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2014年高考数学(理科)数列试题分析及教学建议


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中学数学教学

2014 年第 5 期

2014 年 高 考 数 学 (理 科 )数 列 试 题 分 析 及 教 学 建 议
合肥工业大学附中   刘   敏     (邮编 : 230009)

    摘   要   高考试题集权威性 、 筛选性 、 导向性于一身 , 直接体现

了枟教学大纲枠 、 枟课程标准枠 对中学 教学的要求 . 因此 , 认真研读各省最新的高考试题 , 有助于跟踪 、 把握高考命题趋势 , 将会大大提高高三 复习的针对性与复习效果 . 本文整理分析了 2014 年全国理科高考试卷 (18 份 )数学卷中的数列试题 , 经过详细的梳理统计 , 从考查的知识点 、 涉及的数学思想方法等方面进行分析总结 , 在此基础上对数列 的复习与备考提出一些个人建议 . 关键词   高考 ; 数列 ; 教学建议 1   2014 年全国高考 (理科 )试题数列部分的统计分析
表 1   2014 年全国高考 (理科 )试卷数列试题分析 省份 试卷题号与题型 分值 考查的知识点 Sn 与 an 的关系 等差数列的概念 等比数列的概念 通项公式 等比数列的性质 17 等差数列的通项公式 前 n 项和 等比数列的概念 10 等差数列的性质 等差数列前 n 项和最大问题 等差数列前 n 项和 山东 19 解答题 12 等比数列的性质 通项公式 江苏 7 填空题 20 解答题 21 等比数列的通项公式 Sn 与 an 的关系 等比数列的概念 浙江 福建 安徽 19 解答题 3 选择题 12 填空题 21 解答题 8 填空题 14 等差数列的性质 通项公式 、 求和公式 5 18 等差数列的基本公式 等差 、 等比数列的运算和性质 等差数列的性质 递减数列 不等式   导数 构造法 数学归纳法 不等式 裂项相消法 分段函数表示方法 裂项相消法 分类讨论法 充要条件 分类讨论法 对数的运算 裂项相消法 不等式 交汇的其它知识 解题方法

新课标 Ⅰ

17 解答题

12

由一般到特殊

新课标 Ⅱ

17 解答题

12

放缩法 、 构造法

全国大纲

10 选择题 18 解答题 5 选择题 12 填空题

北京

方程思想

辽宁



指数函数

转化化归

2014 年第 5 期
11 填空题 19 解答题

中学数学教学

31

天津



等差 、 等比数列的基本公式 递增 、 递减数列

不等式

转化化归

湖南 湖北 江西

20 解答题 18 解答题 17 解答题

13

数列通项公式 等比数列求和 等比 、 等差数列的基本公式 通项公式 前 n 项和 等差中项 等比中项 等比数列的性质 三角函数 不等式

转化化归 分类讨论法 分类讨论法 构造法 错位相减法 转化化归 构造法 ; 不等式 归纳猜想 ; 数学归纳法 函数 、 导数的 几何意义 错位相减法 归纳猜想 数学归纳法

12 12

陕西

16 解答题

12

重庆

2 选择题 22 解答题

17

等差数列的概念 数列的通项公式

四川

19 解答题 13 填空题 19 解答题

12

等差 、 等比数列的基本公式 等比数列的性质 数列的前 n 项和

广东

19

    从上表中可以看出 , 数列作为高中数学的主 干知识 , 在 2014 年 全 国 高 考 各 省 试 题 中 均 有 考查 . 从分值分布上分析 , 福建以 1 道选 择题呈 现, 辽宁以一道填空题呈现 , 分值均为 5 分 ; 北京 卷同时以 1 道选择题 、 1 道填空题出现 , 分值共计 10 分 ; 其他省份均在分值较高的解答题中考查数 列问题 , 分值在 12 分到 21 分不等 . 从试题出现位置上看 , 数列考点的解答题多 出现在解答题型的前 2 道 , 以考查基本知识 、数 学运算能力为主 . 同时 , 数列试题与其他知识点 综合 , 出现在部分省份的高考解答题的中间偏后 甚至压轴题位置 , 以全面考查学生的综合思维 能力 . 从考查的知识点的角度 , 统计分析数列考点 相关高考试题 , 考查的知识点中 , 有 11 份试卷考 查数列的综合应用 . 试题形式中 , 出现次数最多的 解答题基本上都是设置两小问形式 , 求通项公式 和前 n 项或者证明等差等比数列相关的不等式 . 从试题难度设置上 , 所有试题都属 于常规 题, 尤其是以选择题填空题形式出现的数列题 , 都是用解决数列问题的通性通法可以解决的问 题. 除此以外 , 数列题还被放置到了压轴位置 , 对

学生能力要求较高 . 2   高考数列问题典型考题分析 2. 1   填空选择题 今年高考理科试题中有 9 个省份以选择填 空题形式考查了数列问题 . 全部都是考查等差等 比数列的基本公式和性质等基础知识 , 考查考生 的运算能力 , 总体难度中等偏低 . 例 1 (安徽卷 12 题 )   数列 an 是等差数 列, 若 a1 + 1 , a3 + 3 , a5 + 5 构成公比为 q 的等比 数列 , 则q = . 评析   本题考查等差等比数列基本运算和 性质 . 从基本量计算的角度看 , 可以列方程求解 , 这是通法 , 有一定的运算量 ; 从性质的角度看 , 数 列 a1 , a3 , a5 成等差数列 , 数列 1 , 3, 5 也成等差数 列, 故 a1 + 1 , a3 + 3 , a5 + 5 仍然成等差数列 , 又 a1 a3 + 3 , a5 + 5 构成公比为 q 的等比数列 , 故q +1 , 此法无计算量 . 体现了 “ 多考想的 , 少考算 = 1 . 的”的命题理念 , 体现了思维的灵活性 . 例 2 ( 全 国 大 纲 卷 10 题 )   等 比 数 列 an 中 ,a4 = 2 , a5 = 5 , 则数列 {lg an } 的前 8 项 和等于 (     ) A . 6   B . 5   C . 4    D . 3

评析   本题考查等比数列性质和对数运算 ,

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中学数学教学

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但不同的角度 , 可以展现不同的思维能力层次 . 解法 1   求通项 , 再求和 . (解略 ) 数列 {lg an } 的前 8 项和 .

解法 2   利用性质求 an 的前 8 项积 , 再求
4 4

题等形式出现 , 重点考查学生对数列问题的基本 性质 、 基本公式的理解和掌握外 , 还因数列问题 本身的灵活性 、较复杂的运算要求 , 往往与其他 知识点交汇组合 , 成为高考试题的压轴综合题 . 例 4 (天津卷 第 19 题 )   已知 q 和 n 均为给 定 的 大 于 1 的 自 然 数 .设 集 合 M = 0, 1, 2 ,… , 集合 A = { x | x = x1 + x2 q + q -1 , … + xn q , xi ∈ Mi , i= 1 , 2 ,… , n} . ( Ⅰ )当 q = 2 ,n = 3 时 , 用列举法表示集合
n-1

成等差数列 ,

a1 a2 … a7 a8 = ( a4 a5 ) = 10 , 故 lg a1 + lg a2 + … + lg a7 + lg a8 = 4 . 解法 3   an 成等比数列 , 则数列 {lg an } 故 lg a1 + lg a2 + … + lg a7 + lg a8 = (lg a4 + lg a5 ) × 8 = 4. 2

A ;

填空选择题型一般均为考查学生的基本知 识、 基本方法 、基本能力 . 针对数列问题 , 需要理 解等差 、 等比数列的定义 , 熟练掌握通项公式 、 求 和公式的灵活运用 . 此部分试题应属于考生的基 本拿分题 , 力求准确 、 快捷 . 2. 2   基础解答题 今年理科试卷中有 9 个省份数列解答题放 置在解答题靠前位置 , 难度较低 . 有 8 个省份数 列试题第一问都是求数列的通项公式 , 其中已知 是等差等比数列用基本量法求解的占多数 , 其次 是用构造法求数列通项公式以及利用 an 和 S n 关 系求解的 ; 除求解通项公式外 , 有 7 个省份是求 数列前 n 项和 , 重点考查等差等比数列求和以及 用错位 相 减 法 ,裂 项 相 消 法 等 常 用 数 列 求 和 方法 . 例 3 (全国大纲卷第 18 题 )   等差数列 an 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 = 10 , a2 为整数 , 且 Sn ≤ S4 . (I )求 an 的通项公式 ; 和 Tn . (II )设 bn = 1 , 求数列 bn 的前 n 项 an an+ 1

t = b1 + b2 q + … + bn q , 其中 ai , bi ∈ M ,i = 1, 2 ,… , n .证明 : 若 an < bn , 则s < t . 评析   本题主要考查集合的含义和表示 , 等
n-1

( Ⅱ )设 s , t ∈ A ,s = a1 + a2 q + … + an q

n-1



比数列的前 n 项和公式 , 不等式的证明等基础知 识和基本方法 .考查运算能力 、分析问题和解决 问题的能力 . 例 5 ( 重 庆 卷 )   设 a1


an+ 1 = 1,



an - 2 an + 2 + b(n ∈ N ) (1)若 b = 1 , 求 a2 , a3 及数列 an 的通项 公式 ; (2)若 b = - 1 , 问: 是否存在实数 c 使得 a2 n


< c < a2 n+ 1 对所有 n ∈ N 结论 . an - 1




成立 ? 证 明 你 的

评析   ( Ⅰ ) 解 法 1   构 造 等 差 数 列 ;

解法 2   归纳猜想 an = n - 1 + 1 . 用数学 归纳法证明上式 . (Ⅱ ) (略 解 ) 解 法 1   设 f x = x -1


则 an+ 1 = f an + 1 -1 , , 即c= c -1


. 解 + 1 -1 ,

评析   本题考查了首项为正 , 公差为负数的 等差数列前 n 项和的最大问题 . 另外 , 本题还考 查了裂项相消法求数列前 n 项和 . 山东卷和浙江 卷也考查了该方法 . 此类试题需要考生在掌握数列知识点的基 本内容基础上 , 熟悉各种解题思路与方法 , 如裂 项相消法 、 错位相减法等 , 能熟练运用各类数学 方法解决数学问题 . 2. 3   数列综合题 高考数列试题除了以选择填空题 、基本解答

令c= f c 1 得c = . 4

下面用数学归纳法证明加强命题 :a2 n < c < a2 n+ 1 < 1 (证略 ) . 综上 , 符合条件的 c 存在 , 其中一个值为 c = 1 . 4 an+ 1 解法 2   设 f x = = f an x -1
倡 2

则 + 1 -1 , ① (略 )

先证   0 ≤ an ≤ 1 n ∈ N

2014 年第 5 期 再证   a2 n < a2 n+ 1 由 ② 得 a2 k < a 因此 a2 k < 1 . 4
2 2k

中学数学教学 n ∈ N


33

② (略 )

- 2 a2 k + 2 - 1 ,

又由 ① 、② 及 f x 在 - ? , 1 上为减函数 得 f a2 n > f a2 n+ 1 ,即 a2 n+ 1 > a2 n+ 2 , 所以 a2 n+ 1 > 解得 a2 n+ 1 > a2 n+ 1 - 2 a2 n+ 1 + 2 - 1 ,


1 . 4 1 使 a2 n < c < 4

(1)对数列通项公式的探求是高考考查数列 的一个主要命题点 , 可以考查考生的观察 、分析 、 归纳 、 猜想 、 推理论证能力 . 因而熟练求通项公式 的常用方法 : 如用方程思想利用基本量解决等比 等差数列通项公式 ; 构造等差等比数列进而求解 数列的通项公式 ; 归纳猜想求数列通项公式 ; 利 用前 n 项和公式求通项公式 ; 特别是由递推关系 确定通项公式 , 变化多 , 较灵活等 . (2)等差等比数列是数列中研究的重要内 容. 熟练掌握等差等比数列的定义 、 通项公式 、 求 和公式和性质 , 是解决数列综合问题的基础 , 许 多数列问题 , 都可以转化为等差等比数列来解 决, 如利用放缩法将一般数列转化为等差等比数 列问题进而证明不等式 . (3) 数列求和一般与不等式证明相结合 , 因 而需熟练求数列前 n 项和的方法 , 如对于等差等 比数列用公式法 ; 错位相减法 , 裂项相消法 , 分组 求和法 、 倒序相加等等 . (4) 从函数的角度理解数列是必要的 , 这样 就可以利用函数的思想与方法来处理数列问题 . 在数列不等关系的问题中 , 通过把数列问题转换 为函数问题 , 利用函数的工具 , 解决数列问题是 很常用的手段 . 但要注意函数的单调性与数列的 单调性还是有区别的 , 解题时要关注和体会它的 不同 . (5) 厘清知识间的交汇点 , 注重多个知识点 的综合题的训练与解题方法的积累 . 如数列与三 角函数结合 、 数列与集合结合 , 数列与导数结合 , 数列与解析几何结合 、数列与平面向量结合 、数 列与不等式结合等问题 . 特别是数列与函数 、不 等式结合问题 , 它综合了函数性质 、导数 、数列 、 不等式 、 数学归纳法等方面的知识与方法 , 对考 生综合运用知识分析问题 、解决问题的能力有较 高的要求 , 对高分学生有很好的区分度 , 因而以 数列为背景的不等式的证明问题以及以函数为 背景构造数列的问题 , 成了高考压轴题的宠儿 . (6)注意强化运算能力训练 . 从以上例题可以 看出数列题计算量相对较大 , 能不能熟练准确的 计算直接影响答题的速度和准确率 . 因此 , 在复习 时必须重视训练对数式运算能力的提高 .
(收稿日期 : 2014‐08‐01)

综上 , 由 ② ③ ④ 知存在 c =


a2 n+ 1 < 1 对一切 n ∈ N 成立 . 本题是重庆卷的压轴题 , 难度较大 . 无独有 偶, 安徽卷第 21 题也是有关数列的压轴题 . 不难 发现它们的相似之处 , 均以数列为载体 , 考查了 证明不等式的两种方法 : 数学归纳法 、利用导数 证明函数的单调性进而得到不等关系 . 可见数列 与不等式结合考查的题型我们需要多训练 . 2. 4   新概念型数列问题 例 6 (江苏卷 )   设数列 an 的前 n 项和为

Sn . 若对任意的正整数 n , 总存在正整数 m , 使得 Sn = am , 则称 an 是“ H 数列” . n (1)若数列 an 的前 n 项和 S n = 2 ( n ∈ 倡 N ) , 证明 : an 是“ H 数列” ; (2)设 an 是等差数列 , 其首项 a1 = 1 , 公 差d < 0 . 若 an 是“ H 数列” , 求 d 的值 ; (3)证明 : 对任意的等差数列 两个“ H 数列” bn 和 cn an , 总存在 , 使得 an = bn + cn (n

倡 ∈ N ) 成立 . 评析   本题“ H 数列’属于新概念型问题 , 题 目新颖 , 要求学生具备较好的自学探究能力 . 主

要考查数列的概念 、an 与 Sn 的关系 , 等差数列等 基础知识 , 以及学生的推理论证能力 . 3   对高三数列复习的建议 由以上的分析可以看出 , 对数列知 识的考 查, 基本是 “一小一大” . 小题注重数列的通项公 式, 等差等比数列的性质与基本量的求解 . 大题 以等差等比数列知识的综合运用为主 , 或结合其 它知识 (一般是函数 、 不等式 )与数学归纳法 , 考 查考生综合运用知识分析问题 、解决问题的能 力、 推理论证能力 . 具体到数列知识的复习备考 , 需要注意以下几点 :


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