于 5 【答案】 C . 【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的,即 n ? 3 或 n ? 4 时命题成立, 由此可排除 A 、 B 、 D ,故选 C . 【考点定位】空间想象能力,推理能力,含有量词命题真假的判断. 【名师点睛】 本题主要考查学生的空间想象能力, 推理求解能力和含有量词命题真假的判断, B. 等于 5 C. 至多等于 4 )

D. 至多等于 3

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此题属于中高档题, 如果直接正面解答比较困难, 考虑到是选择题及选项信息可以根据平时 所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确答案 C ,由于 n ? 3 时易知正三 角形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除 A 、 B ,又当 n ? 4 时易知正四面体的四个 顶点也是两两距离相等的从而可以排除 D . 3. 【2015 高考浙江, 理 6】 设 A ,B 是有限集, 定义 d ( A, B ) ? card ( A ? B ) ? card ( A ? B ) , 其中 card ( A) 表示有限集 A 中的元素个数,命题①:对任意有限集 A , B ,“ A ? B ”是 “ d ( A, B ) ? 0 ”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集 A , B , C , d ( A, C ) ? d ( A, B ) ? d ( B, C ) , ( A. 命题①和命题②都成立 C. 命题①成立,命题②不成立 【答案】A. B. 命题①和命题②都不成立 D. 命题①不成立,命题②成立 )

【考点定位】集合的性质 【名师点睛】本题是集合的阅读材料题,属于中档题,在解题过程中需首先理解材料中相关 概念与已知的集合相关知识点的结合,即可知命题①正确,同时注重数形结合思想的运用, 若用韦恩图表示三个集合 A , B , C ,则可将问题等价转化为比较集合区域的大小,即可 确定集合中元素个数大小的比较. 4.【2015 高考北京,理 8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描 述了甲、乙、丙 三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )

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A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,A 中乙车消耗 1 升汽油,最 多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值,A 错误;B 中以相同速度行驶相同路程, 甲燃油效率最高,所以甲最省油,B 错误,C 中甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时, 甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km,消耗 8 升汽油,C 错误,D 中某城 市机动车最高限速 80 千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙 车比用乙车更省油,选 D. 考点:本题考点定位为函数应用问题,考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图 象的理解. 【名师点睛】本题考查对新定义“燃油效率”的理解和读图能力,本题属于中等题,有能力 要求,贴近学生生活,要求按照“燃油效率”的定义,汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,可 以断定“燃油效率”高的车省油,相同的速度条件下,“燃油效率”高的汽车,每消耗 1 升汽油行驶的里程必然大,需要学生针对四个选择只做出正确判断. 5.【2015 高考福建,理 15】一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1 x2 ? xn n ? N *

?

?

,其

中 xk ? k ? 1, 2, ? , n ? 称为第 k 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会 发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0) ,已知某种二元码 x1 x2 ? x7 的码元满

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? x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? 0, ? 足如下校验方程组: ? x2 ? x3 ? x6 ? x7 ? 0, ? x ? x ? x ? x ? 0, 3 5 7 ? 1
其中运算 ? 定义为: 0 ? 0 ? 0, 0 ? 1 ? 1,1 ? 0 ? 1,1 ? 1 ? 0 . 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利 用上述校验方程组可判定 k 等于 【答案】 5 . .

【考点定位】推理证明和新定义. 【名师点睛】本题以二元码为背景考查新定义问题,解决时候要耐心读题,并分析新定义 的特点,按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等,从而达到解决问题的目的. 6.【2015 高考山东,理 11】观察下列各式:

C10 ? 40
1 C30 ? C3 ? 41

1 C50 ? C5 ? C52 ? 42 ;

0 1 3 C7 ? C7 ? C72 ? C7 ? 43

…… 照此规律,当 n ? N 时,
0 1 2 n ?1 C2 n ?1 ? C2 n ?1 ? C2 n ?1 ? ? ? C2 n ?1 ?

.

【答案】 4

n ?1

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【考点定位】1、合情推理;2、组合数. 【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数,重点考查了学生对归纳推理的理解与运用,意 在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力,关键是能从前三个特殊的等式中观察、归 纳、总结出一般的规律,从而得到结论.此题属基础题. 7.【2015 江苏高考,23】 (本小题满分 10 分) 已知集合 X ? ? 1,2,3?, Yn ? ? 1,2,3, ? , n?(n ? N * ) , S n ? (a, b) a整除b或b整除a,

?

a ? X , b ? Yn ? ,令 f (n) 表示集合 S n 所含元素的个数.
(1)写出 f (6) 的值; (2)当 n ? 6 时,写出 f (n) 的表达式,并用数学归纳法证明.

? ?n n? ?n ? 2 ? ? 2 ? 3 ? , n ? 6t ? ? ? ? ? n ?1 n ?1 ? ? ?n ? 2 ? ? ? , n ? 6t ? 1 3 ? ? 2 ? ? ?n n?2? ?n ? 2 ? ? ? ? , n ? 6t ? 2 3 ? ? ?2 【答案】 (1)13(2) f ? n ? ? ? ?n ? 2 ? ? n ? 1 ? n ? , n ? 6t ? 3 ? ? ? 3? ? 2 ? ?n ? 2 ? ? n ? n ? 1 ? , n ? 6t ? 4 ? ? ? 3 ? ?2 ? ?n ? 2 ? ? n ? 1 ? n ? 2 ? , n ? 6t ? 5 ? ? ? 3 ? ? 2 ?
【解析】 试题分析: (1) 根据题意按 a 分类计数:a ? 1, b ? 1, 2,3, 4,5,6; a ? 2, b ? 1, 2, 4,6; a ? 3, b ? 1,3,6; 共 13 个(2)由(1)知 a ? 1, b ? 1, 2,3, ?, n; a ? 2, b ? 1, 2, 4, ?, 2 k; a ? 3, b ? 1,3,?,3k;( k ? N * ) , 所以当 n ? 6 时, f (n) 的表达式要按 2 ? 3 ? 6 除的余数进行分类,最后不难利用数学归纳法 进行证明 试题解析: (1) f ? 6 ? ? 13 .

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? 2, k ? 1? , ? 3, k ? 1? 中产生,分以下情形讨论:
1) 若 k ? 1 ? 6t , 则 k ? 6 ? t ? 1? ? 5 , 此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 3 ? k ? 2 ?

? ? k ? 1? ? 2 ?

k ?1 k ?1 ? ,结论成立; 2 3

k ?1 k ? 2 ? ?3 2 3

2)若 k ? 1 ? 6t ? 1 ,则 k ? 6t ,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 1 ? k ? 2 ?

k k ? ?1 2 3

? ? k ? 1? ? 2 ?

? k ? 1? ? 1 ? ? k ? 1? ? 1 ,结论成立;
2 3
k ?1 k ?1 ? ?2 2 3

3)若 k ? 1 ? 6t ? 2 ,则 k ? 6t ? 1 ,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 2 ? k ? 2 ?

? ? k ? 1? ? 2 ?

k ? 1 ? k ? 1? ? 2 ,结论成立; ? 2 3
k k ?2 ? ?2 2 3

4)若 k ? 1 ? 6t ? 3 ,则 k ? 6t ? 2 ,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 2 ? k ? 2 ?

? ? k ? 1? ? 2 ?

? k ? 1? ? 1 ? k ? 1 ,结论成立;
2 3
k ?1 k ? ?2 2 3

5)若 k ? 1 ? 6t ? 4 ,则 k ? 6t ? 3 ,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 2 ? k ? 2 ?

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? ? k ? 1? ? 2 ?

k ? 1 ? k ? 1? ? 1 ,结论成立; ? 2 3
k k ?1 ? ?1 2 3

6)若 k ? 1 ? 6t ? 5 ,则 k ? 6t ? 4 ,此时有 f ? k ? 1? ? f ? k ? ? 1 ? k ? 2 ?

? ? k ? 1? ? 2 ?

? k ? 1? ? 1 ? ? k ? 1? ? 2 ,结论成立.学优高考网
2 3

综上所述,结论对满足 n ? 6 的自然数 n 均成立. 【考点定位】计数原理、数学归纳法 【名师点晴】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤为: ①归纳奠基:证明当取第一个自然数 n0 时命题成立; ②归纳递推:假设 n ? k ,( k ? N ? ,k ? n0 )时,命题成立,证明当 n ? k ? 1 时,命题成立; ③由①②得出结论. 8. 【 2015 高 考 北 京 , 理 20 】 已 知 数 列 ?an ? 满 足 : a1 ? N* , a1 ≤ 36 , 且
?2an ,an ≤ 18 , …? . an ?1 ? ? ? n ? 1,2 , ?2an ? 36 ,an ? 18

记集合 M ? an | n ? N* . (Ⅰ)若 a1 ? 6 ,写出集合 M 的所有元素; (Ⅱ)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明: M 的所有元素都是 3 的倍数; (Ⅲ)求集合 M 的元素个数的最大值. 【答案】 (1) M ? {6,12,24}, (2)证明见解析, (3)8
?2an ,an ≤ 18 , 【解析】 (Ⅰ)由已知 an ?1 ? ? 可知: ?2an ? 36 ,an ? 18

?

?

a1 ? 6,a2 ? 12,a3 ? 24,a4 ? 12,
? M ? {6,12,24}
(Ⅱ)因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的倍数,由已知
?2an ,an ≤ 18 , an ?1 ? ? ,可用用数学归纳法证明对任意 n ? k , an 是 3 的倍数,当 ?2an ? 36 ,an ? 18

k ? 1 时,则 M 中的所有元素都是 3 的倍数,如果 k ? 1 时,因为 ak ? 2ak ?1 或
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类似可得,ak ? 2 ,...... 2ak ?1 ? 36 ,所以 2ak ?1 是 3 的倍数,于是 ak ?1 是 3 的倍数, a1 都是 3 的倍数,从而对任意 n ? 1 ,an 是 3 的倍数,因此 M 的所有元素都是 3 的倍数.

考点定位:1.分段函数形数列通项公式求值;2.归纳法证明;3.数列元素分析. 【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法,即考查了数列(分段形函数)求 值, 又考查了归纳法证明和对数据的分析研究, 考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力, 本题属于拔高难题,特别是第二、三两步难度较大,适合选拔优秀学生. 【2015 高考上海,理 23】对于定义域为 R 的函数 g ? x ? ,若存在正常数 ? ,使得 cos g ? x ? 是以 ? 为周期的函数, 则称 g ? x ? 为余弦周期函数, 且称 ? 为其余弦周期.已知 f ? x ? 是以 ? 为余弦周期的余弦周期函数,其值域为 R .设 f ? x ? 单调递增, f ? 0 ? ? 0 , f ? ? ? ? 4? . (1)验证 h ? x ? ? x ? sin

x 是以 6? 为周期的余弦周期函数; 3

(2)设 a ? b .证明对任意 c ? ? ? f ? a ? , f ? b ?? ? ,存在 x0 ? ? a, b ? ,使得 f ? x0 ? ? c ; (3)证明: “ u0 为方程 cos f ? x ? ? 1 在 ? 0, ?? 上得解”的充要条件是“ u0 ? ? 为方程
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cos f ? x ? ? 1 在 ? ?, 2?? 上有解” ,并证明对任意 x ? ? 0, ?? 都有 f ? x ? ? ? ? f ? x ? ? f ? ? ? .
【答案】 (1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析

(2)由于 f ? x ? 的值域为 R ,所以对任意 c ? ? ? f ? a ? , f ? b ?? ? , c 都是一个函数值,即有

x0 ? R ,使得 f ? x0 ? ? c .
若 x0 ? a ,则由 f ? x ? 单调递增得到 c ? f ? x0 ? ? f ? a ? ,与 c ? ? ? f ? a ? , f ? b ?? ? 矛盾,所以

x0 ? a .同理可证 x0 ? b .故存在 x0 ? ? a, b ? 使得 f ? x0 ? ? c .
(3)若 u0 为 cos f ? x ? ? 1 在 ? 0, ?? 上的解,则 cos f ? u0 ? ? 1 ,且 u0 ? ? ? ? ?, 2?? ,

cos f ? u0 ? ? ? ? cos f ? u0 ? ? 1 ,即 u0 ? ? 为方程 cos f ? x ? ? 1 在 ? ?, 2?? 上的解.
同理,若 u0 ? ? 为方程 cos f ? x ? ? 1 在 ? ?, 2?? 上的解,则 u0 为该方程在 ? 0, ?? 上的解. 以下证明最后一部分结论. 由(2)所证知存在 0 ? x0 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? ,使得 f ? xi ? ? i? , i ? 0 , 1 , 2 , 3 ,

4.
而 ? xi , xi ?1 ? 是函数 cos f ? x ? 的单调区间, i ? 0 , 1 , 2 , 3 . 与之前类似地可以证明: u0 是 cos f ? x ? ? ?1 在 ? 0, ?? 上的解当且仅当 u0 ? ? 是

cos f ? x ? ? ?1 在 ? ?, 2?? 上的解.从而 cos f ? x ? ? ?1 在 ? 0, ?? 与 ? ?, 2?? 上的解的个数相
同. 故 f ? xi ? ? ? ? f ? xi ? ? 4? , i ? 0 , 1 , 2 , 3 , 4 . 对于 x ? ? 0, x1 ? , f ? x ? ? ? 0, ? ? , f ? x ? ? ? ? ? 4? ,5? ? , 而 cos f ? x ? ? ? ? cos f ? x ? ,故 f ? x ? ? ? ? f ? x ? ? 4? ? f ? x ? ? f ? ? ? .

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类似地,当 x ? ? xi , xi ?1 ? , i ? 1 , 2 , 3 时,有 f ? x ? ? ? ? f ? x ? ? f ? ? ? . 结论成立. 【考点定位】新定义问题 【名师点睛】 新定义问题一般先考察对定义的理解, 这时只需一一验证定义中各个条件即可. 二是考查满足新定义的函数的简单应用, 如在某些条件下, 满足新定义的函数有某些新的性 质,这也是在新环境下研究“旧”性质,此时需结合新函数的新性质,探究“旧”性质.三 是考查综合分析能力,主要将新性质有机应用在“旧”性质,创造性证明更新的性质.

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