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【南方新课堂】2016年高考数学总复习 三角函数与解三角形 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式课件 理


第5讲

两角和与差及二倍角的三角函数公式

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正 切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内 在联系.

1.两角和与差的三角函数

cosαcosβ-sinαsinβ ; C :cos(α+β)=______________________
α+β

Cα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ; Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; Sα-β:sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ; tanα+tanβ 1-tanαtanβ ; Tα+β:tan(α+β)=___________________
tanα-tanβ Tα-β:tan(α-β)= . 1+tanαtanβ

2.二倍角的三角函数
2sinαcosα S2α:sin2α=____________ ; C2α
2α 1 - 2sin 2 2 2 :cos2α=cos α-sin α=2cos α-1=__________;

2tanα T2α:tan2α= 2 . 1-tan α 3.降次公式 1+cos2α 1-cos2α 2 cos α= ;sin α= . 2 2
2

4.辅助角公式 asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ). a b 其中cosφ= 2 2,sinφ= 2 2, a +b a +b b tanφ=a,角φ称为辅助角.

1 1.下列各式的值为 的是( D ) 4 π A.2cos 12-1
2

B.1-2sin275° D.sin15° cos15°

2tan22.5° C. 1-tan222.5°

2.(2015年广东广州一模)已知tanα=2,则tan2α的值
4 ? 3 为________.

3 .(2014 年上海) 函数 y =1 -2cos2(2x) 的最小正周期是 π 2 . ________

2π π 解析:y=1-2cos (2x)=-cos4x,T= 4 =2.
2

7 - 25 4.已知角α的终边过点(3,-4),则 cos2α=_______. 24 - 3 5.已知α为第二象限角,sinα= ,则 tan2α=____. 7 5

考点 1 给角求值问题 例 1:化简求值:(1)tan15°;

tan42° +tan18° (2) ; 1-tan42° tan18° 1+tan15° (3) ; 1-tan15° (4)tan20° +tan40° + 3tan20° tan40° .

解:(1)体会正用公式:tan15° =tan(60° -45° ) tan60° -tan45° 3-1 = = =2- 3. 1+tan60° tan45° 1+ 3 tan42° +tan18° (2)体会逆用公式: =tan(42° +18° )=tan60° 1-tan42° tan18° = 3. (3)创造条件逆用公式:∵1=tan45° , 1+tan15° tan45° +tan15° ∴ = =tan(45° +15° )=tan60° = 1-tan15° 1-tan45° tan15°

(4)公式的变形运用:考虑tan(20° +40° )的展开式,由 tan20° +tan40° tan(20° +40° )= ,得 1-tan20° tan40° 3- 3 tan20° tan40° =

tan20° +tan40° .移项,得tan20° +tan40° + 3tan20° tan40° = 3.
【规律方法】三角函数的给角求值,关键是把待求角用已 知角表示: ①已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差; ②已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系” 或“互余、互补”的关系.

【互动探究】

cos10° + 3sin10° 2 1.计算: =________. 1-cos80° cos10° + 3sin10° 2cos?10° -60° ? 2cos50° 解析: = = = 2. 2 2sin 40° 2sin40° 1-cos80°

考点2

给值求值问题

例 2:已知 f(x)= 3sin2x-cos2x. (1)求函数 f(x)的单调递增区间;
? π? 6 (2)若 f θ =5,θ∈?0,4?,求 cos2θ 的值. ? ?
? ? ? ? ? ?

解:(1)f(x)=

? π? 3sin2x-cos2x=2sin?2x-6?, ? ?

π π π ∵f(x)单调递增,∴2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2. π π ∴kπ-6≤x≤kπ+3,k∈Z. ∴函数
? π π? f(x)的单调递增区间为?kπ-6,kπ+3?,k∈Z. ? ?

? π? 3 6 (2)若 f θ =5,则 sin?2θ-6?=5. ? ? ? π? π ? π π? 由 θ∈?0,4?,得 2θ-6∈?-6,3?. ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?

从而

? π? cos?2θ-6?= ? ?

1-sin

2

? π? 4 ?2θ- ?= . 6? 5 ?

?? ? ? π? π ? π? π π? π ∴cos2θ=cos??2θ-6?+6?=cos?2θ-6?cos6-sin?2θ-6?sin6 ? ? ? ? ? ?? ?

4 3 3 1 4 3-3 =5× 2 -5×2= 10 .

?? ? 【规律方法】本题已知 sin ? 2? ? ? ,求cos2θ,可将2θ- 6? ?
? ?? ? ? ?? 当作一个整体,利用cos2θ=cos ?? 2? ? ? ? ? 求解;如果利 6 6 ? 6? ??

? ? 3 ? ?sin 2? cos ? cos 2? sin ? 用解方程组 ? 6 6 5 , 求cos2θ,计算量很 ?sin 2 2? ? cos 2 2? ? 1 ?

大,这种方法需要仔细体会.

【互动探究】
? π? 3 2.(2013年广东广州二模)已知α为锐角,且cos?α+4?=5, ? ?

2 则sinα=________. 10

解析:α为锐角,cos

? π? ?α+ ? 4? ?

? π? 3 4 = 5 ,sin ?α+4? = 5 ,sinα= ? ?

? ? ? π π? π? π π? π ?4 3? sin?α+4-4?=sin?α+4?cos -cos?α+4?· sin =?5-5?× 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2 = . 2 10

考点 3 给值求角问题
5 10 例3:已知A,B均为钝角,且sinA= ,sinB= ,求A 5 10 +B的值.

5 10 解:∵A,B均为钝角,且sinA= ,sinB= , 5 10 2 2 5 ∴cosA=- 1-sin A=- =- 5 , 5
2

3 3 10 cosB=- 1-sin B=- =- . 10 10
2

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

? 5 ? 5 10 2 ? 3 10? =- 5 ×?- ?- 5 × 10 = 2 . 10 ? ?

2

π π 又∵ <A<π, <B<π, 2 2 7π ∴π<A+B<2π,∴A+B= 4 .
【规律方法】已知三角函数值求角时,要先确定所求角的 范围,再选择在该范围内具有单调性的某一三角函数求解,否 则容易出现增根.如若α∈?0,π?,则选余弦函数;若α∈

? ? ?? ? ? , ? ,则选正弦函数. ? 2 2?

【互动探究】
1 1 3.已知α,β为锐角,且cosα= ,cosβ= ,为了求α 10 5

cos(α+β) +β的值,要先求sin(α+β)或cos(α+β),你认为选___________
3π 4 更好.最后求得α+β=________.

●难点突破● ⊙三角函数公式的综合应用
? π? 例题:(2013年广东广州一模)已知函数f(x)=Asin?ωx+4? ? ?

(其中x∈R,A>0,ω>0)的最大值为2,最小正周期为8. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数f(x)图象上的两点P,Q的横坐标依次为2,4,O为 坐标原点,求cos∠POQ的值.

解:(1)∵f(x)的最大值为 2,且 A>0,∴A=2. ∵f(x)的最小正周期为 8, 2π π ∴T= =8,即 ω= . 4 ω
?π π? ∴f(x)=2sin?4x+4?. ? ?

?π π? π (2)方法一:∵f(2)=2sin?2+4?=2cos4= ? ? ? π? π f(4)=2sin?π+4?=-2sin4=- ? ?

2,

2,

∴P(2, 2),Q(4,- 2). ∴|OP|= 6,|PQ|=2 3,|OQ|=3 2. |OP|2+|OQ|2-|PQ|2 ∴cos∠POQ= 2|OP||OQ| ? 6?2+?3 2?2-?2 = 2 6×3 2 3?2 3 = . 3

?π π? π ? ? 方法二:∵f(2)=2sin 2+4 =2cos4= ? ? ? π? π ? ? f(4)=2sin π+ =-2sin =- 4? 4 ?

2,

2,

∴P(2, 2),Q(4,- 2). → =(2, 2),OQ → =(4,- 2). ∴OP → ,OQ →〉 ∴cos∠POQ=cos〈OP →· → OP OQ 6 = = → ||OQ →| 6×3 |OP 3 = . 2 3

?π π? π 方法三:∵f(2)=2sin?2+4?=2cos4= ? ? ? π? π f(4)=2sin?π+ 4?=-2sin4=- ? ?

2,

2,

∴P(2, 2),Q(4,- 2). 如图 351,作 PP1⊥x 轴,QQ1⊥x 轴,垂足分别为 P1,Q1,

图351

则|OP|= 6,|OP1|=2, |PP1 |= 2, |OQ|=3 2, |OQ1 |=4, |QQ1 |= 2.

设∠POP1=α,∠QOQ1=β, 3 6 1 2 2 则 sinα= ,cosα= ,sinβ= ,cosβ= . 3 3 3 3 3 ∴cos∠POQ=cos(α+β)=cosαcosβ- sinα sinβ= . 3


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