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仁慧九章MO试题2014.11.23


中国仁慧书院·九章学塾

数学奥林匹克(Mathematical Olympiad)
2014 年 11 月 23 日,星期日

第 1 题. 已知锐角 ?ABC 中 ?B, ?C 内的旁心分别为 I 2 , I 3 , I 2 , I3 分别与直线 BC 切于点 X , Y , I 2 X 与 AC 的延长线交于点 N ,

/>I 3Y 与 AB 的延长线交于点 M , ?ABN 与 ?ACM 的外接圆的不同于 A 的交点为 D ,若 ?ABC 的外心为 O ,
证明 A, O, D 三点共线。 (李建泉 供题)

第 2 题. n×n×n 正方体被分别平行于其各表面的平面族分隔为 n3 个单位正方体。通过连结某些相邻(即具有公共面的)单位正
方体的中心,得到一条不自交的闭折线。被折线穿过的单位正方体的侧面称为 有洞的。 证明:可以将所有单位正方体的棱分别染为黑色或白色,使得在每个有洞的面上,都是两种颜色的棱各有奇数条,而每个没洞的面 上,都是两种颜色的棱各有偶数条。 附注:给棱染色时,每条长度为 1 的线段只染 1 次。 (苏 淳 供题)

第 3 题. 若平面上有 n 个点,任意三点不共线,任意两点之间连一条线段,并将每条线段染为红色与蓝色之一,称三边颜色相同的
三角形为同色三角形,记同色三角形的个数为 S 。

?1? 若 n ? 6 ,对于所有可能的染法,求 S 的最小值;
? 2 ? 若 n ? 2k ,其中正整数 k ? 4 ,对于所有可能的染法,求 S 的最小值。
(李建泉 供题)

Language: Chinese(Simplified)

时间:4 小时 30 分 每题 7 分

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