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第4课时—数列求和

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一.课题:数列求和 二.教学目标:1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式; 2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.熟记一些常用的数列的和的公式. 三.教学重点:特殊数列求和的方法. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.等差数列与等比数列的求和公式的应用; 2.倒序相加、错位相减,分组求和、拆项求和等求和方法; (二)主要方法: 1.求数列的

和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例 1.求下列数列的前 n 项和 S n : (1)5,55,555,5555,…, (1 0 ? 1) ,…; (2)
n

5

1

9

1? 3 2 ? 4 3 ? 5
2 3

,

1

,

1

,? ,
n

1 n(n ? 2)

,? ;

(3) a n ?

1 n ?
2 ?

n ?1
2

; ;

(4) a , 2 a , 3 a , ? , n a , ? ; ( 6 )

( 5 ) 1 ? 3, 2 ? 4, 3 ? 5, ? , n ( n ? 2 ), ?
sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? sin 8 9 .
2 2 ? ? ?

n个 n个 ??? ??? 5 解: (1) S n ? 5 ? 5 5 ? 5 5 5 ? ? ? 5 5 ? 5 ? (9 ? 9 9 ? 9 9 9 ? ? ? 9 9 ? 9 ) 9

?

5 9

[(1 0 ? 1) ? (1 0 ? 1) ? (1 0 ? 1) ? ? ? (1 0 ? 1)]
2 3 n

?

5 9

[1 0 ? 1 0 ? 1 0 ? ? ? 1 0 ? n ] ?
2 3 n

50 81

(1 0 ? 1) ?
n

5 9

n.

(2)∵ ∴ Sn ?

1 n(n ? 2)
1 2 [(1 ? 1 3

?

1 1 1 ( ? ), 2 n n?2
1 2 ? 1 4 )?( 1 3 ? 1 5 )?? ? ( 1 n ? 1 n?2 )] ? 1 2 (1 ? 1 2 ? 1 n ?1 ? 1 n?2 ).

)?(

(3)∵ a n ? ∴Sn ?
1 2 ?

1 n ? n ?1

?

n ?1 ? ( n ?

n n)

n ? 1 )( n ? 1 ?

?

n ?1 ?

n

? 1

1 3? 2

?? ?

1 n ?1 ? n

? ( 2 ? 1) ? ( 3 ?
2 3

2) ?? ? ( n ?1 ?
n

n) ?

n ?1 ?1.

(4) S n ? a ? 2 a ? 3 a ? ? ? n a , 当 a ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ?
2 3

n ( n ? 1) 2
n



当 a ? 1 时, S n ? a ? 2 a ? 3 a ? … ? n a



第三章 数列——第4课时:数列求和

aS n ? a ? 2 a ? 3a ? … ? na
2 3 4 2 3

n ?1


n ?1

两式相减得 (1 ? a ) S n ? a ? a ? a ? … ? a ? n a
n

?

a (1 ? a )
n

1? a

? na

n ?1



∴Sn ?

na

n?2

? ( n ? 1) a (1 ? a )
2

n ?1

?a

2



(5)∵ n ( n ? 2 ) ? n ? 2 n , ∴ 原式 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n ) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n ) ?
2 2 2 2

n ( n ? 1)( 2 n ? 7 ) 6



(6)设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? sin 8 9 ,
2 2 2 2

?

?

?

?

又∵ S ? sin 8 9 ? sin 8 8 ? sin 8 7 ? ? ? ? sin 1 ,
2 2 2 2

?

?

?

?

∴ 2 S ? 89 , S ?

89 2


?6n ? 5 ?2
n

例 2.已知数列 { a n } 的通项 a n ? ?

( n为 奇 数 ) (n为 偶 数 )

,求其前 n 项和 S n .

解:奇数项组成以 a 1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列, 偶数项组成以 a 2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列; 当 n 为奇数时,奇数项有
n ?1 (1 ? 6 n ? 5 ) ? 2

n ?1 2

项,偶数项有
n ?1

n ?1 2

项,
n ?1

∴Sn ?

2

4 (1 ? 4 1? 4

2

)

?
n

( n ? 1)(3 n ? 2 ) 2

?

4(2

? 1)



3

当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有
n (1 ? 6 n ? 5 ) ? 2
n

项,
4 ( 2 ? 1)
n

2

∴Sn ? 2

4 (1 ? 4 2 ) 1? 4

?
n ?1

n (3 n ? 2 ) 2

?



3

? ( n ? 1)(3 n ? 2 ) 4 ( 2 ? 1) ? ? ? 2 3 所以, S n ? ? n ? n (3 n ? 2 ) ? 4 ( 2 ? 1) ? 2 3 ?
n

( n为 奇 数 )


( n为 偶 数 )

例 3.数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? 2 ? p ( p ? R ) ,数列 { b n } 满足 b n ? lo g 2 a n ,若 { a n } 是等比数 列, (1)求 p 的值及通项 a n ; (2)求和 T n ? ( b1 ) ? ( b 2 ) ? ( b 3 ) … ? ( ? 1)
2 2 2 n ?1

(bn ) ( n ? N ) .
2 *

(四)巩固练习:设数列 1, (1 ? 2 ), ? , (1 ? 2 ? ? ? 2
( A) 2
n
n ?1

n ?1

), ? 的前 n 项和为 S n ,则 S n 等于(



(B) 2 ? n
n

(C ) 2

n ?1

?n

(D ) 2

?n?2

五.课后作业: 《优化设计》基础过关题 第三章 数列——第4课时:数列求和

六.教学反思: 1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式 2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算;以示例的方法让 学生理解和掌握.最好有结合相应练习. 3.强调观察能力与所学知识联系在一起进行分析.

第三章 数列——第4课时:数列求和


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