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1.5.3.1定积分的概念

时间:2017-03-21


1.5.3 定积分的概念

求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: ? a, x1 ?,? x1, x2 ?,?? xi-1, xi ?,?, ? xn-1, b?,
b-a

(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成

每个小区间宽度⊿x = n (2)取近似求和:任取xi?[xi-1, xi],第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为Dx的小矩形面积
i

f(xi)Dx近似之。

y =f ( x)
n

取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值: S?
n

? f (x )Dx
i =1 i

(3)取极限:,所求曲边梯形的 面积S为

S = lim ? f (xi )Dx
n?? i =1

O

a

xi xi xi+1 b Dx 第一章 常用逻辑用语

?

x

?一、定积分的定义

从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步 曲”:
n n 分割---近似代替---求和------取极限得到解决 b-a . 小矩形面积和S=? f (xi )Dx = ? f (xi ) ? n i =1 i =1

如果当n?∞时,S 的无限接近某个常数,

这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分, n b b 记作 lim ? f (x i)?Dx f (x)dx,即 f (x)dx =

?a
b

?a

? ?0

即?

a

b-a f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) n?? n i =1
n

i =1

第一章

常用逻辑用语

b-a 即? f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) 定积分的定义: a n?? n i =1 定积分的相关名称: y = f ( x ) ? ———叫做积分号, y f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积表达式, x ———叫做积分变量, x b a O a ———叫做积分下限, b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。
b n

第一章

常用逻辑用语

即? 定积分的定义:

b

a

b-a f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) n?? n i =1
n

按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ,直线x=a、x=b及x轴 所围成的曲边梯形的面积为

S= ? f (x)dx;
a

b

(2) 设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间 v = v(t ) [a, b]内运动的距离s为 v

s= ? v(t)dt。
a

b

O

a

第一章

常用逻辑用语

b

t

根据定积分的定义右边图形的面积为 1 1 1 2 S = ? f ( x)dx = ? x dx = 0 0 3
v
2

y

f(x)=x2
S= 1 3
1

g gg

D S1 DS2 D S3 DS4

g

v(t ) = - t 2 + 2
D Sj

O
n

x

gD S

g

根据定积分的定义左边图形的面积为 1 1 5 2 S = ? v(t )dt = ? (-t ? 2)dt = 0 0 3
t
第一章 常用逻辑用语

O

1 1 2 3 j n - 1

n n n n

n

注:
1.

? f ( x)dx 与 ?
?
b a
n

b

a

f ( x)dx 的差别
是函数

? f ( x)dx 是 f ( x) 的全体原函数
f ( x)dx是一个和式的极限
i =1 i

是一个确定的常数

2 .当

? f (x )Dx 的极限存在时,其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关,而与区间 ?a, b? 的分法及 x

i

点的取法无关。 3.定积分的值与积分变量用什么字母表示无关,即有

?

b

a

f ( x)dx = ? f (t )dt = ? f (u)du
a a
a b

b

b

b a 4.规定: ? f ( x)dx = -? f ( x)dx

?

a

a

第一章

f ( x)dx = 0

常用逻辑用语

(2)定积分的几何意义:

当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y= f ( x)

b

?a f (x)dx = ?a f (x)dx? ?c
O a
b a

b

c

b

f (x)dx。

b x

特别地,当 a=b 时,有? f (x)dx=0。
第一章 常用逻辑用语

定积分的几何意义:
当f(x)?0时,由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方,

积分 ? f (x)dx 在几何上表示
a

b

y

y=-f (x)
b

上述曲边梯形面积的负值。
S = ? [- f ( x)]dx
a b

S = ? [- f ( x)]dx
a

=b

?a

b

f ( x)dx . ,
c b

O a
b c

b x
= ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx =a c
b

f (x

= ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx =a c

f (x)dx。

y=f ( x)
第一章 常用逻辑用语

探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中 阴影部分的面积?
y y=f ( x)

S = S1 - S2 = ? f ( x)dx - ? g ( x)dx
a a

b

b

x) S1 = y )dx (x ? = fg(
S2 = ? g ( x)dx
a
a

b

b

O

a a

b x
第一章 常用逻辑用语

三:

定积分的基本性质

性质1.

?

b

a

kf ( x )dx = k ? f ( x )dx
a

b

性质2.

?

b

a

[ f ( x ) ? g( x )]dx = ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
a a

b

b

第一章

常用逻辑用语

三:

定积分的基本性质

性质3.

定积分关于积分区间具有可加性
b a

?

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

b

y

y =f ( x)

O

a
c1 a



b x
b c2 常用逻辑用语

?

b

a

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
c1

c2

第一章

性质 3 不论a,b,c的相对位置如何都有

?a f (x)dx = ?a f (x)dx? ?c
y y=f ( x)

b

c

b

f (x)dx。

f )( dx x)dx = ?= f (x f )( dx x)? dx f (x ?)f dx (x f= )( dx x dx f (。 x)dx? ? ?a f?a(x ? ?a)。 a ? a a ? c ? c c

b

b

c

c

b

b

b

c

b

f (x)dx。

O

a

c

b

x

第一章

常用逻辑用语

例 1 利用定积分定义,计算 (3x+2)dx 的值.
1

?2 ? ? ?

[解] 令 f(x)=3x+2. (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n-1 个分点,把区间[1,2] n+i-1 n+i 等分成 n 个小区间[ , ](i=1,2,?,n)每个小区 n n 间的长度为 n+i n+i-1 1 Δx= - = n n n
第一章 常用逻辑用语

第一章

常用逻辑用语

例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1 f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x
2

-1 0

2 x









(1)在图①中,被积函数 f ( x) = x 在[0,a] 解: 上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面 积为 A = a x 2 dx
第一章 常用逻辑用语

?

0

y

f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x






2



(2)在图②中,被积函数 f ( x) = x 在[-1 , 2] 解: 上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面 积为 A = 2 x 2 dx
第一章 常用逻辑用语

?

-1

y

f(x)=x2

y

f(x)=x2

y
f(x)=1

y

f(x)=(x-1)2-1

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x









(3)在图③中,被积函数 f ( x) = 1在[a,b] 解: 上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面 积为 A =
第一章 常用逻辑用语

?

b a

dx

y

f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x









解: (4)在图④中,被积函数 f ( x) = ( x - 1) 2 - 1在[-1 , 2]
上连续,且在 [-1 , 0]上f ( x) ? 0, 在[0, 2]上f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意义 可得阴影部分的面积为

A = ? [( x - 1) - 1]dx - ? [( x - 1) - 1]dx
0 -1 2 2 0 第一章 2

常用逻辑用语

例3:

利用定积分的几何意义 说明等式?

?
2 -

?
2

sin xdx = 0
y f(x)=sinx

成立。
解: 在右图中,被积函数 f ( x) = sin x
在[-

? ?

, ]上连续,且在 [- , 0]上 2 2 2

?

-

?
2

1

sin x ? 0, 在[0, ]上sin x ? 0,并有 2 ? A1 = A2 , 所以

?

A1 -1

A2

? 2

x

?

2

-

?
2

f ( x)dx = A2 - A1 = 0
第一章 常用逻辑用语

例4 计算积分

?

1

0

1 - x dx
2

解:由定积分的几何意 义知,该积分值等于
曲线y = 1 - x 2 , x轴,x = 0及x = 1所围 的面积(见下图)

面积值为圆的面积的

1 4

y

所以?

1

0

1 - x dx =
2

?
4
第一章

1

x

常用逻辑用语

2π 4.∫0 cosxdx=________.

0

π 解析:如下图所示,∫2 0 cosxdx=B1-B2+B3=0.

答案:0

第一章

常用逻辑用语

b ?b 5.已知? ? [f(x)+g(x)]dx=12,? g(x)dx=6, ? ?
?

a

?

a

b 求? ? 3f(x)dx. ?
?a

b ?b ?b ?b 解:∵? ? f(x)dx+ ? g(x)dx= ? [f(x)+g(x)]dx,∴? f(x)dx = ? ? ? ?
?a ?a ?a ?a

12-6=6.
b ?b ∴? ? 3f(x)dx=3? f(x)dx=3×6=18. ? ?
?

a

?

a

第一章

常用逻辑用语


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