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2015年高中数学《空间几何体的表面积和体积》自测试题


2015 年高中数学《空间几何体的表面积和体积》自测试题 【梳理自测】 一、柱、锥、台和球的侧面积和体积 1.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半径是( )

A. 3 C.4 D.5

B.3

2.正六棱柱的高为 6,底面边长为 4,则它的全面积为(

)

A.48

(3+ 3) B.48(3+2 3) C.24( 6+ 2) D.144
3.棱长为 2 的正四面体的表面积是( )

A. 3 B.4 C.4 3 D.16
4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

5.如图所示,在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 A1B1 上一点,且 PB1 1 = A1B1,则多面体 P-BB1C1C 的体积为________. 4 答案:1.B 2.A 3.C 4.12+π 5. 16 3

◆以上题目主要考查了以下内容: 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 S 侧=2π rh 体积 V=Sh=π r2h

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圆锥

S 侧=π rl

1 1 1 V= Sh= π r2h= π 3 3 3 r2 l2-r2 1 V= (S 上+S 下+ S上·S下)h 3

圆台

S 侧=π (r1+r2)l

1 2 = π (r2 1+r2+r1r2)h 3 V=Sh 1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ S上·S下)h 3 4 V= π R3 3

直棱柱

S 侧=Ch 1 S 侧= Ch′(h′为斜 2 高)

正棱锥

正棱台 球 二、几何体的表面积

1 S 侧= (C+C′)h′ 2 S 球面=4π R2

1.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积与底 面积之和. 【指点迷津】 1.一种数学思想 计算旋转体的侧面积时, 一般采用转化的方法来进行, 即将侧面展开化为平面图形, “化曲为直” 来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 2.两种位置:球的组合体的内切与外接 如球内切于正方体, 切点为正方体各个面的中心, 正方体的棱长等于球的直径; 球外接于正方体, 正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴 截面进行解题. 3.三种方法——求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法:直接根据相关的体积公式计算. (2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求 出一些体积比等.
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(3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几 何体.

考向一

几何体的表面积与侧面积

例题 1 (1)(2012·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(

)

A.28+6 5

B.30+6 5

C.56+12 5 D.60+12 5
(2)(2014·广州市高三调研)已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示,则四棱锥 P-ABCD 的四个 侧面中面积最大的是( )

A.3 B.2 5 C.6 D.8
【审题视点】 根据几何体的三视图画出其直观图, 利用直观图的图形特征求其表面积或侧面积. 【典例精讲】 (1)由几何体的三视图可知,该三棱锥的直观图如图所示, 其中 AE⊥平面 BCD,CD⊥BD,且 CD=4, BD=5,BE=2,ED=3,AE=4. ∵AE=4,ED=3,∴AD=5.
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又 CD⊥BD,CD⊥AE, ∴CD⊥平面 ABD, 故 CD⊥AD, ∴AC= 41且 S△ACD=10. 在 Rt△ABE 中,AE=4,BE=2,故 AB=2 5. 在 Rt△BCD 中,BD=5,CD=4,故 S△BCD=10,且 BC= 41. 在△ABD 中,AE=4,BD=5,故 S△ABD=10. 1 在△ABC 中,AB=2 5,BC=AC= 41,则 AB 边上的高 h=6,故 S△ABC= ×2 5×6=6 5. 2 因此,该三棱锥的表面积为 S=30+6 5. (2)由三视图知四棱锥如图所示,N 为 CD 的中点,M 为 AB 的中点,易知 PM 1 1 1 =3,PN= 5,S△PDC= ×4× 5=2 5,S△PBC=S△PAD= ×2×3=3,S△PAB= ×4 2 2 2 ×3=6.故选 C. 【答案】 (1)B 【类题通法】 面积的和. (2)若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解; (3)若以三视图的形式给出,解题的关键是对给出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素 间的位置关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解. 变式训练 1.(2014·潍坊市考前适应性训练)如图为某个几何体的三视图,则该几何体的 侧面积为( ) (2)C (1)多面体的表面积是各个面的面积之和;旋转体的表面积等于侧面面积与底面

A.16+4π C.16+8π

B.12+4π D.12+8π

解析:选 A.该几何体是半圆柱和一个三棱柱的组合体,其侧面积为 4π +6+10=16+4π .

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考向二

几何体的体积

例题 2 (1)(2014·辽宁省五校联考)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的 体积等于________cm3.

(2)(2013·高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)

A.

560 3

B.

580 3

C.200 D.240
【审题视点】 由三视图分清是旋转体, 还是多面体或是组合体, 然后求出计算体积所需要的量, 代入公式. 1 【典例精讲】 (1)该几何体的直观图为上为圆台、下为半球的组合体,其体积 V= π ×3×(42 3 1 4 84π 128π 212π +4×2+22)+ × π ×43= + = . 2 3 3 3 3 (2)先将三视图还原为空间几何体,再根据体积公式求解.由三视图知该几何体为直四棱柱,其 底面为等腰梯形,上底长为 2,下底长为 8,高为 4,故面积为 S= 10,所以体积 V=Sh=20×10=200. 【答案】 (1) 【类题通法】 公式进行求解.
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(2+8)×4 =20.又棱柱的高为 2

212 π 3

(2)C

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进 行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体, 则应先根据三视图得到几何体的直观图, 然后根据条件求解. 变式训练 2.(2014·郑州市二测)一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位:cm),其中正(主)视图是 直角三角形,侧(左)视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的体积是( )

A. cm3 B. cm3 C. cm3 D.π cm3
解析:选 A.依题意得,该几何体是一个圆锥的一半(沿圆锥的轴剖开),其中该圆锥的底面半径 1 ?1 ? π 2 为 1、高为 3,因此该几何体的体积为 ×? ×π ×1 ×3?= cm3,选 A. 2 ?3 ? 2 考向三 球的组合体及球的性质 π 4

π 2

π 3

例题 3 (1)(2013·高考全国卷)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面 α , H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为π ,则球 O 的表面积为________. (2)(2014·安徽省“江南十校”联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示 (图中三个四边形都是边长为 2 的正方形),则该几何体外接球的体积为________.

【审题视点】 (1)利用球的截面性质求解三角形. (2)寻找球的直径与几何体边长间的关系.
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【典例精讲】 (1)如图,设球 O 的半径为 R,则由 AH∶HB=1∶2 得 1 2 HA= ·2R= R, 3 3 R ∴OH= . 3 ∵截面面积为π =π ·(HM)2, ∴HM=1. 在 Rt△HMO 中,OM2=OH2+HM2, 1 1 ∴R2= R2+HM2= R2+1, 9 9 ∴R= 3 2 . 4

?3 2?2 9 ? = π. ∴S 球=4π R2=4π ·? 2 ? 4 ? (2)依题意可知,新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球,要求的直径就是正方体的体对 角线, ∴2R=2 3(R 为球的半径), ∴R= 3. 4 ∴球的体积 V= π R3=4 3π . 3 9 【答案】 (1) π 2 (2)4 3π

【类题通法】 解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的 关系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及 体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的. 变式训练 3.(2014·长春模拟)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面 上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 与体积较大者的高的比值为________. 解析:如图,设球的半径为 R,圆锥底面半径为 r. 3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高 16

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由题意得π r2= 3 ∴r2= R2, 4

3 ×4π R2. 16

根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心 O,且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大 圆上的点,且 AB⊥O1C. 1 ∴OO1= R2-r2= R, 2 1 R 因此体积较小的圆锥的高 AO1=R- R= , 2 2 R 3 体积较大的圆锥的高 BO1=R+ = R. 2 2 1 且这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比为 . 3 答案: 1 3

几何体体积的计算方法 典型例题 (2013·高考江苏卷)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的 中点.设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2= ________. 【方法分析】 ①题目条件:在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,从侧棱及底边中点处分 割出一个三棱锥. ②解题目标:两个几何体体积之比. ③关系探究:(ⅰ)把三棱柱看作是任意三棱柱:通过点 D,E,F 为中点得出三棱柱与三棱锥的底 面面积以及高之间的关系,然后利用体积公式得到体积之间的比值. (ⅱ)把三棱柱看作任意三棱柱, 根据同底同高的三棱锥与三棱柱体积之间的关系, 直接得出答案. (ⅲ)把三棱柱看作特殊三棱柱:如正三棱柱,并设出各棱长,具体计算体积. 【解答过程】 方法(ⅰ)设三棱柱的底面 ABC 的面积为 S,高为 h,则其体积为 V2=Sh.因为 D, 1 E 分别为 AB,AC 的中点,所以△ADE 的面积等于 S.又因为 F 为 AA1 的中点,所以三棱锥 F-ADE 的高 4 1 1 1 1 1 1 等于 h,于是三棱锥 F-ADE 的体积 V1= × S· h= Sh= V2,故 V1∶V2=1∶24. 2 3 4 2 24 24
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1 方法(ⅱ)连接 A1C,A1B,则 V1= VA1-ABC, 8 1 1 而 VA1-ABC= V2,∴V1= V2. 3 24 方法(ⅲ)若三棱柱 A1B1C1-ABC 为正三棱柱,设 AB=2,AA1=2. 则 V2=Sh= 3 ×22×2=2 3, 4

1 3 3 V1= × ×1= , 3 4 12 ∴V1∶V2=1∶24. 【答案】 1∶24 【回归反思】 (1)对于规则几何体体积的大小可直接考虑底面积与高的量. (2)用特殊代替一般可解决体积比(面积比)之类的问题. (3)在锥体中平行于底的截面分割出的小锥体与原锥体的体积比为相似比的立方. 真题体验 1.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.200+9π C.140+9π

B.200+18π D.140+18π

解析:选 A.由三视图可知该几何体的下面是一个长方体,上面是半个圆柱组成的组合体.长方 体的长、宽、高分别为 10、4、5,半圆柱底面圆半径为 3,高为 2,故组合体体积 V=10×4×5+9 π =200+9π . 2.(2013·高考辽宁卷)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=3,AC =4,AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的半径为( )

A.

3 17 B.2 10 2

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C.

13 2

D.3 10

解析:选 C.根据球的内接三棱柱的性质求解. 因为直三棱柱中 AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以 BC=5,且 BC 为过底面 ABC 的截面圆的 直径.取 BC 中点 D,则 OD⊥底面 ABC,则 O 在侧面 BCC1B1 内,矩形 BCC1B1 的对角线长即为球直径,所 以 2R= 122+52=13,即 R= 13 . 2

3.(2013·高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________.

解析:由三视图可知,该几何体为一个半径为 1 的半球,其表面积为半个球面面积与截面面积的 1 和,即 ×4π +π =3π . 2 答案:3π 4.(2013·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为 ________. 解析:将三视图还原为直观图,然后根据三视图特征及数据,利用体积 公式求解. 由几何体的三视图可知该几何体是一个底面是正方形的四棱锥,其底面 1 边长为 3,且该四棱锥的高是 1,故其体积为 V= ×9×1=3. 3 答案:3

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