广东省惠州市2015高三4月模拟试卷 数学理

惠州市 2015 届高三模拟考试
数 学 试 题 （理科）
本试卷共 5 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作 答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回． 参考公式：锥柱体的体积公式： V ? 2015.04

1 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 3

用最小二乘法求线性回归方程系数公式： b ?

? x y ? nx ? y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

， a ? y ?b? x ．

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求. 1．若集合 A ? {x | x ? 0 或 x ? 1, x ? R} ， B ? x x ? 2, x ? R ，则 ( A． A ? B B． A ? B C． A ? B D． A )

?

?

)

B ??

2．已知 b 为实数， i 为虚数单位，若 A． ?1 B． ?2

2 ? b ?i 为实数，则 b ? ( 1? i
C． 1 ) D． 2

3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( A． y ? x3 B． y ? x ?

1 x

C ． y ? x ? e? x

D． y ? ln(? x)

?x ? 2 y ? 8 ? 4．若变量 x ， y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4 ，则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值等于 ( ?0 ? y ? 3 ?
A．7 B．8 C．10 D．11

)

·1 ·

5．在 ?ABC 中， AB ? 2 ， AC ? 3 ， AB ? AC ? 3 ，则 BC ? ( A． 3 B． 7 ) C． 19

) D． 23

6．下列命题的说法 错误 ．． 的是 (

A．若复合命题 p ? q 为假命题，则 p, q 都是假命题． B． “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件． C．对于命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ． D．命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ，则 x ? 1 ”的逆否命题为： “若 x ? 1 ，则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” ． 7．多面体 MN ? ABCD 的底面 ABCD 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主） 视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形， 则该多面体的体积为 ( A． D． 6 8．对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ，给出定义：设 f '( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数， ) C．
M

N C
B

2 2

16 3

B． 6

20 3

D

4

2

A

f ' '( x) 是 f '( x) 的导数， 若方程 f ' '( x) ? 0 有实数解 x0 ， 则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的 “拐
点” ．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点” ，任何一个三次函数都有对称中心， 且 “ 拐 点 ” 就 是 对 称 中 心 。 设 函 数 g ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ， 则 3 2 12

2 ?0 1 4 ? ? 1 ? ?2 ? g? ? ?? ?g ? ( ?? ) ? g ? 2 ? 2 0 1? 5 ? 2 0? 1 5 ? ? 0 1 5
A．1 B． 2016 C． 2015 D． 2014

二、填空题（本大题共 7 小题，考生作答 6 题，每小题 5 分，满分 30 分，其中 13 题第一问 2 分， 第二问 3 分。 ） （一）必做题：第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．设 a ? 0, b ? 0 ，若 a ? b ? 1 ，则 10．计算积分

1 1 ? 的最小值为__________． a b

?

e 1

1 dx ? __________． x
·2 ·

11．某单位为了了解用电量 y （度）与当天平均气温 x （° C）之间的关系，随机统计了某 4 天的当 天平均气温与用电量（如右表） 。由数据运用最小二 乘 法 得 线 性 回 归 方 程 y ? ?2 ? x ? a ， 则 C） 18 平均气温 x （° 用电量 y （度） 25 13 35 10 37 －1 63

a ? __________．
12．如图所示的程序框图，若输入 n ? 2015 ，则输出的 s 值为__________． 开始

s?0

输入 n

n ? n ?1

s ? s ? sin
否

n? 3
是

结束

n ?1

输出 s

13．将自然数按如图排列，其中处于从左到右第 m 列从下到上第 n 行的数记为 A(m, n) ， 如 A(3,1) ? 4 ， A(4,2) ? 12 ，则 A(1, n) ? __________； A(10,10) ? __________．

28 21 27 15 20 26 10 14 19 25 6 9 13 18 24 3 5 8 12 17 23 1 2 4 7 11 16 22

（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只选做其中一题． 14． （极坐标与参数方程选做题）若点 P(3, m) 在以点 F 为焦

? x ? 4t 2 点的抛物线 ? （ t 为参数） 上， 则 PF 等于______． ? y ? 4t
15． （几何证明选讲选做题） 如图， PA 与圆 O 相切于 A ，PCB 为圆 O 的割线，并且不过圆心 O ，已知 ?BPA ? 30? ， P C

O

B

A
第 15 题图

PA ? 2 3 ， PC ? 1 ，则圆 O 的半径等于__________．
三、解答题。本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字 说明、证明过程和演算步骤。 16． （本小题满分 12 分）
·3 ·

已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? 且 f (2? ) ? 2 ． （1）求 f ( x ) 的表达式； （2）设 ? , ? ? [0,

?
6

) ( A ? 0 , ? ? 0) 的最小正周期为 T ? 6? ，

?
2

] ， f (3? ? ? ) ?

16 5? 20 ) ? ? ，求 cos(? ? ? ) 的值． ， f (3? ? 5 2 13

17． （本小题满分 12 分） 一个盒子内装有 8 张卡片，每张卡片上面写着 1 个数字，这 8 个数字各不相同，且奇数有 3 个， 偶数有 5 个．每张卡片被取出的概率相等． （1）如果从盒子中一次随机取出 2 张卡片，并且将取出的 2 张卡片上的数字相加得到一个新数， 求所得新数是奇数的概率； （2）现从盒子中一次随机取出 1 张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着 的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了 ? 次才停止取出卡片，求 ? 的分 布列和数学期望．

18． （本小题满分 14 分）

?ADC ? 90? ， 如图， 在四棱锥 P ? ABCD 中， 底面 ABCD 为直角梯形，AD / / BC ， 平面 PAD
⊥底面 ABCD ，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA ? PD ? AD ? 2 ，BC ? 1 ，CD ? 3 ． （1）求证：平面 PQB ⊥平面 PAD ； （2）若二面角 M ? BQ ? C 为 30? ，设 PM ? t ? MC ， 试确定 t 的值．

P

M D

Q
A B

C

19． （本小题满分 14 分）

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ， S n ? 2 ? ( ? 1) ? an ， n ? N * ． （1）求数列 ?an ? 的通项公式；
·4 ·

2 n

n （2）设数列 2 ? an 的前 n 项和为 Tn ， An =

?

?

1 1 1 1 + + +??+ ． T1 T2 T3 Tn

试比较 An 与

2 的大小． n ? an

20． （本小题满分 14 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 上的点均在圆 C2 : ( x ? 5) ? y ? 9 外，且对 C1 上任意一点 M ，
2 2

M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值．
（1）求曲线 C1 的方程； （2）设 P( x0 , y0 )( y0 ? ?3) 为圆 C2 外一点，过 P 作圆 C2 的两条切线，分别与曲线 C1 相交于点

A, B 和 C , D ．证明：当 P 在直线 x ? ?4 上运动时，四点 A, B , C , D 的纵坐标之积为定值．

21． （本小题满分 14 分） 已知 a ? 0 ，函数 f ( x) ＝

x?a ． x ? 2a

4? 上的最大值为 g (a) ，求 g (a) 的表达式； （1）记 f ( x) 在区间 ?0，
（2）是否存在 a ，使函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂 直？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

惠州市 2015 届高三模拟考试
数学（理科）参考答案与评分标准
一．选择题：共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

·5 ·

答案

A

B

B

C

B

A

C

D

1． 【解析】由集合的包含关系可知 B ? A ，故选 A．

2 ? b ? i （2 ? b ? i） (1 ? i ) (2 ? b) ? (2 ? b)i ? ? ，所以 b ? ?2 ，故选 B． 1? i 2 2 y 3． 【解析】由选项可知，A 选项 y ? x 3 单调递增（无极值） ，C、D 选项
2． 【解析】 不是奇函数，只有 B 选项既为奇函数又存在极值．故选 B． 4． 【解析】平面区域如图所示，所以 z ? 2 ? 4 ? 2 ? 10 ，故选 C．

1 5． 【解析】 AB ? AC ? 3 ? cos A ? ，又由余弦定理知 BC ? 7 ． 2 p , 6． 【解析】若 p ? q 为假命题，则 q 至少有一个为假命题．故选 A．
7． 【解析】用割补法可把几何体分割成三部分,可得 V ?

x

2? 2 20 ?1 ? ，故选 C． ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 3 ?3 ?
1 ， 2

8． ? x） ? 0，即2x ?1 ? 0 ， 【解析】 依题意得：g 由 g（ 可得 x ? （ ? x） ? x2 ? x ? 3， ? g（ ? x） ? 2x ? 1， 而 g ? ? ? 1 ，即函数 g ? x ? 的拐点为 ? ,1? ，即 g ?1 ? x ? ? g ? x ? ? 2 ，

?1? ?2?

?1 ? ?2 ?

所以 g ?

? 1 ? ? 2014 ? ? 2 ? ? 2013 ? ? 3 ? ? 2012 ? ?? g? ? ? g? ?? g? ? ? g? ?? g? ?? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ?
2014 ? 2 ? 2014 ，故选 D． 2

2,

所以所求为

二．填空题：共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分．其中 13 题第一问 2 分第二问 3 分． 9．4 10．1 11．60 12．

3 2

13．

n( n ? 1) ,181 2

14． 4

15． 7

9． 【解析】

1 1 1 1 b a b a ? ? ( ? )(a ? b) ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? 4 ，当且仅当 a ? b 时取等号，所 a b a b a b a b

1 1 ? 的最小值为 4 ． a b e1 e dx ? ln x |1 ? ln e ? ln1 ? 1 ． 10． 【解析】 ? 1 x 18 ? 13 ? 10 ? 1 25 ? 35 ? 37 ? 63 ? 10 ， y ? ? 40 ，样本中心为 (10, 40) ， 11． 【解析】 x ? 4 4
以 回归直线经过样本中心，所以 40 ? ?2 ?10 ? a ? a ? 60 ．
·6 ·

12． 【解析】由程序框图知 s ? sin 又 sin

?
3

? sin

2? ? 3

2014? 2013? 2? ? ? sin ? ? sin ? sin ， 3 3 3 3 6? ? sin ? 0 以及周期的性质，化简后得 3

s ? sin

?
3

? sin

2? 3? 4? 3 ． ? sin ? sin ? 3 3 3 2
?n? n(n ? 1) ， 2

13． 【解析】由题意， A(1, n) ? 1 ? 2 ? ∴ A(1,10) ?

10 ? 11 ? 55 ，∴ A(10,10) ? 55 ? 10 ? 11 ? 2

? 18 ? 181 ．

14． 【解析】抛物线为 y 2 ? 4 x ， PF 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离，即距离为 4 ． E 2 15． 【解析】由圆的性质 PA =PC·PB，得 PB=12，连接 OA 并反向延长 交圆于点 E，在直角三角形 APD 中可以求得 PD=4，DA=2，故 CD=3， DB=8，记圆的半径为 R，由于 ED·DA=CD·DB C P A

O
D

B

（2R ? 2） ? 2 ? 3 ? 8 ，解得 R=7． 因此

三、解答题。本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16． （本小题满分 12 分）

2π 2π 1 x π = ? ，∴ f(x) = Asin( + ) ， ……2 分 T 6π 3 3 6 2π π 5π + ) = 2 ，即 Asin = 2 ，∴A=4， ……4 分 由 f(2π)=2，得 Asin( 3 6 6 x π ∴ f(x) = 4sin( + ) . ……5 分 3 6 16 1 π 16 (2)由 f(3α + π) = ，得 4sin[ (3α + π) + )] = ， 5 3 6 5 π 16 4 即 4sin(α + ) = ，∴ cos? ? ， ……6 分 2 5 5 π 3 又∵ α ? [0， ] ，∴ sin? ? ， ……7 分 5 2 5π 20 1 5π π 20 ) = ? ，得 4sin[ (3? + ) + )] = ? 由 f(3? + ， 2 13 3 2 6 13 5 5 即 sin(? + π) = ? ，∴ sinβ ? ， ……9 分 13 13 π 12 又∵ β ? [0， ] ，∴ cosβ ? ， ……10 分 2 13 4 12 3 5 63 cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ ? ? . ……12 分 ? ? ? 5 13 5 13 65
解：(1)依题意得 ? =
·7 ·

17． （本小题满分 12 分） (本题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识，考查学生运用所学知识解决实 际应用问题的能力) 解: (1)记事件 A 为“任取 2 张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, ??1 分 因为奇数加偶数可得奇数，所以 P( A) ?
1 1 C3 ? C5 15 ? 2 C8 28

所以所得新数是奇数的概率等于 (2) ? 所有可能的取值为 1,2,3,4,
1 C5 5 根据题意得 P(? ? 1) ? 1 ? , C8 8

15 ． 28

?????4 分 ?????5 分

1 1 C3 C5 15 P(? ? 2) ? 1 ? 1 ? , C8 C7 56

P(? ? 3) ?

1 1 1 1 1 1 1 C3 C5 C3 C5 C2 C2 C1 5 1 ? ? ? , P ( ? ? 4) ? ? ? ? ? . ???????9 分 1 1 1 1 1 1 1 C8 C7 C6 56 C8 C7 C6 C5 56

故 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

5 8

15 56

5 56

1 56
?????10 分

5 15 5 1 3 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ． 8 56 56 56 2
18． （本小题满分 14 分）

?????????12 分

（本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要 认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题． ） 解答： （Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=

1 AD，Q 为 AD 的中点， 2
???????1 分 ???????2 分

∴四边形 BCDQ 为平行四边形，∴CD∥BQ． ∵∠ADC=90° ，∴∠AQB=90° ，即 QB⊥AD．

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD=AD，???????4 分 ∴BQ⊥平面 PAD．
·8 ·

???????5 分

∵BQ?平面 PQB，∴平面 PQB⊥平面 PAD． 证法二：AD∥BC，BC= ∴CD∥BQ． ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° ，即 QB⊥AD． ∵PA=PD，∴PQ⊥AD． ∵PQ∩BQ=Q PQ、BQ ? 平面PBQ， ∴AD⊥平面 PBQ． ∵AD?平面 PAD，∴平面 PQB⊥平面 PAD． （Ⅱ）法一：∵PA=PD，Q 为 AD 的中点，∴PQ⊥AD．

???????6 分

1 AD，Q 为 AD 的中点，∴四边形 BCDQ 为平行四边形， 2
???????1 分 ???????2 分 ???????3 分 ???????4 分 ???????5 分 ???????6 分

∵面 PAD⊥面 ABCD，且面 PAD∩面 ABCD=AD，∴PQ⊥面 ABCD．?????7 分 如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ；??8 分

Q(0,0,0) ， P(0,0, 3) ， B(0, 3,0) ， C(?1, 3,0) ．
设 M ( x, y, z ) ，则

PM ? ( x, y, z ? 3) ， MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ?z) ??9 分
t ? ?x ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ? 3t ? ，???10 分 PM ? t ? MC ,∴ ? y ? t ( 3 ? y ) ? ? y ? 1 ? t ? ? ? z ? 3 ? t (? z ) ? 3 ? z? 1? t ?
在平面 MBQ 中， QB ? (0, 3,0) ， QM ? ? ? ? 1? t ,1? t ,1? t ? ?， ? ? ∴平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) ．??12 分 ∵二面角 M ? BQ ? C 为 30° ，∴ cos 30? ?

?

t

3t

3?

n?m n?m

?

t 3? 0?t
2

?

3 ，得 t ? 3 ??14 分 2

法二：过点 M 作 MO // PQ 交 QC 于点 O ，过 O 作 OE ⊥ QB 交于点 E ，连接 ME ，

·9 ·

因为 PQ ? 面 ABCD ,所以 MO ⊥面 ABCD ，由三垂线定理知 ME ⊥ QB ， 则 ?MEO 为二面角 M ? BQ ? C 的平面角。????9 分（没有证明扣 2 分） 设 CM ? a ，则 PM ? a ? t ， PC ? 7 ，

?

MO CM 1 3a ? ? ，? MO ? ?????10 分 PQ CP 1 ? t 7

OE ⊥ QB ， BC ⊥ QB ，且三线都共面，所以 BC // OE

?

EO QO PM t t ?a ? ? ? ? EO ? ， ????11 分 BC QC PC 1 ? t 7
?

MO 在 Rt ?MOE 中 tan ?MEO ? tan 30 ? ，???13 分 EO

E E

O

? MO ? 3 ? 3 EO t 3

解得 t ? 3

?????14 分

19． （本小题满分 14 分） 解析： （1）由 a1 ? S1 ? 2 ? 3a1 ? a1 ? 由 Sn ? 2 ? ?

1 ， 2

???????1 分

?2 ? ? 2 ? ? 1? an ? Sn?1 ? 2 ? ? ? 1? an?1 ，其中 n ? 2 ?n ? ? n ?1 ? ? 2 ? ?2 ? ? 1? an ?1 ? ? ? 1? an ? n ?1 ? ?n ?
???????3 分

于是 an ? Sn ? Sn ?1 ? ? 整理得

an 1 an ?1 ? ? ? n ? 2? ， n 2 n ?1
1 ? an ? ? 是首项及公比均为 的等比数列. 2 ?n?
n ?1

???????4 分

所以数列 ?

???????5 分

an 1 ? 1 ? ? ?? ? n 2 ?2?

?

n 1 ? an? n ,n ? N * n 2 2
n ?1

???????6 分

（2）由（1）得

an 1 ? 1 ? ? ?? ? n 2 ?2?

?

1 2n

·10·

于是 2 an ? n, Tn ? 1 ? 2 ? 3 ?
n

n?

n ? n ? 1? 1 2 1 ? ?1 , ? ? 2? ? ? ???8 分 2 Tn n ? n ? 1? ? n n ?1 ?
???????9 分

?? 1 ? ? 1 1 ? An ? 2 ??1 ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? 2 3 ?
又

1 ? ? 2n ?1 ?? ? ?? ? ? n n ? 1 ?? n ? 1

2 2n ?1 2n n 2n ?1 2n ? 2 ，问题转化为比较 2 与 的大小，即 2 与 的大小 n ?1 n ?1 nan n n n
f ? n ? 1? ? f ? n ? ? 2n ? ? n ? n ? 2 ? ? 1? ? ? ? n ? n ? 1? ? ?
2

2n n , 设 f ? n? ? 2 , g ? n? ? n n ?1

???????10 分

f n ?1 ） ?（ f n）＞0 ，∴当 n ? 3 时 f (n) 单调递增， 当 n ? 3 时， （
g n）＜ 1， f n） ?（ f 4） ? 1 ，而 （ ∴当 n ? 4 时， （

f n）＞（ g n） ∴当 n ? 4 时， （ f n） ?g （n） 经检验 n =1，2，3 时，仍有 （ f n）＞（ g n）， 因此，对任意正整数 n ，都有 （ 即 An＜
20． （本小题满分 14 分）

???????12 分 ???????13 分

2 nan

???????14 分

（本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程 思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲 线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到 A, B, C , D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不 求”思想.） （Ⅰ）解法 1 ：设 M 的坐标为 ( x, y ) ，由已知得 x ? 2 ?

( x ? 5)2 ? y 2 ? 3 ，??1 分

易知圆 C2 上的点位于直线 x ? ?2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ，所以 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? x ? 5 . 化简得曲线 C1 的方程为 y 2 ? 20 x . 解法 2 ： ???????4 分

曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2 (5, 0) 的距离等于它到直线 x ? ?5 的距离，

所以曲线 C1 是以 (5, 0) 为焦点，直线 x ? ?5 为准线的抛物线，????? 2 分
·11·

故其方程为 y 2 ? 20 x .

???????4 分

（Ⅱ）当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时，P 的坐标为 (?4, y0 ) ，又 y0 ? ?3 ，则过 P 且与圆

C2 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0，每条切线都与抛物线有两个交点，
切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? 4) ， kx ? y ? y0 ? 4k ? 0 即于是 整理得 72k ? 18 y0k ? y0 ? 9 ? 0.
2 2

5k ? y0 ? 4k k 2 ?1

? 3.

①

???????6 分

设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为 k1 , k2 ，则 k1 , k2 是方程①的两个实根， 故 k1 ? k2 ? ? 由?

18 y0 y ?? 0. 72 4

②

???????7 分

?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, 2 得 k1 y ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. 2 y ? 20 x, ?

③???????8 分

设四点 A, B, C , D 的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 , y4 ，则是方程③的两个实根， 所以 y1 ? y2 ?

20( y0 ? 4k1 ) . k1 20( y0 ? 4k2 ) . k2

④???????9 分

同理可得 y3 ? y4 ?

⑤???????10 分

于是由②，④，⑤三式得
2 y0 ? 4( k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k2 ? 400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) 400 ? ? ? y1 y2 y3 y4 ? ? k1k2 k1k2

400 y?2 ? y?2 ? 16k1k 2 ? ? 6400.???????13 分 k1k 2
所以，当 P 在直线 x ? ?4 上运动时，四点 A, B, C , D 的纵坐标之积为定值 6400. ?14 分 21． （本小题满分 14 分） 解：(1)当 0 ? x ? a 时， f ( x ) ＝ 当 x ? a 时， f ( x ) ＝

?

?

a?x ； x ? 2a
???????2 分

x?a . x ? 2a

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因此，当 x ? (0, a) 时， f '( x) ＝

?3a ＜0， f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减； ??3 分 ? x ? 2a ? 2

当 x ? (a, ??) 时， f '( x) ＝

3a ＞0， f ( x ) 在 ( a, ??) 上单调递增．???4 分 ? x ? 2a ? 2
1 . ???????5 分 2

①若 a ? 4 ，则 f ( x ) 在 (0, 4) 上单调递减， g (a ) ＝ f (0) ＝

②若 0 ? a ? 4 ，则 f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减，在 ( a, 4) 上单调递增． 所以 g (a ) ＝ max{ f (0) ， f (4) } ．

1 4?a a ?1 ? ? ， 2 4 ? 2a 2 ? a 4?a 故当 0 ? a ? 1 时， g (a ) ＝ f (4) ＝ ； 4 ? 2a 1 当 1 ? a ? 4 时， g (a ) ＝ f (0) ＝ . 2
而 f (0) － f (4) ＝

???????6 分

???????8 分

? 4?a , 0 ? a ? 1, ? ? 4 ? 2a 综上所述， g (a ) ＝ ? ? 1 , a ? 1. ? ?2

???????9 分

(2)由(1)知，当 a ? 4 时， f ( x ) 在 (0, 4) 上单调递减，故不满足要求．????10 分 当 0 ? a ? 4 时， f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减，在 ( a, 4) 上单调递增． 若存在 x1 ， x2 ∈ (0, 4) ( x1 ＜ x2 )，使曲线 y＝ f ( x ) 在 ? x1，f ( x1 ) ? ，? x2，f ( x2 ) ? 两点处的切线互相 垂直，则 x1 ∈ (0, a ) ， x2 ∈ ( a, 4) ，且 f '( x1 ) ? f '( x2 ) ＝－1， 即

?3a 3a 3a ? ? ?1 ，亦即 x1 ? 2a ＝ .(*) ???????11 分 2 2 x 2 ? 2a ? x1 ? 2a ? ? x2 ? 2a ?
3a ? 3a ? ,1 . ∈? x 2 ? 2 a ? 4 ? 2a ? ?

由 x1 ∈ (0, a ) ， x2 ∈ ( a, 4) 得 x1 ? 2a ∈ (2a,3a) ，

故(*)成立等价于集合 A＝ (2a,3a) 与集合 B＝ ? 因为

? 3a ? ,1? 的交集非空． ? 4 ? 2a ?

3a 1 ＜ 3a ，所以当且仅当 0 ? 2a ? 1 ，即 0 ? a ? 时，A∩B≠ ? .??13 分 4 ? 2a 2
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综上所述，存在 a 使函数 f ( x ) 在区间(0,4)内的图象上存在两点， 在该两点处的切线互相垂直，且 a 的取值范围是 ? 0, ? .

? ?

1? 2?

???????14 分

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