nbhkdz.com冰点文库

广东省惠州市2015高三4月模拟试卷 数学理


惠州市 2015 届高三模拟考试
数 学 试 题 (理科)
本试卷共 5 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂

其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作 答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡一并交回. 参考公式:锥柱体的体积公式: V ? 2015.04

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

用最小二乘法求线性回归方程系数公式: b ?

? x y ? nx ? y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

, a ? y ?b? x .

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求. 1.若集合 A ? {x | x ? 0 或 x ? 1, x ? R} , B ? x x ? 2, x ? R ,则 ( A. A ? B B. A ? B C. A ? B D. A )

?

?

)

B ??

2.已知 b 为实数, i 为虚数单位,若 A. ?1 B. ?2

2 ? b ?i 为实数,则 b ? ( 1? i
C. 1 ) D. 2

3.下列函数中,既是奇函数又存在极值的函数是 ( A. y ? x3 B. y ? x ?

1 x

C . y ? x ? e? x

D. y ? ln(? x)

?x ? 2 y ? 8 ? 4.若变量 x , y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值等于 ( ?0 ? y ? 3 ?
A.7 B.8 C.10 D.11

)

·1 ·

5.在 ?ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , AB ? AC ? 3 ,则 BC ? ( A. 3 B. 7 ) C. 19

) D. 23

6.下列命题的说法 错误 .. 的是 (

A.若复合命题 p ? q 为假命题,则 p, q 都是假命题. B. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.对于命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 . D.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” . 7.多面体 MN ? ABCD 的底面 ABCD 矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主) 视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形, 则该多面体的体积为 ( A. D. 6 8.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:设 f '( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数, ) C.
M

N C
B

2 2

16 3

B. 6

20 3

D

4

2

A

f ' '( x) 是 f '( x) 的导数, 若方程 f ' '( x) ? 0 有实数解 x0 , 则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的 “拐
点” .某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点” ,任何一个三次函数都有对称中心, 且 “ 拐 点 ” 就 是 对 称 中 心 。 设 函 数 g ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? , 则 3 2 12

2 ?0 1 4 ? ? 1 ? ?2 ? g? ? ?? ?g ? ( ?? ) ? g ? 2 ? 2 0 1? 5 ? 2 0? 1 5 ? ? 0 1 5
A.1 B. 2016 C. 2015 D. 2014

二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 题,每小题 5 分,满分 30 分,其中 13 题第一问 2 分, 第二问 3 分。 ) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.设 a ? 0, b ? 0 ,若 a ? b ? 1 ,则 10.计算积分

1 1 ? 的最小值为__________. a b

?

e 1

1 dx ? __________. x
·2 ·

11.某单位为了了解用电量 y (度)与当天平均气温 x (° C)之间的关系,随机统计了某 4 天的当 天平均气温与用电量(如右表) 。由数据运用最小二 乘 法 得 线 性 回 归 方 程 y ? ?2 ? x ? a , 则 C) 18 平均气温 x (° 用电量 y (度) 25 13 35 10 37 -1 63

a ? __________.
12.如图所示的程序框图,若输入 n ? 2015 ,则输出的 s 值为__________. 开始

s?0

输入 n

n ? n ?1

s ? s ? sin


n? 3


结束

n ?1

输出 s

13.将自然数按如图排列,其中处于从左到右第 m 列从下到上第 n 行的数记为 A(m, n) , 如 A(3,1) ? 4 , A(4,2) ? 12 ,则 A(1, n) ? __________; A(10,10) ? __________.

28 21 27 15 20 26 10 14 19 25 6 9 13 18 24 3 5 8 12 17 23 1 2 4 7 11 16 22

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题. 14. (极坐标与参数方程选做题)若点 P(3, m) 在以点 F 为焦

? x ? 4t 2 点的抛物线 ? ( t 为参数) 上, 则 PF 等于______. ? y ? 4t
15. (几何证明选讲选做题) 如图, PA 与圆 O 相切于 A ,PCB 为圆 O 的割线,并且不过圆心 O ,已知 ?BPA ? 30? , P C

O

B

A
第 15 题图

PA ? 2 3 , PC ? 1 ,则圆 O 的半径等于__________.
三、解答题。本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字 说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)
·3 ·

已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? 且 f (2? ) ? 2 . (1)求 f ( x ) 的表达式; (2)设 ? , ? ? [0,

?
6

) ( A ? 0 , ? ? 0) 的最小正周期为 T ? 6? ,

?
2

] , f (3? ? ? ) ?

16 5? 20 ) ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. , f (3? ? 5 2 13

17. (本小题满分 12 分) 一个盒子内装有 8 张卡片,每张卡片上面写着 1 个数字,这 8 个数字各不相同,且奇数有 3 个, 偶数有 5 个.每张卡片被取出的概率相等. (1)如果从盒子中一次随机取出 2 张卡片,并且将取出的 2 张卡片上的数字相加得到一个新数, 求所得新数是奇数的概率; (2)现从盒子中一次随机取出 1 张卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上写着 的数是偶数则停止取出卡片,否则继续取出卡片.设取出了 ? 次才停止取出卡片,求 ? 的分 布列和数学期望.

18. (本小题满分 14 分)

?ADC ? 90? , 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形,AD / / BC , 平面 PAD
⊥底面 ABCD ,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA ? PD ? AD ? 2 ,BC ? 1 ,CD ? 3 . (1)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (2)若二面角 M ? BQ ? C 为 30? ,设 PM ? t ? MC , 试确定 t 的值.

P

M D

Q
A B

C

19. (本小题满分 14 分)

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n ? 2 ? ( ? 1) ? an , n ? N * . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
·4 ·

2 n

n (2)设数列 2 ? an 的前 n 项和为 Tn , An =

?

?

1 1 1 1 + + +??+ . T1 T2 T3 Tn

试比较 An 与

2 的大小. n ? an

20. (本小题满分 14 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2 : ( x ? 5) ? y ? 9 外,且对 C1 上任意一点 M ,
2 2

M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值.
(1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P( x0 , y0 )( y0 ? ?3) 为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点

A, B 和 C , D .证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B , C , D 的纵坐标之积为定值.

21. (本小题满分 14 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) =

x?a . x ? 2a

4? 上的最大值为 g (a) ,求 g (a) 的表达式; (1)记 f ( x) 在区间 ?0,
(2)是否存在 a ,使函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂 直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

惠州市 2015 届高三模拟考试
数学(理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

·5 ·

答案

A

B

B

C

B

A

C

D

1. 【解析】由集合的包含关系可知 B ? A ,故选 A.

2 ? b ? i (2 ? b ? i) (1 ? i ) (2 ? b) ? (2 ? b)i ? ? ,所以 b ? ?2 ,故选 B. 1? i 2 2 y 3. 【解析】由选项可知,A 选项 y ? x 3 单调递增(无极值) ,C、D 选项
2. 【解析】 不是奇函数,只有 B 选项既为奇函数又存在极值.故选 B. 4. 【解析】平面区域如图所示,所以 z ? 2 ? 4 ? 2 ? 10 ,故选 C.

1 5. 【解析】 AB ? AC ? 3 ? cos A ? ,又由余弦定理知 BC ? 7 . 2 p , 6. 【解析】若 p ? q 为假命题,则 q 至少有一个为假命题.故选 A.
7. 【解析】用割补法可把几何体分割成三部分,可得 V ?

x

2? 2 20 ?1 ? ,故选 C. ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 3 ?3 ?
1 , 2

8. ? x) ? 0,即2x ?1 ? 0 , 【解析】 依题意得:g 由 g( 可得 x ? ( ? x) ? x2 ? x ? 3, ? g( ? x) ? 2x ? 1, 而 g ? ? ? 1 ,即函数 g ? x ? 的拐点为 ? ,1? ,即 g ?1 ? x ? ? g ? x ? ? 2 ,

?1? ?2?

?1 ? ?2 ?

所以 g ?

? 1 ? ? 2014 ? ? 2 ? ? 2013 ? ? 3 ? ? 2012 ? ?? g? ? ? g? ?? g? ? ? g? ?? g? ?? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ?
2014 ? 2 ? 2014 ,故选 D. 2

2,

所以所求为

二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13 题第一问 2 分第二问 3 分. 9.4 10.1 11.60 12.

3 2

13.

n( n ? 1) ,181 2

14. 4

15. 7

9. 【解析】

1 1 1 1 b a b a ? ? ( ? )(a ? b) ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? 4 ,当且仅当 a ? b 时取等号,所 a b a b a b a b

1 1 ? 的最小值为 4 . a b e1 e dx ? ln x |1 ? ln e ? ln1 ? 1 . 10. 【解析】 ? 1 x 18 ? 13 ? 10 ? 1 25 ? 35 ? 37 ? 63 ? 10 , y ? ? 40 ,样本中心为 (10, 40) , 11. 【解析】 x ? 4 4
以 回归直线经过样本中心,所以 40 ? ?2 ?10 ? a ? a ? 60 .
·6 ·

12. 【解析】由程序框图知 s ? sin 又 sin

?
3

? sin

2? ? 3

2014? 2013? 2? ? ? sin ? ? sin ? sin , 3 3 3 3 6? ? sin ? 0 以及周期的性质,化简后得 3

s ? sin

?
3

? sin

2? 3? 4? 3 . ? sin ? sin ? 3 3 3 2
?n? n(n ? 1) , 2

13. 【解析】由题意, A(1, n) ? 1 ? 2 ? ∴ A(1,10) ?

10 ? 11 ? 55 ,∴ A(10,10) ? 55 ? 10 ? 11 ? 2

? 18 ? 181 .

14. 【解析】抛物线为 y 2 ? 4 x , PF 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即距离为 4 . E 2 15. 【解析】由圆的性质 PA =PC·PB,得 PB=12,连接 OA 并反向延长 交圆于点 E,在直角三角形 APD 中可以求得 PD=4,DA=2,故 CD=3, DB=8,记圆的半径为 R,由于 ED·DA=CD·DB C P A

O
D

B

(2R ? 2) ? 2 ? 3 ? 8 ,解得 R=7. 因此

三、解答题。本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)

2π 2π 1 x π = ? ,∴ f(x) = Asin( + ) , ……2 分 T 6π 3 3 6 2π π 5π + ) = 2 ,即 Asin = 2 ,∴A=4, ……4 分 由 f(2π)=2,得 Asin( 3 6 6 x π ∴ f(x) = 4sin( + ) . ……5 分 3 6 16 1 π 16 (2)由 f(3α + π) = ,得 4sin[ (3α + π) + )] = , 5 3 6 5 π 16 4 即 4sin(α + ) = ,∴ cos? ? , ……6 分 2 5 5 π 3 又∵ α ? [0, ] ,∴ sin? ? , ……7 分 5 2 5π 20 1 5π π 20 ) = ? ,得 4sin[ (3? + ) + )] = ? 由 f(3? + , 2 13 3 2 6 13 5 5 即 sin(? + π) = ? ,∴ sinβ ? , ……9 分 13 13 π 12 又∵ β ? [0, ] ,∴ cosβ ? , ……10 分 2 13 4 12 3 5 63 cos(α-β)= cosαcosβ+ sinαsinβ ? ? . ……12 分 ? ? ? 5 13 5 13 65
解:(1)依题意得 ? =
·7 ·

17. (本小题满分 12 分) (本题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识,考查学生运用所学知识解决实 际应用问题的能力) 解: (1)记事件 A 为“任取 2 张卡片,将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, ??1 分 因为奇数加偶数可得奇数,所以 P( A) ?
1 1 C3 ? C5 15 ? 2 C8 28

所以所得新数是奇数的概率等于 (2) ? 所有可能的取值为 1,2,3,4,
1 C5 5 根据题意得 P(? ? 1) ? 1 ? , C8 8

15 . 28

?????4 分 ?????5 分

1 1 C3 C5 15 P(? ? 2) ? 1 ? 1 ? , C8 C7 56

P(? ? 3) ?

1 1 1 1 1 1 1 C3 C5 C3 C5 C2 C2 C1 5 1 ? ? ? , P ( ? ? 4) ? ? ? ? ? . ???????9 分 1 1 1 1 1 1 1 C8 C7 C6 56 C8 C7 C6 C5 56

故 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

5 8

15 56

5 56

1 56
?????10 分

5 15 5 1 3 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 8 56 56 56 2
18. (本小题满分 14 分)

?????????12 分

(本题考查平面与平面垂直的证明,求实数的取值.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要 认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化,合理地运用向量法进行解题. ) 解答: (Ⅰ)证法一:∵AD∥BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2
???????1 分 ???????2 分

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90° ,∴∠AQB=90° ,即 QB⊥AD.

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,???????4 分 ∴BQ⊥平面 PAD.
·8 ·

???????5 分

∵BQ?平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. 证法二:AD∥BC,BC= ∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° ,即 QB⊥AD. ∵PA=PD,∴PQ⊥AD. ∵PQ∩BQ=Q PQ、BQ ? 平面PBQ, ∴AD⊥平面 PBQ. ∵AD?平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. (Ⅱ)法一:∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD.

???????6 分

1 AD,Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形, 2
???????1 分 ???????2 分 ???????3 分 ???????4 分 ???????5 分 ???????6 分

∵面 PAD⊥面 ABCD,且面 PAD∩面 ABCD=AD,∴PQ⊥面 ABCD.?????7 分 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;??8 分

Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .
设 M ( x, y, z ) ,则

PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ?z) ??9 分
t ? ?x ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ? 3t ? ,???10 分 PM ? t ? MC ,∴ ? y ? t ( 3 ? y ) ? ? y ? 1 ? t ? ? ? z ? 3 ? t (? z ) ? 3 ? z? 1? t ?
在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? ? ? ? 1? t ,1? t ,1? t ? ?, ? ? ∴平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) .??12 分 ∵二面角 M ? BQ ? C 为 30° ,∴ cos 30? ?

?

t

3t

3?

n?m n?m

?

t 3? 0?t
2

?

3 ,得 t ? 3 ??14 分 2

法二:过点 M 作 MO // PQ 交 QC 于点 O ,过 O 作 OE ⊥ QB 交于点 E ,连接 ME ,

·9 ·

因为 PQ ? 面 ABCD ,所以 MO ⊥面 ABCD ,由三垂线定理知 ME ⊥ QB , 则 ?MEO 为二面角 M ? BQ ? C 的平面角。????9 分(没有证明扣 2 分) 设 CM ? a ,则 PM ? a ? t , PC ? 7 ,

?

MO CM 1 3a ? ? ,? MO ? ?????10 分 PQ CP 1 ? t 7

OE ⊥ QB , BC ⊥ QB ,且三线都共面,所以 BC // OE

?

EO QO PM t t ?a ? ? ? ? EO ? , ????11 分 BC QC PC 1 ? t 7
?

MO 在 Rt ?MOE 中 tan ?MEO ? tan 30 ? ,???13 分 EO

E E

O

? MO ? 3 ? 3 EO t 3

解得 t ? 3

?????14 分

19. (本小题满分 14 分) 解析: (1)由 a1 ? S1 ? 2 ? 3a1 ? a1 ? 由 Sn ? 2 ? ?

1 , 2

???????1 分

?2 ? ? 2 ? ? 1? an ? Sn?1 ? 2 ? ? ? 1? an?1 ,其中 n ? 2 ?n ? ? n ?1 ? ? 2 ? ?2 ? ? 1? an ?1 ? ? ? 1? an ? n ?1 ? ?n ?
???????3 分

于是 an ? Sn ? Sn ?1 ? ? 整理得

an 1 an ?1 ? ? ? n ? 2? , n 2 n ?1
1 ? an ? ? 是首项及公比均为 的等比数列. 2 ?n?
n ?1

???????4 分

所以数列 ?

???????5 分

an 1 ? 1 ? ? ?? ? n 2 ?2?

?

n 1 ? an? n ,n ? N * n 2 2
n ?1

???????6 分

(2)由(1)得

an 1 ? 1 ? ? ?? ? n 2 ?2?

?

1 2n

·10·

于是 2 an ? n, Tn ? 1 ? 2 ? 3 ?
n

n?

n ? n ? 1? 1 2 1 ? ?1 , ? ? 2? ? ? ???8 分 2 Tn n ? n ? 1? ? n n ?1 ?
???????9 分

?? 1 ? ? 1 1 ? An ? 2 ??1 ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? 2 3 ?


1 ? ? 2n ?1 ?? ? ?? ? ? n n ? 1 ?? n ? 1

2 2n ?1 2n n 2n ?1 2n ? 2 ,问题转化为比较 2 与 的大小,即 2 与 的大小 n ?1 n ?1 nan n n n
f ? n ? 1? ? f ? n ? ? 2n ? ? n ? n ? 2 ? ? 1? ? ? ? n ? n ? 1? ? ?
2

2n n , 设 f ? n? ? 2 , g ? n? ? n n ?1

???????10 分

f n ?1 ) ?( f n)>0 ,∴当 n ? 3 时 f (n) 单调递增, 当 n ? 3 时, (
g n)< 1, f n) ?( f 4) ? 1 ,而 ( ∴当 n ? 4 时, (

f n)>( g n) ∴当 n ? 4 时, ( f n) ?g (n) 经检验 n =1,2,3 时,仍有 ( f n)>( g n), 因此,对任意正整数 n ,都有 ( 即 An<
20. (本小题满分 14 分)

???????12 分 ???????13 分

2 nan

???????14 分

(本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程 思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切线方程,把直线与曲 线方程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到 A, B, C , D 四点纵坐标之积为定值,体现“设而不 求”思想.) (Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x, y ) ,由已知得 x ? 2 ?

( x ? 5)2 ? y 2 ? 3 ,??1 分

易知圆 C2 上的点位于直线 x ? ?2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? x ? 5 . 化简得曲线 C1 的方程为 y 2 ? 20 x . 解法 2 : ???????4 分

曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2 (5, 0) 的距离等于它到直线 x ? ?5 的距离,

所以曲线 C1 是以 (5, 0) 为焦点,直线 x ? ?5 为准线的抛物线,????? 2 分
·11·

故其方程为 y 2 ? 20 x .

???????4 分

(Ⅱ)当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时,P 的坐标为 (?4, y0 ) ,又 y0 ? ?3 ,则过 P 且与圆

C2 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点,
切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? 4) , kx ? y ? y0 ? 4k ? 0 即于是 整理得 72k ? 18 y0k ? y0 ? 9 ? 0.
2 2

5k ? y0 ? 4k k 2 ?1

? 3.



???????6 分

设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是方程①的两个实根, 故 k1 ? k2 ? ? 由?

18 y0 y ?? 0. 72 4



???????7 分

?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, 2 得 k1 y ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. 2 y ? 20 x, ?

③???????8 分

设四点 A, B, C , D 的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 , y4 ,则是方程③的两个实根, 所以 y1 ? y2 ?

20( y0 ? 4k1 ) . k1 20( y0 ? 4k2 ) . k2

④???????9 分

同理可得 y3 ? y4 ?

⑤???????10 分

于是由②,④,⑤三式得
2 y0 ? 4( k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k2 ? 400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) 400 ? ? ? y1 y2 y3 y4 ? ? k1k2 k1k2

400 y?2 ? y?2 ? 16k1k 2 ? ? 6400.???????13 分 k1k 2
所以,当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B, C , D 的纵坐标之积为定值 6400. ?14 分 21. (本小题满分 14 分) 解:(1)当 0 ? x ? a 时, f ( x ) = 当 x ? a 时, f ( x ) =

?

?

a?x ; x ? 2a
???????2 分

x?a . x ? 2a

·12·

因此,当 x ? (0, a) 时, f '( x) =

?3a <0, f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减; ??3 分 ? x ? 2a ? 2

当 x ? (a, ??) 时, f '( x) =

3a >0, f ( x ) 在 ( a, ??) 上单调递增.???4 分 ? x ? 2a ? 2
1 . ???????5 分 2

①若 a ? 4 ,则 f ( x ) 在 (0, 4) 上单调递减, g (a ) = f (0) =

②若 0 ? a ? 4 ,则 f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a, 4) 上单调递增. 所以 g (a ) = max{ f (0) , f (4) } .

1 4?a a ?1 ? ? , 2 4 ? 2a 2 ? a 4?a 故当 0 ? a ? 1 时, g (a ) = f (4) = ; 4 ? 2a 1 当 1 ? a ? 4 时, g (a ) = f (0) = . 2
而 f (0) - f (4) =

???????6 分

???????8 分

? 4?a , 0 ? a ? 1, ? ? 4 ? 2a 综上所述, g (a ) = ? ? 1 , a ? 1. ? ?2

???????9 分

(2)由(1)知,当 a ? 4 时, f ( x ) 在 (0, 4) 上单调递减,故不满足要求.????10 分 当 0 ? a ? 4 时, f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a, 4) 上单调递增. 若存在 x1 , x2 ∈ (0, 4) ( x1 < x2 ),使曲线 y= f ( x ) 在 ? x1,f ( x1 ) ? ,? x2,f ( x2 ) ? 两点处的切线互相 垂直,则 x1 ∈ (0, a ) , x2 ∈ ( a, 4) ,且 f '( x1 ) ? f '( x2 ) =-1, 即

?3a 3a 3a ? ? ?1 ,亦即 x1 ? 2a = .(*) ???????11 分 2 2 x 2 ? 2a ? x1 ? 2a ? ? x2 ? 2a ?
3a ? 3a ? ,1 . ∈? x 2 ? 2 a ? 4 ? 2a ? ?

由 x1 ∈ (0, a ) , x2 ∈ ( a, 4) 得 x1 ? 2a ∈ (2a,3a) ,

故(*)成立等价于集合 A= (2a,3a) 与集合 B= ? 因为

? 3a ? ,1? 的交集非空. ? 4 ? 2a ?

3a 1 < 3a ,所以当且仅当 0 ? 2a ? 1 ,即 0 ? a ? 时,A∩B≠ ? .??13 分 4 ? 2a 2
·13·

综上所述,存在 a 使函数 f ( x ) 在区间(0,4)内的图象上存在两点, 在该两点处的切线互相垂直,且 a 的取值范围是 ? 0, ? .

? ?

1? 2?

???????14 分

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·14·


广东省惠州市2015高三4月模拟考试数学【理】试题及答案(修订版)

广东省惠州市2015高三4月模拟考试数学【理】试题及答案(修订版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。惠州市 2015 届高三模拟考试数 学试题 (理科)本试卷共 5 页...

广东省惠州市2015高三4月模拟试卷 数学理

广东省惠州市2015高三4月模拟试卷 数学理_高中教育_教育专区。精品试卷 惠州市 2015 届高三模拟考试数 学试题 (理科)本试卷共 5 页,21 小题,满分 150 分。...

广东省惠州市2015高三4月模拟试卷 数学理

广东省惠州市2015高三4月模拟试卷 数学理_高三数学_数学_高中教育_教育专区。惠州市 2015 届高三模拟考试数 学试题 (理科) 2015.04 本试卷共 5 页,21 小题,...

广东省惠州市2015高三4月模拟试卷 数学理

广东省惠州市2015高三4月模拟试卷 数学理_数学_高中教育_教育专区。惠州市 2015 届高三模拟考试数 学试题 (理科)本试卷共 5 页,21 小题,满分 150 分。考试用...

广东省惠州市2015高三4月模拟试卷 数学理(全word版)

广东省惠州市2015高三4月模拟试卷 数学理(全word版)_数学_高中教育_教育专区。广东省惠州市2015高三4月模拟试卷 数学理(全word版)惠州...

惠州市2015高三4月模拟试卷_数学理

惠州市2015高三4月模拟试卷_数学理_高三数学_数学_高中教育_教育专区。惠州市 2015 届高三模拟考试数 学试题 (理科)本试卷共 5 页,21 小题,满分 150 分。...

广东省惠州市2015届高三4月模拟数学理试卷(含解析)

广东省惠州市2015高三4月模拟数学理试卷(含解析)_高考_高中教育_教育专区。惠州市 2015 届高三模拟考试 数学试题 (理科) 本试卷共 5 页,21 小题,满分 150...

广东省惠州市2015届高三4月模拟数学(理)试题 Word版含解析

广东省惠州市2015高三4月模拟数学(理)试题 Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。广东省惠州市2015高三4月模拟数学(理)试题 Word版含解析 ...

广东省惠州市2015届高三4月模拟数学文试题 Word版

广东省惠州市2015高三4月模拟数学文试题 Word版_数学_高中教育_教育专区。惠州市 2015 届高三模拟考试数 学试题 (文科) 2015.04 本试卷共 4 页,21 小题,...