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2.3平面向量的基本定理及坐标表示(三)


2.3平面向量的基本 定理及坐标表示

复习回顾 平面向量基本定理:
如果 e1 , e2 是同一平面内两个不 共线的向量,那么对这 一平面内任 ? 意一个向量a , 有且只有一对实数 ? ?1 , ? 2 , 使 a ? ?1 e1 ? ? 2 e2 .

复习回顾 平面向量基本定理: (1)我们把不共线向量 e1, e2

叫做表示 这一平面内所有向量的 一组 基底 .

复习回顾 平面向量基本定理: (1)我们把不共线向量 e1, e2 叫做表示 这一平面内所有向量的 一组 基底 .
(2)基底不惟一,关键是不共线;

复习回顾 平面向量基本定理: (1)我们把不共线向量 e1, e2 叫做表示 这一平面内所有向量的 一组 基底 .
(2)基底不惟一,关键是不共线;

(3)由定理可将任一向量 a在给出基底 e1、e2的条件下进行分解;

复习回顾 平面向量基本定理: (1)我们把不共线向量 e1, e2 叫做表示 这一平面内所有向量的 一组 基底 .
(2)基底不惟一,关键是不共线;

(3)由定理可将任一向量 a在给出基底 e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时, 分解形式惟一 , ?1、 ?2

是被a、e1、e2 惟一确定的数量 .

平面向量的坐标表示
在平面坐标系内,我们 分别取与x轴、 y轴方向相等的两个单位 向量i 、 j作为基底, y 任作一个向量 a,由平面 向量基本定理可知,有 且只有一对实数 x、y, a 使得a ? x i ? y j .
j

O i

x

平面向量的坐标表示
我们把( x , y )叫做向量a的(直角)坐标, 记作a ? ( x,y ).其中x叫做a在x轴上的坐 标,y叫做a在y轴上的坐标. y

特别地, i ? (1, 0), j ? (0, 1), 0 ? (0, 0).
j

a

O i

x

平面向量的坐标运算 ? ? a ? b ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ? ? a ? b ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ? ?a ? (?x , ?y )
两个向量和与差的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个 实数乘原来向量的相应坐标.

平面向量的坐标运算
若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ).
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 向量 AB 的坐标与以原点为始点、 点P为终点的向量的坐标是相同的.

思 考
1. 两个向量共线的条件是什么?
2. 如何用坐标表示两个共线向量?

推导过程:
? ? ? ? 设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 其中b ? a .

推导过程:
? ? ? ? 设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 其中b ? a . ? ? 由a ? ?b 得:( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 )

推导过程:
? ? ? ? 设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 其中b ? a . ? ? 由a ? ?b 得:( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 )
? x1 ? ?x 2 ?? , ? y1 ? ?y2

推导过程:
? ? ? ? 设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 其中b ? a . ? ? 由a ? ?b 得:( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 )
? x1 ? ?x 2 ?? , 消去?:x1 y2 ? x2 y1 ? 0. ? y1 ? ?y2

推导过程:
? ? ? ? 设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 其中b ? a . ? ? 由a ? ?b 得:( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 )
? x1 ? ?x 2 ?? , 消去?:x1 y2 ? x2 y1 ? 0. ? y1 ? ?y2

? ? ? ? a // b (b ? 0) 的充要条件是: x1 y2 ? x2 y1 ? 0

探究:
1. 消去?时能不能两式相除 ?
y1 y2 2. 能不能写成 ? ? x1 x2

3. 向量共线有哪两种形式 ?

探究:
1. 消去?时能不能两式相除 ?
y1 y2 2. 能不能写成 ? ? x1 x2
? ? 不能两式相除, ? y1 , y2 有可能为0, b ? 0, ? x2 , y2中至少有一个不为 0.

3. 向量共线有哪两种形式 ?

探究:
1. 消去?时能不能两式相除 ?
y1 y2 2. 能不能写成 ? ? x1 x2
? ? 不能两式相除, ? y1 , y2 有可能为0, b ? 0, ? x2 , y2中至少有一个不为 0.

不能, ? x1 , x2 有可能为0 .

3. 向量共线有哪两种形式 ?

探究:
1. 消去?时能不能两式相除 ?
y1 y2 2. 能不能写成 ? ? x1 x2
? a ? ?b
? ? 不能两式相除, ? y1 , y2 有可能为0, b ? 0, ? x2 , y2中至少有一个不为 0.

不能, ? x1 , x2 有可能为0 .

3. 向量共线有哪两种形式 ? ?
? ? ? ? ? a // b (b ? 0)

探究:
1. 消去?时能不能两式相除 ?
y1 y2 2. 能不能写成 ? ? x1 x2
? ? 不能两式相除, ? y1 , y2 有可能为0, b ? 0, ? x2 , y2中至少有一个不为 0.

不能, ? x1 , x2 有可能为0 .

3. 向量共线有哪两种形式 ? ?

? ? ? ? ? ? a ? ?b a // b (b ? 0) x1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

讲解范例
例1. 已知a ? (4, 2), b ? (6, y ), 且
a // b, 求y .

讲解范例
例2. 已知A(?1, ?1),B(1, 3),C(2, 5),
试判断A,B,C三点之间的位置关系.

讲解范例
例3. 设点P是线段P1P2上的一点,P1、 P2的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点 P的坐标; (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点 时,求点P的坐标.

讲解范例
例3. 设点P是线段P1P2上的一点,P1、 P2的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点 P的坐标; (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点 时,求点P的坐标. 思考.
?(1)中P1P:PP2=? ?(2)中P1P:PP2=?

若P1P:PP2=?如何求点P的坐标?

讲解范例
例4. 若向量a ? ( ?1, x )与b ? ( ? x , 2)

共线且方向相同 , 求x .

讲解范例
例5. 已知A( ?1, ?1), B(1, 3), C (1, 5),

D( 2, 7), 向量 AB与CD平行吗? 直线 AB平行于直线CD吗 ?

练习
教材P.101练习第4、5、6、7题.

课堂小结
1. 平面向量共线的坐标表示;

2. 平面上两点间的中点坐标公式及定点
坐标公式;

3. 向量共线的坐标表示.

课后作业
1. 阅读教材P.98到P.100;

2. 《全线突破》作业二十二.


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