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倍角公式和半角公式及三角恒等变换

时间:2012-11-30


倍角公式和半角公式及三角恒等变换
时间:45 分钟 分值:100 分

一、选择题(每小题 6 分,共 48 分) π 1 1.(2011· 辽宁理,7)设 sin(4+θ)=3,则 sin2θ=( 7 A.-9 1 C.9 【答案】 A π 1 2 2 1 【解析】 sin(4+θ)=3,则 2 sinθ+ 2 cosθ=3, 2 ∴sinθ+co

sθ= 3 , 2 ∴1+2sinθcosθ=9, 7 ∴sin2θ=-9. 故选 A. 2. (2011· 湖北理, 3)已知函数 f(x)= 3sinx-cosx, x∈R, f(x)≥1, 若 则 x 的取值范围为( ) 1 B.-9 7 D.9 )

π A.{x|kπ+3≤x≤kπ+π,k∈Z} π B.{x|2kπ+3≤x≤2kπ+π,k∈Z} π 5π C.{x|kπ+6≤x≤kπ+ 6 ,k∈Z} π 5π D.{x|2kπ+6≤x≤2kπ+ 6 ,k∈Z}

【答案】 B 【解析】 本题考查三角变换公式及三角不等式的解法. π ∵f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x-6),∵f(x)≥1, π 1 ∴sin(x-6)≥2. π π 5π π ∴2kπ+6≤x-6≤2kπ+ 6 ,∴2kπ+3≤x≤2kπ+π,k∈Z. π π 3.(2012· 山师大附中模考)设函数 f(x)=cos2(x+4)-sin2(x+4),x ∈R,则函数 f(x)是( )

A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为2的奇函数 π D.最小正周期为2的偶函数 【答案】 A π 2π 【解析】 f(x)=cos(2x+2)=-sin2x 为奇函数,周期 T= 2 =π. 4.(2012· 浙江金华十校模考)已知向量 a=(cos2α,sinα),b= π? ?π ? ? 2 (1,2sinα-1),α∈?4,π?,若 a· 5,则 tan?α+4?的值为( b=
? ? ? ?

)

1 A.3 1 C.7 【答案】 C 【解析】

2 B.7 2 D.3

a· b=cos2α+2sin2α-sinα=1-2sin2α+2sin2α-sinα

2 3 =1-sinα=5,∴sinα=5, π 4 3 ∵4<α<π,∴cosα=-5,∴tanα=-4, π? 1+tanα 1 ? ∴tan?α+4?= = . ? ? 1-tanα 7 5.cos40° +cos60° +cos80° +cos160° 的值是( A.0 C.-1 【答案】 B 1 【解析】 原式=2+2cos100° cos60° +cos80° 1 1 1 =2+cos100° +cos80° 2+2cos90° = cos10° 2. = 6.tan70° cos10° (1- 3tan20° )的值为( A.-1 C.-2 【答案】 B 【解析】 tan70° cos10° (1- 3tan20° ) = = sin70°cos10° · ?cos20° 3sin20° - ? cos70° cos20° sin70° cos10°2cos80° 2cos10°sin10° · · = sin20° sin70° sin20° =1.故应选 B. B.1 D.2 ) 1 B.2 1 D.2+2cos20° )

5π 7π 7.(2012· 湖北黄冈模拟)若 2 ≤α≤ 2 ,则 1+sinα+ 1-sinα等 于( ) α A.-2cos2 α B.2cos2

α C.-2sin2 【答案】 C

α D.2sin2

5π 7π 5π α 7π 【解析】 ∵ 2 ≤α≤ 2 ,∴ 4 ≤2≤ 4 . ∴ 1+sinα+ 1-sinα = = α α 1+2sin2cos2+ α α ?sin2+cos2?2+ α α 1-2sin2cos2 α α ?sin2-cos2?2

α α α α α =-(sin2+cos2)-(sin2-cos2)=-2sin2. cosα-sinα 8.已知 α、β 均为锐角,且 tanβ= ,则 tan(α+β)的值 cosα+sinα 为( ) A.-1 C. 3 【答案】 B 【解析】 tanβ= cosα-sinα 1-tanα ?π ? = =tan?4-α?, ? ? cosα+sinα 1+tanα
? ? ?

B.1 D.不存在

? π π? ? π π? π ∵4-α,β∈?-2,2?且 y=tanx 在?-2,2?上是单调增函数, ?

π π π ∴β=4-α,∴α+β=4,∴tan(α+β)=tan4=1. 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 1 9.函数 f(x)=cosx-2cos2x(x∈R)的最大值等于________. 3 【答案】 4

1 1 【解析】 f(x)=cosx-2cos2x=cosx-2(2cos2x-1) 1 1 3 =-cos2x+cosx+2=-(cosx-2)2+4, 3 ∴f(x)max=4. 10.(2011· 海南五校联考)设函数 f(x)=sinx+cosx,f ′(x)是 f(x) sin2x-sin2x 的导数,若 f(x)=2f ′(x),则 cos2x =________. 5 【答案】 -9 【解析】 f ′(x)=cosx-sinx, ∴sinx+cosx=2cosx-2sinx, ∴3sinx=cosx, sin2x-sin2x sin2x-2sinx· 3sinx -5sin2x 5 ∴ cos2x = = 9sin2x =-9. 2 ?3sinx? π π π π 11.已知 f(x)=sin(4x+3)- 3cos(4x+3),则 f(1)+f(2)+…+ f(2010)+f(2011)+f(2012)=________. 【答案】 2+2 2 π π π π 【解析】 f(x)=sin4xcos3+cos4xsin3- π π π π 3cos4xcos3+ 3sin4xsin3 π =2sin4x, 2π ∴T= π =8, 4 而 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)= 2+2+ 2+0

+(- 2)+(-2)+(- 2)+0=0, ∴原式=f(1)+f(2)+…+f(2012)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+ 2 2. 三、解答题(共 34 分) 1 12.(11 分)已知 sinx+cosx=-5(135° <x<180° ). 求 2sinx 的值. cosx-sinx-cos3x+sin3x

1 1 【解析】 ∵sinx+cosx=-5,∴1+2sinxcosx=25. 1 24 即 1+sin2x=25,∴sin2x=-25. 7 又∵270° <2x<360° ,∴cos2x=25. 2sinx ∴原式= cos?2x-x?-sin?2x-x?-cos?2x+x?+sin?2x+x? = 2sinx 1 25 = =-17. 2sin2x· sinx+2cos2x· sinx sin2x+cos2x

13.(11 分)(2012· 福建龙岩质检)已知 a=(1,cosx),b=(sinx,- 1),函数 f(x)=a· b(x∈R). (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)当 x∈[0,π]时,求函数 f(x)的最大值. π? ? 【解析】 (1)f(x)=a· b=sinx-cosx= 2sin?x-4?.
? ?

π π π π 3 由-2+2kπ≤x-4≤2+2kπ(k∈Z),得-4+2kπ≤x≤4π+2kπ(k ∈Z), 3 ? π ? ∴f(x)的单调递增区间是?-4+2kπ,4π+2kπ?(k∈Z).
? ?

π? ? (2)f(x)= 2sin?x-4?,∵x∈[0,π],
? ?

π ? π 3π? ∴x-4∈?-4, 4 ?,
? ?

π π 3π ∴当 x-4=2,即 x= 4 时,f(x)max= 2. 14.(12 分)求函数 y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x 的最大值和 最小值. 【解析】 y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x =7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x) =7-2sin2x+4cos2xsin2x =7-2sin2x+sin22x=(1-sin2x)2+6, 由于函数 z=(u-1)2+6 在[-1,1]中的最大值为 zmax=(-1-1)2 +6=10,最小值为 zmin=(1-1)2+6=6, 故当 sin2x=-1 时,y 取得最大值 10, 当 sin2x=1 时,y 取得最小值 6.


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