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2012高考数学总复习 第3章§3.2等差数列精品课件 大纲人教版


§3.2

等差数列

双基研习·面对高考 3.2 等 差 数 列 考点探究·挑战高考 考向瞭望·把脉高考

双基研习·面对高考

基础梳理 1.等差数列的定义 如果一个数列从_______起,每一项与它的 第二项 同一个常数 前一项的差等于__________,那么这个数列 叫做等差数列,这个常

数叫做等差数列的 公差 _____,通常用字母d表示. 2.等差数列的基本公式 (1)通项公式:数列{an}是等差数列,公差为 (n-1)d d,an=a1+_______,特别地,an=am+(n -m)d.

(2)求和公式:若数列{an}是等差数列, 公差为 d,前 n 项和为 Sn ,则 Sn = n?a1+an? n?n-1? _________=na1+ d. 2 2 (3)等差中项公式:若三个数 a、b、c 成 a+c 等差数列,则等差中项 b=_____. 2

3.等差数列的常用性质 (1)等差数列的单调性 ①{an}是递增数列?d>0;②{an}是递减数列 ?d<0;③{an}是常数列?d=0. (2)通项的性质 ap+aq ①若m+n=p+q,则am+an=______)(m, n,p,q∈N*)特别地,若m+n=2p,则2ap =am+an;

②若{an}是有穷数列,则与首末两项等距离 的两项之和,都等于首末两项之和; ③项数成等差数列,则相应的项也成等差数 列,即ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)成 等差数列 __________.

课前热身

1.在等差数列{an}中,已知a3=2.则该数列 的前5项和为( ) A.10 B.16 C.20 D.32 答案:A

2.已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+

1,2a+3.则此数列的通项公式为(
A.2n-5 B.2n-3

)

C.2n-1
答案:B

D.2n+1

3.(教材例3改编)梯子的最高一级宽33 cm, 以下各级宽度成公差为7的等差数列,共有 12级,下列各数中是梯子某级宽度的是 ( ) A.117 cm B.103 cm C.90 cm D.66 cm 答案:B

4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6= S3=12,则{an}的通项an=__________. 答案:2n 5.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S5= 10,S10=-5,则公差为__________(用数字 作答). 答案:-1

考点探究·挑战高考

等差数列基本量的求法

等差数列{an}的通项公式 an=a1+(n- n?a1+an? 1)d,前 n 项和公式 Sn= =na1 2 n?n-1? + d 中, 有五个量 a1、 n、 d、 a n、 2 Sn, 通过解方程(组)知三可求二. 参考教 材习题 3.3 第 2 题.

例1 在等差数列{a }中, n

(1)已知a15=33,a45=153,求a61; (2)已知S8=48,S12=168,求a1和d; (3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8. 【思路分析】 在等差数列中有五个重要的 量,即a1,an,d,n,Sn,只要已知任意三 个,就可求出其他两个.其中a1和d是两个 最重要的量,通常要先求出a1和d.

【解】

?33=a1+14d, (1)法一:? 解 ?153=a1+44d,

?a1=-23, 得? ?d=4.

∴a61=-23+(61-1)×4=217. 法二:a45=a15+(45-15)d, ∴153=33+30d, ∴d=4, a61=a45+16d=153+16×4=217.

? ?S =48=8a +8×7d, 1 ? 8 2 (2)法一:? 12×11 ? ?S12=168=12a1+ 2 d. ? ?a1=-8, 解得? ?d=4.

法二: 设等差数列的前 n 项和为 Sn=an +bn,
?48=64a+8b, ?a=2, ∴? ∴? ?168=144a+12b, ?b=-10,

2

∴Sn=2n2-10n,a1=S1=2-10=-8, S2=2×22-10×2=-12, ∴a2=S2-a1=-12+8=-4, d=a2-a1=-4+8=4. ?10=a1+5d, ? (3) 法 一 : ? ∴ 5×4 ?5=5a1+ d, 2 ?
?a1=-5, ? ?d=3.

∴a8=-5+7×3=16,

8×7 S8=8×(-5)+ ×3=44. 2 5×?a1+a5? 法二:S5= =5a3=5, 2 ∴a3=1, a6-a3 10-1 ∴d= = =3, 3 6-3 ∴a8=a6+2d=10+6=16, a4=a3+d=4,a5=7, ?a1+a8?×8 ∴S8= =4(a4+a5)=44. 2

【思维总结】

等差数列的基本计算转化为

基本量a1与d的计算是常用方法,若结合其

性质可简化计算.

等差数列的判定或证明

判定或证明等差数列的基本方法有: ①定义法:an+1-an=d; ②中项法:2an=an-1+an+1(n≥2);参考教 材例3

已知数列{an}满足 a1=1,an+1=4 4 1 -a (n≥2),令 bn= . an-2 n (1)求证数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.

例2

【思路分析】

欲证{bn}为等差数列,

1 只需证明 bn+1-bn 是常数,即证 an+1-2 1 - 是常数(n∈N*),而{an}的通项可 an-2 利用(1)求出,也可以利用中项关系证明 {bn}是等差数列.

4 【解】 (1)∵an+1=4- an 4 2?an-2? ∴an+1-2=2-a = a (n≥1), n n 1 an 1 1 ∴ = = + (n≥1), 2 an-2 an+1-2 2?an-2? 1 1 1 故 - = (n≥1),即 bn+1- an+1-2 an-2 2 1 bn= (n≥1), 2 ∴{bn}为等差数列.

1 (2)∵{ }为等差数列. an-2 1 ∴b1= =-1, a1-2 1 1 3 ∴bn=-1+(n-1)× = n- , 2 2 2 n-3 1 即 = , 2 an-2 2 ∴an=2+ . n-3

【思维总结】

本题用bn+1-bn=常数的方

法证明等差数列.

1 互动探究 1 若 a1=1,an+1=1- , 4an 1 bn= , n∈N*, n}是等差数列吗? {b 2an-1

1 解:∵an+1=1- , 4an 1 1 ∴2an+1-1=1- ,∴bn+1= 2an 2an+1-1 1 2an = = 1 2an-1 1- 2an 2an 1 ∴bn+1-bn= - =1 2an-1 2an-1 1 ∴{bn}是以 b1= =1 为首项, 公差 2a1-1 为 1 的等差数列.

等差数列性质的应用

主要针对等差中项性质、单调性质、首末两 项和的性质及推广,在数列的基本推理和计 算中应用.

例3 设{an}是公差不为 0 的等差数列,

Sn 为其前 n 项和, 满足 a2+a2=a2+a2, 2 3 4 5 S7=7. 求数列{an}的通项公式及前 n 项和.
【思路分析】 由题设条件求首项 a1 和 公差 d,即把题设条件转化为含有 a1 和 d 的方程组求解; 或者利用性质转化. 7 S =7=7a4,a2+a2=a2+a2推出 a3+a4= 2 3 4 5 0.

7×?a1+a7? 【解】 S7= =7a4=7,∴a4=1. 2 ∵a2+a2=a2+a2,∴a2-a2=a2-a2 2 3 4 5 3 4 5 2 ∴(a3+a4)(a3-a4)=(a5+a2)(a5-a2). ∵a3+a4=a5+a2,a3-a4=-d,a5-a2=3d, ∴-d(a3+a4)=3d(a3+a4). ∵d≠0,∴a3+a4=0,∴a3=-1, ∴d=a4-a3=1-(-1)=2.∴a1=-1-2d=-5. ∴an=a1+(n-1)d=2n-7, n?n-1?d Sn=2n+ =n2-6n. 2

【思维总结】 此题直接把已知条件转化为 a1与d求解,化简量较大,但思路简单.用 性质化简已知条件,化简不繁琐,但较隐 含.

互动探究2

在例3中Sn是存在最大值还是最

小值?并求出来. 解:由Sn=n2-6n=(n-3)2-9存在最小 值. 当n=3时,Sn最小值为-9.

方法感悟

方法技巧 1.在有关等差数列的基本问题中,常常需 要根据已知,a1,an,d,n,Sn中的某些量 去求其他未知的量,解方程是必不可少的, 在运用方程的思想时,还要注意等差数列性 质的运用以及整体代换思想的运用,如例1.

2.等差数列通项公式an是关于n的一次函数, an=dn+(a1-d),(d≠0); 等差数列的前n项和公式是特殊的二次函数 关系式,对前n项和的最大值或最小值的求 解可以借助函数求最值的方法进行,也可以 利用数列的通项公式进行求解.一般地,有 如下结论:

(1)如果 d>0, Sn 有最小值. a1>0 则 当 时, n 的最小值就是 S1=a1; a1<0 时, S 当 ?am≤0, 通过解不等式组 ? 得到正整数 ?am+1≥0 解 m,Sn 的最小值就是 Sm; (2)如果 d<0,则 Sn 有最大值.当 a1<0 时, n 的最大值就是 S1=a1; a1>0 时, S 当
?am≥0 通过解不等式组 ? 得到正整数 ?am+1≤0

解 m,Sn 的最大值就是 Sm.

3.前 n 项和的性质 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则 ①Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列 是等差数列; Sn ②{ n }也是一个等差数列; n?a1+an? n?a2+an-1? ③ Sn = = = 2 2 n?a3+an-2? =…. 2

S奇 ④若项数为 2n,则 S 偶-S 奇=nd, = S偶 an . an+1 ⑤若项数为 2n-1, S 偶=(n-1)an, 则 S S奇 n = . 奇=nan,S 奇-S 偶=an, S偶 n-1

失误防范 1.如果p+q=r+s,则ap+aq=ar+as,一 般地,ap+aq≠ap+q,必须是两项相加,当然 可以是ap-t+ap+t=2ap. 2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n 的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是n的常数项不为0的二次函数,则 该数列不是等差数列,它从第二项起成等差 数列.

3.公差的计算是 an+1-an=d,切不可 an-am 为 an-an+1,同理 d= ,(n>m)且 n-m an-am 不可为 . m-n 4.在数列中有类似于 an-1,Sn-1 的量, 其成立条件为 n≥2.

考向瞭望·把脉高考

考情分析
从近两年的高考试题看,等差数列的判定、 通项公式以及与前n项和公式有关的最值问 题等是高考的热点,题型既有选择题、填空 题又有解答题,难度中等偏高;客观题突出 “小而巧”.以基本计算为主,考查性质的灵 活运用及对概念的理解.主观题“大而全”, 着重考查函数方程,等价转化等.

2010年的高考中,各省市高考题都涉及到等 差数列问题.要么是单独的一个客观题,如 大纲全国卷Ⅱ理第4题,要么是一个主观题, 如大纲全国卷Ⅰ文第17题. 预测2012年高考仍将以等差数列的定义、通 项公式和前n项和公式为主要考点,重点考 查运算能力与逻辑思维能力.

规范解答 (2010年高考大纲全国卷Ⅰ)(本题满分 10分)记等差数列{an}的前n项和为Sn,设S3 =12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,求Sn.


【解】 设数列{an}的公差为 d,依题设有 ?2a1?a3+1?=a2, 2 ? 4分 ?a1+a2+a3=12,
?a2+2a1d-d2+2a1=0, 1 即? 6分 ?a1+d=4. ?a1=1, ?a1=8, 解得? 或? 8分 ?d=3 ?d=-4.

1 因此 Sn= n(3n-1)或 Sn=2n(5-n).10 分 2

【名师点评】 本题考查了等差、等比数列 的性质、前n项和等基础知识,以及方程组 思想,题目较简单.作为第一个解答题,设 计是合理的. 本题主要知识是等差数列的基本计算.只是 利用等比中项建立了一个关于a1和d的方程, 此解法是用基本量的设法构造方程.也可用 等差中项得3a2=12,得a2=4后,由a1=4- d,a3=4+d,再求d也很简单.

名师预测
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则a6+ a7>0是S9≥S3的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A.将它们等价转化为 a1 和 d 的关系式. 6+a7>0?a1+5d+a1+6d>0 a 9×8×d ?2a1 +11d>0;S9≥S3 ?9a1 + 2 3×2×d ≥3a1+ ?2a1+11d≥0.故选 A. 2

2.已知数列an=2n(n∈N*),把数列{an}的各 项排列成如图所示的三角形数阵.记M(s,t) 表示该数阵中第s行的第t个数,则数阵中的 2010对应于( ) A.M(45,15) B.M(45,25) C.M(46,15) D.M(46,25)

解析:选 A.由数阵的排列规律知,数阵 中的前 n 行共有 1+2+3+…+n= n?n+1? 项,当 n=44 时,共有 990 项, 2 又数阵中的 2010 是数列{an}中的第 1005 项,因此 2010 位于数阵中第 45 行的第 15 个位置.故选 A.

3.已知数列{an}对于任意 p,q∈N ,有 1 ap + aq = ap + q , 若 a1 = , 则 a36 = 9 ________.

*

解析:由题意得 an+1=an+a1,an+1-an 1 1 n =d= ,an=a1+(n-1)× = ,因此 9 9 9 36 a36= =4. 9

答案:4 4.依次写出数列a1=1,a2,a3,…, an(n∈N*)的法则如下:如果an-2为自然数 且未写过,则写an+1=an-2,否则就写an+1 =an+3,则a6=__________.(注意:0是自 然数) 解析:由a1=1, 结合题意可得a2=4,a3=2, a4=0,a5=3,a6=6. 答案:6


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