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函数图象的平移与对称变换专题


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专题五:函数图象的平移与对称变换
一.知识结构 1.利用描点法作函数的图象的基本步骤:
①确定函数的定义域 ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、最值等) ②简化函数的解析式 ④画出函数的图象

2.图象的平移变换
① y ? f ( x ?

a) ( a ? 0 )的图象可由 y ? f (x) 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位得到;

y ? f ( x ? a) ( a ? 0 )的图象可由 y ? f (x) 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到
② y ? f ( x) ? h (h ? 0) 的图象可由 y ? f (x) 的图象沿 y 轴向上或向下平移 h 个单位 得到 注意: (1)可以将平移变换化简成口诀:左加右减,上加下减 (2)谁向谁变换是 y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) 还是 y ? f ( x ? a) ? y ? f ( x)

3.图象的对称变换
① y ? f (x) 与 y ? f (? x) 的图象关于 y 轴对称 ② y ? f (x) 与 y ? ? f (x) 的图象关于 x 轴对称 ③ y ? f (x) 与 y ? ? f (? x) 的图象关于原点对称 ④ y ? f (x) 的图象是保留 y ? f (x) 的图象中位于上半平面内的部分,及与 x 轴的交 点,将的 y ? f (x) 图象中位于下半平面内的部分以 x 轴为对称翻折到上半面中去而得 到。 ⑤ y ? f ( x ) 图象是保留中位于右半面内的部分及与 y 轴的交点,去掉左半平面内的部 分, 而利用偶函数的性质, 将右半平面内的部分以 y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。 ⑥奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形

二.题型选编 题组一:利用描点法作函数的图象 1.作出函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | 的图象; 2.作出函数 f ( x) ?
3x ? 1 的图象; 2x ? 2

3.作出函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 的图象; 题组二:利用图象的变换解决相应的问题 1.设函数 y ? f (x) 图象进行平移变换得到曲线 C ,这时 y ? f (x) 图象上一点 A(?2,1) 变
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简单数学简单爱,数学让我更精彩;有限时间,有限精力,有限题目,无限能力 为曲线 C 上点 A' (?3,3) ,则曲线 C 的函数解析式为( A. y ? f ( x ? 1) ? 2 B. y ? f ( x ? 1) ? 2

) D. y ? f ( x ? 1) ? 2

C. y ? f ( x ? 1) ? 2

2.对于定义在 R 上的函数 f (x) 有下列命题,其中正确的序号为
①若函数 f (x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称; ②若对 x ? R ,有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , y ? f (x) 的图象关于直线 x ? 1对称; ③若函数 f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1对称,则函数 f (x) 是偶函数; ④函数 y ? f ( x ? 1) 与函数 y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 1对称; 3.若函数 y = f (x) (x∈R)满足 f (x + 2) = f (x),且 x∈(–1, 1]时,f (x) = |x|,则函数 y = f (x)的 图象与函数 y = log3| x |的图象的交点的个数是 .

题组三:有关图象问题的综合应用
1.若函数 y ? a x ? b ? 1(a ? 0且a ? 1) 的图象经过第二、三、四象限,则一定有 2.函数 f ( x) ? a x ?b 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是( A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0
2

. )

C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0

3.关于 x 的方程 x ? 4 x ? 3 ? a ? x 有三个不相等的实数根,则实数 a 的值是多少?

题组四:温故知新,可以为师
1.画出下列函数的图象 ①y?( )

1 2

x?2

② y ? x ?2x ?3
2

2. 如图, 在函数 y ? lg x 的图象上有 A, B, C 三点, 它们的横坐标分别为 m, m+2, m+4(m>1). ①若△ ABC 面积为 S,求 S=f(m); ②判断 S=f(m)的增减性.
y
C

B

A

x

1 m m?2

m?4

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