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2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺(11)


2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(11)
一试
1、使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是 2、已知 M ? {( x, y) | x2 ? 2 y 2 ? 3}, N ? {( x, y) | y ? mx ? b} 。若对所有

m ? R, 均有 M ? N ? ? ,则 b 的取值

范围是 3、设函数 f : R ? R, 满足f (0) ? 1 ,且对任意 x, y ? R, 都有 f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2 ,则 f ( x) =_____________________。 3 4、若复数 z1,z2 满足| z1|=2,| z2|=3, 3 z1 ? 2 z2 ? ? i ,则 z1·2= z . 2 x y z t t t 3 则 5 、 已 知 整 数 x, y , z , 满 足 x ? y ? z ? , 且 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 , 1 4 x? y? z? t ? .
6、甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对 2 1 方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 , 3 3 且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E? 为 7、记集合 T={0,1,2,3,4,5,6},M= {

a1 a 2 a3 a 4 ? ? ? | ai ? T , i ? 1,2,3,4} ,将 M 7 72 73 74

中的元素按从大到小的顺序排列,则第 2005 个数是 8、 将边长为 2 的正△ ABC 沿高 AD 折成直二面角 B ? AD ? C , 则三棱锥 B ? ADC 的外接 球的表面积是

1 2 x ? ln x. (1)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大、最 2 2 3 小值; (2)求证:在区间(1, ? ? )上,函数 f(x)的图象在函数 g ( x) ? x 图象的下方; 3 / n n n (3)设 g(x)=f (x),求证: [g(x)] ? g(x ) ? 2 ? 2 。
9、 (本题 16 分)已知函数 f ( x) ?

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y 10、 (本题 20 分)如图,抛物线 y 2 ? 2 x 及点 P ?1,1? ,过点 P 的 不重合的直线 l1 、l2 与此抛物线分别交于点 A ,B ,C ,D . 证 明: A , B , C , D 四点共圆的充要条件是直线 l1 与 l2 的倾斜 角互补. O D B C A P x

11、 (本题 20 分)数列{ a n } 满足: a0 ? 1, an?1 ?

, n ? N. 2 证明: (1)对任意 n ? N , am 为正整数; (2)对任意 n ? N , an an?1 ? 1 为完全平方数.

2 7an ? 45an ? 36

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2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(11)
(加试)
1、 (本题 40 分)如图,四边形 ABCD 为平行四边形,∠BAF=∠BCE.求证:∠EBA=∠ADE.

P

E A B 图2 G F D C

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2、 (本题 40 分)设 k 是实数, f ( x) ?

x 4 ? kx 2 ? 1 对任意三个实数 a,b,c 存在一个以 x4 ? x2 ? 1

f (a), f (b), f (b) 为三边长的三角形,求 k 的取值范围.

第4页

3 、 本 题 50 分 ) 已 知 f ( x) ? l g(x ? 1) ? (

M ? n f (n2 ? 214n ? 1998) ? 0 ,n ? Z ? 的子集个数.

?

1 l og3 x .(1) 解 方 程 f ( x) ? 0 ; (2) 求 集 合 2

第5页

4、 (本题 50 分)设 n 是正整数, a =[ n ] (其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数),求同时满
3 2 足下列条件的 n 的最大值:(1) n 不是完全平方数;(2) a n .

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2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(11)
参考答案 一试 1、解:令 y ?

x ? 3 ? 6 ? x ,3 ? x ? 6 ,则 y 2 ? ( x ? 3) ? (6 ? x) ? 2 ( x ? 3)(6 ? x)

? 2[(x ? 3) ? (6 ? x)] ? 6.? 0 ? y ? 6,?实数 k 的最大值为 6. 2 、 解 : M ? N ? ? 相 当 于 点 ( 0 , b ) 在 椭 圆 x2 ? 2 y 2 ? 3 上 或 它 的 内 部
? 2b 2 6 6 。 ? 1, ?? ?b? 3 2 2 3、解:?对?x, y ? R, 有f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2, ?有f ( xy ? 1) ? f ( y) f ( x) ? f ( x) ? y ? 2 ? f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2 = f ( y ) f ( x) ? f ( x) ? y ? 2 即 f ( x) ? y ? f ( y) ? x, 令y ? 0, 得f ( x) ? x ? 1 。 283 1 ? i 4、 48 4 5、解:答案:24.∵ 2 x ? 2 y ? 2 z ? 2t ? 2 x (1 ? 2 y ? x ? 2 z ? x ? 2t ? x ) ,括号内为奇数, y?x 1 ? 2 z ? x ? 2t ? x ? 656 ;由于 656 2 4 ? 41 ,可得 = 又1314= 2 ? 657,∴ x ? 1 且 2 z? y t?y y - x ? 4 且 2 ? 2 ? 40 ,∴ y ? 5 ;同理可得 z ? 8, t ? 10 .∴ x ? y ? z ? t =24.
6、[解法一] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6.

2 1 5 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 ( ) 2 ? ( ) 2 ? . 3 3 9 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对
下轮比赛是否停止没有影响.从而有
P(? ? 2) ? 5 , 9

P(? ? 4 ) ?

4 5 2 0 , ( ) (? ) 9 9 8 1

P (? ? 6 )?

4 2 ( 9

1 6 )? , 8 1

5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
[解法二] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ?

5 , 9

P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )
2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81

P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )
2 1 16 ? 4( ) 2 ( ) 2 ? , 3 3 81 5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
7、解:用 [a1a2 ?ak ] p 表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以 74,得
第7页

M ? ? {a1 ? 73 ? a2 ? 7 2 ? a3 ? 7 ? a4 | ai ? T , i ? 1,2,3,4} ? {[a1a2 a3 a4 ]7 | ai ? T , i ? 1,2,3,4} , M′中的最大数为[6666]7=[2400]10. 在十进制数中,从 2400 起从大到小顺序排列的第 2005 个数是 2400-2004=396,而
[396]10=[1104]7 将此数除以 74,便得 M 中的数 8、5π
A A A

1 1 0 4 ? 2 ? 3 ? 4. 7 7 7 7

D B D C B B1 O D E C B

C

法 1 找球心. 如图, 易证 AD⊥ 平面 B1DC, DB1=DC=1, 且∠ 1DC=90° 作 DB1EC 为正方形, B , 5 连 AE, 则 AE 的中点为 B-ADC 的外接球球心, 而 AE2= 12+12+( 3)2= 5, AE= 5, r= , 外 2 52 接球为表面积 4πr2= 4π( ) = 5π. 2 法 2. 构造长方体, 把三棱锥 B-ADC 放入长方体中, 则长方体的对角线为三棱锥 B-ADC 5 的外接球的直径. AD= 3, BD=DC=1, 对角线长为 5, ∴ r= , 外接球为表面积 4πr2= 2 52 4π( ) = 5π. 2 9、解: (1)由已知 f ' ( x) ? x ?

1 , 当 x ? [1, e]时, f ' ( x) ? 0, 所以函数 f(x)在区间[1,e]上 x

单 调 递 增 , 所 以 函 数 f(x) 在 区 间 [1 , e] 上 的 最 大 、 最 小 值 分 别 为 f(1) 、 f(e) , 因 为

1 1 e2 e2 f (1) ? , f (e) ? ? 1, 所以函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值为 ? 1 、最小值为 2 2 2 2 2 1 2 2 3 1 (1 ? x)(1 ? x ? 2 x ) 2 (2)设 F ( x) ? x ? 1nx ? x , 则F ' ( x) ? x ? ? 2 x ? 2 3 x x 因为 x>1,所以 F 解,F/(x)<0, 所以函数 F(x)在区间(1,+ ? )上单调递减,又 F(1) 1 1 2 2 3 = ? <0,所以,在区间(1,+ ? )上,F(x)<0, 即 x ? 1nx ? x , 2 3 6 2 3 所以函数 f(x)的图象在函数 g ( x) ? x 图象的下方。 3 1 n 1 n n n (3)当 n=1 时,不等式成立,当 n≥2 时, [ g ( x)] ? g ( x ) ? ( x ? ) ? ( x ? n ) x x 1 1 1 1 1 n ?1 2 n 1 2 n ? C n x n ? 2 2 ? ? ? C n ?1 x n ?1 = Cn x n?2 ? Cn x n?4 ? ? ? Cn ?1 n?2 = Cn x x x x x 1 1 n?2 1 1 1 2 n ? n ?2 ) ? C n ( x n ? 4 ? n ? 4 ) ? ? ? C n ?1 ( n ? 2 ? x n ? 2 )] = [C n ( x 2 x x x n n 1 2 n?1 n 由已知 x>0,所以 [ g ( x)] ? g ( x ) ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 ? 2
10、 解 设 l1 、 l2 的倾斜角分别为 ? 、 ? ,由题设知 ? 、 ? ? ? 0, ? ? . 易知直线 l1 的参数方程为

? x ? 1 ? t cos ? 2 2 ,代入抛物线方程可化得 t sin ? ? 2 ?sin ? ? cos ? ? t ?1 ? 0 . ? ? y ? 1 ? t sin ?

第8页

设 上 述 方 程 的 两 根 为

t1



t2

, 则

t1t2 ?

?1 . sin 2 ?

由 参 数

t

的 几 何 意 义 , 得

AP ? BP ?

1 . sin 2 ?

同理

CP ? DP ?

1 . sin 2 ?

若 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,则 AP ? BP ? CP ? DP ,即 sin 2 ? ? sin 2 ? .
因为 ? 、 ? ?

? 0, ? ? ,所以
?? ??

sin ? ? sin ? .又由 l1 、 l2 不重合,则 ? ? ? . 所以 ? ? ? ? ? .

反过来,若 ? 所以

,则因 ? 、 ? ?

? 0, ? ? ,故 sin ? ? sin ? ,且 ? ? 0 , ? ? 0 .

1 1 ? ,即 AP ? BP ? CP ? DP .故 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆. 2 sin ? sin 2 ?

2 11、 证明: (1) 由题设得 a1 ? 5, 且{ a n } 严格单调递增, 将条件式变形得 2a m?1 ? 7a m ? 45a m ? 36 ,

2 两边平方整理得 a n?2 ?7an an?1 ? an ? 9 ? 0 1



2 2 ② ? an ? 7an?1an ? an?1 ? 9 ? 0 ①-②得 (an?1 ? an )(an?1 ? an?1 ? 7an ) ? 0,? an?1 ? an ,?an?1 ? an?1 ? 7an ? 0 ? an?1 ? 7an ? an?1 . ③ 由③式及 a0 ? 1, a1 ? 5 可知,对任意 n ? N , am 为正整数

(2)将①两边配方,得 。 ④ a ? an 2 a ?a 记 f (n) ? an an ?1 ? ( n ?1 ) ,由f (n) ? f (n ? 1) ? (an an ?1 ? an ?1an ) ? [( n ?1 n ) 2 ? 3 3

(

a n ?1 ? a n 2 a ? a n ?1 ) ] ? n ?1 (a n ?1 ? a n ?1 ? 7a n ) ? 0, 从而 f (n) ? f (n ? 1) ? ? ? f (0) ? a0 a1 3 9 a ? a1 2 ?( 0 ) ? 1,? ④式成立. 3

? am am?1 ? 1 是完全平方数.
二试 1、如图,四边形 ABCD 为平行四边形,∠BAF=∠BCE.求证:∠EBA=∠ADE. 证明:如图,分别过点 A、B 作 ED、EC 的平行线,得交点 P,连 PE. 由 AB ∥ CD,易知△PBA≌△ECD.有 = PA=ED,PB=EC. 显然,四边形 PBCE、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE=∠BPE,∠APE=∠ADE. 由∠BAF=∠BCE,可知 ∠BAF=∠BPE. 有 P、B、A、E 四点共圆. 于是,∠EBA=∠APE. 所以,∠EBA=∠ADE. 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过 P、B、A、E 四点共圆,紧密联系 起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2、解:① f ( x) ? 0 恒成立

P

E

A

G

D

B

F

C

图2

x 4 ? kx 2 ? 1 ? 0

令t ? x

2

第9页

k ?k ? 0, ? 2 ?k ? 0, ? 0 ? ?2 ? k ? 0 min (k ? 1) x 2 f ( x) ? 1 ? 4 ② 最小值两倍>最大值 x ? x2 ? 1 k ?1 f ( x) ? 1
对称轴 t ? ?

k ?1 k ?1

fm i n x )? 1 (

k?2 x 4 ? x 2 ?1 ?3 x 2 ? mf a x ( x) ? 故1<k<4 , 3 k?2 1 f m a x x) ? 1? f m i n x )? ( ( 故, ? k? 1 3 2

结论: (- , 4) 3、(1)解:任取 0 ? x1 ? x2 ,则

1 2

x ?1 1 x 1 - log3 1 f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? lg( x1 ? 1) ? lg( x2 ? 1) - (log 3 x1 ? log 3 x 2 ) = lg 1 2 x2 ? 1 2 x2 x ?1 x = lg 1 - log9 1 . x2 ? 1 x2 x ? 1 x1 x ?1 x ∵ 1 ,∴ lg 1 ? ? lg 1 . x2 ? 1 x2 x2 ? 1 x2 x lg 1 x ?1 x x x2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? lg 1 - log9 1 = lg 1 ? x2 ? 1 x2 x2 lg 9 x x ∵ 0 ? lg 9 ? 1 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? lg 1 - lg 1 =0 x2 x2 ∴ f (x) 为 (0,??) 上的减函数, 注意到 f (9) ? 0 ,∴当 x ? 9 时, f ( x) ? f (9) ? 0 ,当 0 ? x ? 9 时, f ( x) ? f (9) ? 0 , ∴ f ( x) ? 0 有且仅有一个根 x ? 9 .
(2)由 f (n ? 214n ? 1998 ? 0 ? f (n ? 214n ? 1998 ? f (9) ) )
2 2

? 2 ? 2 ?n ? 214n ? 1998? 9 ?n ? 214n ? 2007 ? 0 ∴? 2 ?? 2 ?n ? 214n ? 1998 ? 0 ?n ? 214n ? 1998 ? 0 ? ? ?(n ? 223)(n ? 9) ? 0 ?? 2 2 2 ?(n ? 107) ? 1998? 107 ? 13447? 115 ?? 9 ? n ? 223 ?? 9 ? n ? 223 ?? ?? ?n ? 222或n ? ?8 ?n ? 223或n ? ?9 } ∴ n ? 223 或 n ? ?9 ,∴ M ? {?9,223 , M 的子集的个数是 4.
4、解: 由(1)得 令

a < n < a +1 所以 a 2 <n< a 2 +2 a +1 即 a 2 +1≤n≤ a 2 +2 a 2 n= a +t t∈{1,2,…,2 a }
a 3 a 4 ? 2a 2t ? t 2 ? a 2 t 2 ?at

由(2)有

第 10 页

再由 记

a 3 a 4 ? 2a 2t ? t 2

? a3 t 2

t 2 ? ka3 则 t ? a ka ? 由于 t , a , n ∈N ,所以 ka ∈N ?
由于 t∈{1,2,…,2 a }, 所以 t ? a ka ≤2 a 所以 即

ka ≤2

ka ? 4 a?4 由于 n= a +t, 且 a ? 4 , t ≤2 a , 2 所以 令 a ? 4 t =2 a =8, 则 n= a +t=16+8=24 为最大.

ka =1 或 2,
2

经验证 n=24 满足(1),(2)两个条件,所以 n 的最大值 24.

数 列 {an } 中 , 已 知 a1 ? 2 , 且 对 一 切 正 整 数 n 都 有 an?1 ? a 1 2 an ? 1 , 求 证 : a?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 对一切正整数成立。 ? n a1 a2 a2 a 2 4 8 2 n 数列 {an } 满足 a1 ? 2 ,那么下面 3 个条件相互等价
① an?1 ? an 2 ? an ? 1 ② an?1 ? an an?1 ?a2 a1 ? 1 ③

1 1 1 1 ? ??? ? ? 1 ,用数学归纳法易证 a1 a2 an a1a2 ? an

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