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湖北省武汉市2014届高三2月调研测试数学(文)试题


武汉市 2014 届高三 2 月调研测试 数 学(文科)
2014.2.20 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x∈N|x2-2x≤0},则满足 A∪B={0,1,2}的集合 B 的个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 2.设 a,b∈R,则“ab≠0”是“a≠0

”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 3.函数 f(x)=ln(x +2)的图象大致是

4.某班的全体学生参加消防安全知识竞赛,成 绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次 为: [20, 40), [40, 60), [60, 80), [80, 100]. 若 低于 60 分的人数是 15,则该班的学生人数 是 A.45 B.50 C.55 D.60 5.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 5, 则输出 s 的值是 A.4 B.7 C.11 D.16 6.若关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集 是空集,则实数 a 的取值范围是 A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(1,+∞) 7.已知 e1,e2 是夹角为 60°的两个单位向量,若 a=e1+e2,b=-4e1+2e2,则 a 与 b 的夹 角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 8. 《张丘建算经》卷上第 22 题——“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得 快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布 5 尺,30 天共织布 390 尺,则该女子织

布每天增加 4 A.7尺 16 B.29尺 8 C.15尺 16 D.31尺 D1 E D B1 F H C1 G C

9.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,H 分别是棱 A1B1, D1C1 上的点 (点 E 与 B1 不重合) , 且 EH∥A1D1, 过 EH 的平面与棱 BB1, CC1 相交, 交点分别为 F, G. 设 A AB = 2AA1 = 2a , EF = a , B1E = B1F . 在 长 方 体 1 ABCD-A1B1C1D1 内随机选取一点,则该点取自于几何 体 A1ABFE-D1DCGH 内的概率为 A 11 3 13 7 A.16 B.4 C.16 D.8

B

x2 10.抛物线 C1:x2=2py(p>0)的焦点与双曲线 C2: 3 -y2=1 的左焦点的连线交 C1 于第 二象限内的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p= 3 A. 16 3 B. 8 2 3 C. 3 4 3 D. 3

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号 的位 ....... 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.下图是某公司 10 个销售店某月销售某品牌 电 脑数量(单位:台)的茎叶图,则数 据落在区间[19,30)内的频率为 . 12.若复数 z=(m2-7m+15)+(m2-5m+3)i(m∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点 位于直线 y=-x 上,则 m= . 13.已知某几何体的三视图如图所示,则该 6 几何体的表面积为 . 3 5 正视图 5

6 3 5

14.若点(x,y)位于曲线 y=|x-2|与 y=1 所围成的封闭区域内, 则 2x+y 的最小值为 . 15.如下图①②③④所示,它们都是由小圆圈组成的图案.现按同样 的排列规则进行排列, 记第 n 个图形包含的小圆圈个数为 f(n), 则 (Ⅰ)f(5)= ; (Ⅱ)f(2014)的个位数字为 .

侧视图

俯视图

16. 过点 P(-10, 0)引直线 l 与曲线 y=- 50-x2相交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于 .

π 17.已知函数 f(x)= 3sin2x+2cos2x+m 在区间[0,2]上的最大值为 3,则 (Ⅰ)m= ; (Ⅱ)当 f(x)在[a,b]上至少含有 20 个零点时,b-a 的最小值为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin(A-B)=cosC. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 a=3 2,b= 10,求 c.

19. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}满足 0<a1<2,an+1=2-|an|,n∈N*. (Ⅰ)若 a1,a2,a3 成等比数列,求 a1 的值; (Ⅱ)是否存在 a1,使数列{an}为等差数列?若存在,求出所有这样的 a1;若不存在, 说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (Ⅰ)证明:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 PA=1,AD=2,求三棱锥 E-BCD 的体积.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ex-1-x. (Ⅰ)求 f(x)的最小值; (Ⅱ)设 g(x)=ax2,a∈R. 1 (ⅰ)证明:当 a=2时,y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有唯一的公共点; (ⅱ)若当 x>0 时,y=f(x)的图象恒在 y=g(x)的图象的上方,求实数 a 的取值范 围.

22. (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中,|AB|=2 2,|BC|=2.E,F,G,H 分别是矩形四条边的中点, → → → → 分别以 HF,EG 所在的直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,已知OR=λOF,CR′=λCF, 其中 0<λ<1. x2 2 (Ⅰ)求证:直线 ER 与 GR′的交点 M 在椭圆 Γ: 2 +y =1 上; (Ⅱ)若点 N 是直线 l:y=x+2 上且不在坐标轴上的任意一点,F1、F2 分别为椭圆 Γ 的左、右焦点,直线 NF1 和 NF2 与椭圆 Γ 的交点分别为 P、Q 和 S、T.是否存在点 N,使得 直线 OP、OQ、OS、OT 的斜率 kOP、kOQ、kOS、kOT 满足 kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求 出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.

武汉市 2014 届高三 2 月调研测试 数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题 1.D 6.A 二、填空题 11.0.6 3 16.- 3

2.A 7.C 12.3

3.D 8.B

4.B 9 .D

5.C 10.D 14.3 15. (Ⅰ)21; (Ⅱ)3

13.33π

28π 17. (Ⅰ)0; (Ⅱ) 3

三、解答题 18. (本小题满分 12 分) π 解: (Ⅰ)由 sin(A-B)=cosC,得 sin(A-B)=sin(2-C). ∵△ABC 是锐角三角形, π π ∴A-B=2-C,即 A-B+C=2, 又 A+B+C=π, ① ②

π 由②-①,得 B=4.????????????????????????6 分 (Ⅱ)由余弦定理 b2=c2+a2-2cacosB,得 π ( 10)2=c2+(3 2)2-2c×3 2cos4, 即 c2-6c+8=0,解得 c=2,或 c=4. 当 c=2 时,b2+c2-a2=( 10)2+22-(3 2)2=-4<0, ∴b2+c2<a2,此时 A 为钝角,与已知矛盾,∴c≠2. 故 c=4.????????????????????????????12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵0<a1<2, ∴a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|=2-(2-a1)=a1. ∵a1,a2,a3 成等比数列, 2 2 ∴a2 2=a1a3,即(2-a1) =a1, 解得 a1=1. ????????????????????????????6 分 (Ⅱ)假设这样的等差数列存在,则 由 2a2=a1+a3,得 2(2-a1)=2a1, 解得 a1=1. 从而 an=1(n∈N*) ,此时{an}是一个等差数列; 因此,当且仅当 a1=1 时,数列{an}为等差数列.???????????12 分 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BD. ∵PC⊥平面 BDE,

∴PC⊥BD. 又 PA∩PC=P,∴BD⊥平面 PAC.??????????????????6 分 (Ⅱ)如图,设 AC 与 BD 的交点为 O,连结 OE. ∵PC⊥平面 BDE,∴PC⊥OE. 由(Ⅰ)知,BD⊥平面 PAC,∴BD⊥AC, 由题设条件知,四边形 ABCD 为正方形. 由 AD=2,得 AC=BD=2 2,OC= 2. 在 Rt△PAC 中,PC= PA2+AC2= 12+(2 2)2=3. 易知 Rt△PAC∽Rt△OEC, OE CE OC OE CE 2 2 4 ∴ PA =AC= PC ,即 1 = = ,∴OE= 3 ,CE=3. 2 2 3 1 1 1 1 2 4 8 ∴VE-BCD=3S△CEO·BD=3·2OE·CE·BD=6· 3 ·3·2 2=27.???13 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)求导数,得 f ′(x)=ex-1. 令 f ′(x)=0,解得 x=0. 当 x<0 时,f ′(x)<0,∴f(x)在(-∞,0)上是减函数; 当 x>0 时,f ′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 故 f(x)在 x=0 处取得最小值 f(0)=0.?????????????????4 分 (Ⅱ)设 h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-x-ax2,则 h′(x)=ex-1-2ax. 1 (ⅰ)当 a=2时,y=ex-1-x 的图象与 y=ax2 的图象公共点的个数等于 1 h(x)=ex-1-x-2x2 零点的个数. ∵h(0)=1-1=0,∴h(x)存在零点 x=0. 由(Ⅰ) ,知 ex≥1+x,∴h′(x)=ex-1-x≥0, ∴h(x)在 R 上是增函数,∴h(x)在 R 上有唯一的零点. 1 故当 a=2时,y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有唯一的公共点.???9 分 (ⅱ)当 x>0 时,y=f(x)的图象恒在 y=g(x)的图象的上方 ?当 x>0 时,f(x)>g(x),即 h(x)=ex-1-x-ax2>0 恒成立. 由(Ⅰ) ,知 ex≥1+x(当且仅当 x=0 时等号成立) , x 故当 x>0 时,e >1+x. h′(x)=ex-1-2ax>1+x-1-2ax=(1-2a)x, 1 从而当 1-2a≥0,即 a≤2时,h′(x)≥0(x>0) , ∴h(x)在(0,+∞)上是增函数,又 h(0)=0, 于是当 x>0 时,h(x)>0. - 由 ex>1+x(x≠0) ,可得 e x>1-x(x≠0) , 1 - - 从而当 a>2时,h′(x)=ex-1-2ax<ex-1+2a(e x-1)=e x(ex-1)(ex- 2a), 故当 x∈(0,ln2a)时,h′(x)<0,

此时 h(x)在(0,ln2a)上是减函数,又 h(0)=0, 于是当 x∈(0,ln2a)时,h(x)<0. 1 综上可知,实数 a 的取值范围为(-∞,2].???????????14 分 22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知,得 F( 2,0),C( 2,1). → → → → 由OR=λOF,CR′=λCF,得 R( 2λ,0),R′( 2,1-λ). 又 E(0,-1),G(0,1),则 1 直线 ER 的方程为 y= x-1, 2λ 直线 GR′的方程为 y=- λ x+1. 2

① ②

2 2λ 1-λ2 由①②,得 M( , ). 1+λ2 1+λ2 2 2λ 2 ) 1+λ2 1-λ2 2 4λ2+(1-λ2)2 (1+λ2)2 ∵ 2 +( )= = =1, 1+λ2 (1+λ2)2 (1+λ2)2 ( x2 ∴直线 ER 与 GR′的交点 M 在椭圆 Γ: 2 +y2=1 上.??????????6 分 (Ⅱ)假设满足条件的点 N(x0,y0)存在,则 y0 直线 NF1 的方程为 y=k1(x+1),其中 k1= , x0+1 y0 直线 NF2 的方程为 y=k2(x-1),其中 k2= . x0-1 y=k (x+1), ? ?2 1 2 2 2 由?x 消去 y 并化简,得(2k2 1+1)x +4k1x+2k1-2=0. 2 + y = 1 . ? ?2 2k2 4k2 1-2 1 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 . 2k1+1 2k1+1 ∵OP,OQ 的斜率存在, ∴x1≠0,x2≠0,∴k2 1≠1. x1+x2 y1 y2 k1(x1+1) k1(x2+1) ∴kOP+kOQ=x +x = x + x =2k1+k1· x x
1 2 1 2 1 2

4k2 2k1 1 =k1(2- 2 )=- 2 . 2k1-2 k1-1 2k2 同理可得 kOS+kOT=- 2 . k2-1
2 k1k2 k1 k2 2-k1+k1k2-k2 ∴kOP+kOQ+kOS+kOT=-2( 2 + 2 )=-2· 2 k1-1 k2-1 (k2 1-1)(k2-1)

2(k1+k2)(k1k2-1) =- . 2 (k1 -1)(k2 2-1)

2(k1+k2)(k1k2-1) ∵kOP+kOQ+kOS+kOT=0,∴- =0,即(k1+k2)(k1k2-1)=0. 2 (k2 1-1)(k2-1) 由点 N 不在坐标轴上,知 k1+k2≠0, y0 y0 ∴k1k2=1,即 · =1. ③ x0+1 x0-1 又 y0=x0+2, 5 3 解③④,得 x0=-4,y0=4. 5 3 故满足条件的点 N 存在,其坐标为(-4,4) .????????????14 分 ④


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