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天津市第一中学2015届高三5月月考数学(文)试卷


天津一中 2014-2015 学年高三年级五月考数学(文科)试 卷
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题所给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 3?i 1 .已知 i 是虚数单位,则 = ( ) 1? i
A . 1 ? 2i B. 2 ? i C. 2 ? i D . 1 ? 2i )

? x ? y ? 1 ? 0, ? 2 .已知 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 3 ? 0, ?
A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

3.下列有关命题的叙述, ①若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题; ②“ x ? 5 ”是“ x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ”的充分不必要条件; ③命题 p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ; ④命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 1 或 x ? 2 ,则

x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”. 其中错误的个数为(
A.1
4 .设 a
3 2 ?

) C.3 ) D .4

B .2
4 3

? log 2 3, b ? 2 , c ? 3 ,则(
B. c ? a ? b D. a ? c ? b

A. b ? a ? c C. c ? b ? a

5 .已知实数 x ?

?1,9? ,执行如右图所示的流程图,则


输出的 x 不小于 55 的概率为(

5 8 2 C. 3
A.

3 8 1 D. 3
B.

6 .己知等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,其前 n 项和为 S n ,若直线 y

? a1 x 与圆

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 的两个交点关于直线 x ? y ? d ? 0 对称,则 S n ? (



A. n

2

B. ? n

2

C. 2n ? n

2

D. n ? 2n
2

7 .将函数

?? ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位,再将图像上每一点横坐标 4? ?
1 ? 倍,所得图像关于直线 x ? 对称,则 ? 的最小正值为( 2 4 3? 3? ? B. C. D. 8 4 2
→ → → → )

缩短到原来的 A.

?
8

8 .在边长为 1 的正三角形 ABC 中,BD=xBA,CE =yCA ,x>0,y>0,且 x+y=1,则CD· BE

→ →

的最大值为( A.- 5 8

) B.- 3 4 C.- 3 2 D.- 3 8

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,将答案填在题中横线上) 11 9 .已知集合 A ? { x ? R || x ? 55 |? } ,则集合 A 中的最大整数为 2
10 .一个几何体的三视图如图所示,其侧视图为正三角形,则这个几何体的体积为

x2 y 2 2 11 .如果双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x ? 2 相切,则双曲线的离 a b
心率为__________
12 . 已知函数

则 f ( x) ?| lg x | ,a ? b ? 0 , f (a ) ? f (b) ,

a 2 ? b2 a ?b

的最小值等于___________
13 .如图, PA 为⊙ O 的切线, A 为切点,直线 PBC 是过圆心 O

的割线, PA ? 10, PB ? 5 , ?BAC 的平分线与 BC 和⊙ O 分别 交于点 D 和 E ,则 AD ? AE ?

14 .已知 m ? R ,函数

?| 2 x ? 1|, x ? 1, f ( x) ? ? g ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 2m ? 1 , log ( x ? 1), x ? 1, ? 2

若函数

y ? f ( g ( x)) ? m 有 6 个零点,则实数 m 的取值范围是_________________

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)
15. (本小题满分 13 分) 某市为创建文明城市,面向全市征召义务志愿者,现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名 按年龄分组; 第 1 组 ?20,25? , 第 2 组 ?25,30 ? , 第 3 组 ?30,35? , 第 4 组 ?35,40 ? , 第 5 组 ?40,45? , 得到频率分布直方图如图所示 (Ⅰ) 若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参与广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽 取多少志愿者? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,该

市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣 传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率. 16. (本小题满分 13 分)

在△ABC 中,A,C 为锐角,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且 cos 2 A= , sin C = (II)若 a -c =

3 5

10 10

(I)求 cos (A+C ) 的值

2 -1 ,求 a,b,c 的值

(III)已知 tan (? +A+C )=2 , 求
17 . (本小题满分 13 分)

1 的值 2 sin ? cos ? + cos 2 ?

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面

ABCD, AB ? AD, AC ? CD, ?ABC ? 60?, PA ? AB ? BC , E 是
PC 的中点.
(I)证明: CD ? AE (II)证明: PD ? 平面 ABE

(III)求二面角 A ? PD ? C 的正弦值的大小 18. (本小题满分 13 分)

已知椭圆 C :

x2 y2 3 ,且经过点 A(0,?1) ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b
3 5

(I)求椭圆的方程 (II)如果过点 (0, ) 的直线与椭圆交于 M , N 两点( M , N 点与 A 点不重合) , (i)求 AM ? AN 的值; 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ( x ? 1) 2 ? ln x ? 1 . (I)当 a ? ? (ii)当 ?AMN 为等腰直角三角形时,求直线 MN 的方程.

1 时,求函数 f ( x) 的极值 4

(II)若函数 f ( x) 在区间 [2, 4] 上是减函数,求

实数 a 的取值范围

(III)当 x ? [1, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ?

? x ?1 所 ?y ? x ? 0

表示的平面区域内,求实数 a 的取值范围 20. (本小题满分 14 分) 在无穷数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对于任意 n ? N* ,都有 an ? N* , an ? an ?1 . 设 m ? N* , 记使 得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm . (Ⅰ)设数列 {an } 为 1,3,5,7, ,写出 b1 , b2 ,

b3 的值;
(Ⅱ)若 {an } 为等比数列,且 a2 ? 2 ,求 b1 ? b2 ? b3 ? (Ⅲ)若 {bn } 为等差数列,求出所有可能的数列 {an }

? b50 的值;

五月考数学(文科)答案
一、选择题 1.已知 i 是虚数单位,则 A . 1 ? 2i

3?i = ( 1? i

) C. 2 ? i D . 1 ? 2i

B. 2 ? i

? x ? y ? 1 ? 0, ? 2.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为]( ?3 x ? y ? 3 ? 0, ?
A. 1 B. 2 C. 3

)

D. 4 http:/

Co m] .

3.下列有关命题的叙述, ①若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题; ②“ x ? 5 ”是“ x ? 4 x ? 5 ? 0 ”的充分不必要条件;
2

③命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ;
2 2

④命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 1 或 x ? 2 ,则
2

x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”. 其中错误的个数为(
A.1 B .2

) C.3 D .4

4.设 a ? log 2 3, b ? 2 , c ? 3 A. b ? a ? c 【答案】B 【解析】

3 2

?

4 3

,则(

) C. c ? b ? a D. a ? c ? b

B. c ? a ? b

试题分析:因为 2 ? a ? log 2 3 ? 1 , b ? 2 ? 2 , c ? 3 考点:利用函数值比较大小.

3 2

?

4 3

? 1 ,所以 c ? a ? b .

5.已知实数 x ? ?1,9? ,执行如右图所示的流程图,则输出的 x 不小于 55 的概率为( A.



5 8

B.

3 8

C.

2 3

D.

1 3

6.己知等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,其前 n 项和为 S n ,若直线 y ? a1 x 与圆

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 的两个交点关于直线 x ? y ? d ? 0 对称,则 S n ? (
A. n
2


2

B. ? n

2

C. 2n ? n

2

D. n ? 2n

7. 将函数 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位,再将图像上每一点横坐标 4?


缩短到原来的 A.

?
8

1 ? 倍,所得图像关于直线 x ? 对称,则 ? 的最小正值为( 2 4 3? 3? ? B. C. D. 8 4 2

【答案】B 解 : 函 数 f ( x) ? 2 sin? 2 x ?

? ?

?? ? 的 图 像 向 右 平 移 ? (? ? 0) 个 单 位 得 到
4?

y ? 2 sin[2(x ? ? ) ?

?
4

] ? 2 sin(2x ?

?
4

?2 ? ),再将图像上每一点横坐标缩短到原来的

1 ? ? ? 倍 得 到 y ? 2sin(4 x ? ? 2? ) , 此 时 关 于 直 线 x ? 对,即当 x ? 时, 2 4 4 4 ? ? ? ? 3? , 所 以 , 4 x ? ? 2? ? 4 ? ? ? 2? ? ? k? , k ? Z 2? ? ? k? 4 4 4 2 4 3? k? 3? ,选 B. ?? ? , k ? Z ,所以当 k ? 0 时, ? 的最小正值为 ? ? 8 2 8
→ → → → → → 8.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,BD=xBA,CE =yCA ,x>0,y>0,且 x+y=1,则CD· BE 的最大值为( A.- 5 8 ) B.- 3 4 3 C.- 2 3 D.- 8

二、填空题 9.已知集合 A ? { x ? R || x ? 55 |? 【答案】60

11 } ,则集合 A 中的最大整数为 2

10.一个几何体的三视图如图所示,其侧视图为正三角形,则这个几何体的体积为

【答案】

(8 ? ? ) 3 6

11.如果双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 2 相切,则双曲线的离 a 2 b2

心率为__________

12. 已知函数 f ( x) ?| lg x | , a ? b ? 0 , f (a ) ? f (b) , 则

a 2 ? b2 的最小值等于___________ a ?b

【答案】 2 2 【解析】? f ( x) ? lg x ? ?

?lg x, x ? 1 , a ? b ? 0, f (a ) ? f (b) ,? a ? 1, ab ? 1 ; ?? lg x,0 ? x ? 1

a 2 ? b 2 (a ? b) 2 ? 2ab 2 ? ? ( a ? b) ? ? 2 2 (当且仅当 a ? b ? 2 时求等号). 则 a?b a?b a?b
考点:基本不等式.

13. 如图,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PBC 是过圆心 O 的割线,PA ? 10, PB ? 5 , ?BAC 的平分线与 BC 和⊙O 分别交于点 D 和 E ,则 AD ? AE ?

【答案】90 14.已知 m ? R ,函数 若函数

?| 2 x ? 1|, x ? 1, f ( x) ? ? g ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 2m ? 1 , ?log 2 ( x ? 1), x ? 1,

y ? f ( g ( x)) ? m 有 6 个零点,则实数 m 的取值范围是_________________

3 【答案】 (0, ) 5

【解析】 试题分析:

3

函数 f ? x ? ? ?

? ? 2x ?1 x ? 1 的图象如图所示,令 g ? x ? ? t , y ? f ?t ? 与 y ? m 的图象最多 ? ?log 2 ? x ? 1? x ? 1

有 3 个零点,当有 3 个零点,则 0 ? m ? 3 ,从左到右交点的横坐标依次 t1 ? t 2 ? t3 ,由于函 数有 6 个零点, t ? x ? 2 x ? 2m ? 1 ,则每一个 t 的值对应 2 个 x 的值,则 t 的值不能为最小
2

值, 对称轴 x ? 1 , 则最小值 1 ? 2 ? 2m ? 1 ? 2m ? 2 , 由图可知,2t1 ? 1 ? ? m , 则 t1 ?

? m ?1 , 2

由于 t1 是交点横坐标中最小的,满足 ? 三、解答题

? m ?1 3 ? 2m ? 2 ① 0 ? m ? 3 ②联立得 0 ? m ? 2 5

15.某市为创建文明城市,面向全市征召义务志愿者,现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组; 第 1 组 ?20,25? , 第 2 组 ?25,30 ? , 第 3 组 ?30,35? , 第 4 组 ?35,40 ? , 第 5 组 ?40,45? , 得到频率分布直方图如图所示



(Ⅰ) 若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参与广场的宣传活动, 应从第 3,4,5 组各抽取多少志愿者? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

16. 在△ABC 中, A, C 为锐角, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c, 且 cos 2 A= , sin C = (I)求 cos (A+C ) 的值 (II)若 a -c =

3 5

10 10

2 -1 ,求 a,b,c 的值
1 的值 2 sin ? cos ? + cos 2 ?

(III)已知 tan (? +A+C )=2 ,求

17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面

ABCD, AB ? AD, AC ? CD, ?ABC ? 60?, PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点.
(I)证明: CD ? AE (II)证明: PD ? 平面 ABE (III)求二面角 A ? PD ? C 的正弦值的大小

(III)解法一:过点 A 作 AM ? PD, 垂足为 M , 连结 EM .由(II)知, AE ? 平面 PCD, AM 在 平面 PCD 内的射影是 EM , 则 EM ? PD .

18. 已知椭圆 C :

x2 y2 3 ,且经过点 A(0,?1) ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b
3 5

(I)求椭圆的方程 (II)如果过点 (0, ) 的直线与椭圆交于 M , N 两点( M , N 点与 A 点不重合) , (i)求 AM ? AN 的值; 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1) 由椭圆所过点 A 可求得 b 值,由离心率及 a2 =b2 +c2 可求得 a 值,从而得椭圆方 程; (ii)当 ?AMN 为等腰直角三角形时,求直线 MN 的方程.

x2 3 ? y 2 ? 1 ; (2) y ? 或 5 x ? 5 y ? 3 ? 0 或 5 x ? 5 y ? 3 ? 0 . 4 5

综上所述:直线 MN 的方程为 y ?

3 或 5x ? 5 y ? 3 ? 0 或 5x ? 5 y ? 3 ? 0 . 5

考点:1.直线与圆锥曲线的关系;2.平面向量数量积的运算;3.椭圆的标准方程.

19.已知函数 f ( x) ? a ( x ? 1) ? ln x ? 1 .
2

(I)当 a ? ?

1 时,求函数 f ( x) 的极值 4

(II)若函数 f ( x) 在区间 [2, 4] 上是减函数,求实数 a 的取值范围 (III)当 x ? [1, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ? 实数 a 的取值范围

? x ?1 所表示的平面区域内,求 ?y ? x ? 0

1 1 1 1 1 (2 ? x ? 4) ,则当 2 ? x ? 4 时, ? [? , ? ] , ? 2 ?x ? x 2 12 ? x ? x ?( x ? 1 ) 2 ? 1 2 4 1 1 1 ∴ 2a ? ? ,即 a ? ? ,故实数 a 的取值范围是 ( ??, ? ] . 8 分 2 4 4

2

* 20. 在无穷数列 {an } 中,a1 ? 1 , 对于任意 n ? N , 都有 an ? N ,an ? an ?1 . 设 m ? N , 记
* *

使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm . (Ⅰ)设数列 {an } 为 1,3,5,7, ,写出 b1 , b2 , b3 的值;

(Ⅱ)若 {an } 为等比数列,且 a2 ? 2 ,求 b1 ? b2 ? b3 ? (Ⅲ)若 {bn } 为等差数列,求出所有可能的数列 {an } .

? b50 的值;


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