甘肃省武威第五中学2013届高三10月月考试题数学理

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甘肃省武威第五中学 2013 届高三 10 月月考试题 数学理
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为( A． 3+5i B．3-5i C.-3+5i ） ) D. -3-5i

2．满足｛a｝ ? M ? ｛a, b, c, d｝的集合 M 共有（ A．6 个 3．命题“若 ? ? A．若 ? ? B．7 个 C．8 个 D．15 个

?
4

,则 tan ? ? 1 ”的逆否命题是（ B．若 ? ?

）

?
4

,则 tan ? ? 1

?
4

,则 tan ? ? 1

C．若 tan ? ? 1 ,则 ? ?

?
4

D．若 tan ? ? 1 ,则 ? ?

?
4
）

4.设 ? ? R ,则“ ? =0 ”是“ f (x)= sin (x +? ) (x ? R ) 为奇函数”的（ A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5.设x ? R，向量a＝（x，1） ，b＝（1，－2） ，且a⊥b，则｜a＋b｜＝( A. 5 6.函数 f ( x) ? sin( x ? A． x ? B.

) D.10

10

C.2 5 )

?
4

) 的图像的一条对称轴是(
B． x ? ?

?
4

?
4
）

C． x ?

?
2

D． x ? ?

?
2

7．下列各组函数是同一函数的是（ ① f ( x) ?

?2 x 3 与 g ( x) ? x ?2 x ； ② f ( x) ? x 与 g ( x) ? x 2 ；
0

③ f ( x) ? x 与 g ( x) ? A. ①②

1 ； x0

④ f ( x) ? x ? 2 x ? 1 与 g (t ) ? t ? 2t ? 1 。
2 2

B. ①③

C. ③④

D. ①④ ）

? x2 ? 2x ? 3 ,x ?1 ? 8.已知函数 f ( x) ? ? 在点 x=1 处连续，则 a 的值是（ x ?1 ?ax ? 1, x ? 1 ?
A．2 B．3 C．－2 ) D．－4

9.若函数 f ( x ) ? sin 2 x ?

1 ( x ? R )，则 f ( x ) 是( 2

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A.最小正周期为 C.最小正周期为

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B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为 ? 的偶函数

? 的奇函数 2 ?
2
的偶函数

10．函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) （其中 | ? |?

?

2 为了得到 y ? sin ?x 的图象，只需把 y ? f (x) 的图象上所有点（
A. 向左平移 C. 向左平移

）的图象如图所示，

）

?
12

个单位长度

B. 向右平移

?
12

个单位长度 个单位长度 ）

?
6

个单位长度

D. 向右平移

?
6

11．在等差数列 {a n } 中，若前 5 项和 S 5 ? 20, 则a3 等于（ A．4 B．－4 C．2 D．－2

12． 已知数列 {a n }中a1 ? ?60, a n ?1 ? a n ? 3, 则 | a1 | ? | a 2 | ? | a3 | ? ? ? | a30 | 等于 （ A．445 B．765 C．1080 D．3105

）

二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置． 公式 an =__________． 14．在 ?ABC 中，若 b ? 5 ， ?B ?

13. 设 ?an ? 是正项数列，其前 n 项和 S n 满足： 4 S n ? (an ? 1)(an ? 3) ,则数列 ?an ? 的通项

?
4

， tan A ? 2 ，则 a ? ______．

15 . AB ? 8, AC ? 12,

?? ?

?? ?

?? ?

则

BC

取值范围用区间表示为 _________

.

16．某同学在研究函数 f ( x) ?

x ( x ? R ) 时，分别给出下面几个结论： 1? | x |

①等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立； ②函数 f (x) 的值域为 (－1,1)； ③若 x1 ? x 2 ，则一定有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ； ④函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点. 其中正确结论的序号有 .(请将你认为正确的结论的序号都填上) 三、 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17． （本题满分 10 分） 已 知 f ( x) ? sin ?x（sin ?x ? 3 cos ?x) ? 周期为 2? .

[来源:Zxxk

.

1 , ( x ? R, ? ? 0), 2

若f ( x) 的 最 小 正

（I）求 f ( x)的表达式和f ( x) 的单调递增区间；

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（II）求 f ( x)在区间[?

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? 5?
6 , 6

] 的最大值和最小值.

18． （本题满分 12 分） 在 ?ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a,b,c， a ? （Ⅰ）求 c 的值； （Ⅱ）求 sin( 2 A ?

5 , b ? 3, sin C ? 2 sin A

?
4

) 的值.
2

19． （本小题满分 12 分）已知 p : 方程x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的负实根； “ q : 不等式4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0的解集为R, 若 “ p 或 q ”为真命题， p 且 q ”为假 命题，求 m 的取值范围。 20． （本小题满分 12 分）

①如果 AB ? e1 ? e 2 , BC ? 2e1 ? 8e 2 , CD ? 3?e1 ? e 2 ?, 设两个非零向量e1与e 2 不共线，
求证：A、B、D 三点共线． ②试确定实数k的值,使ke1 ? e 2 和e1 ? ke 2 共线.

?? ?

?? ?

?? ?

21． (本题满分 12 分)已知数列{an}满足： n＝1－an(n∈N*)， S 其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和． (1)求{an}的通项公式； n (2)若数列{bn}满足：bn＝ (n∈N*)，求{bn}的前 n 项和公式 Tn． an

2 时, y ? f ( x) 有极值， 3 曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线 l 不过第四象限且斜率为 3，又坐标原点到切线 l 的距
22． （本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c, 若x ? 离为

10 . 10

（1）求 a, b, c 的值； （2）求 y ? f ( x)在[?4,1] 上的最大值和最小值。

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甘肃省武威第五中学 2013 届高三 10 月月考试题 数学理参考答案：
一、选择题（本题共 60 分） 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 B 6 B 7 C 8 B 9 D 10 D 11 A 12 B

二、填空题（本题共 20 分） 13、 2n ? 1 14、 2 10 15、

? 4, 20?

16、①②③.

三、解答题（本题共 70 分） 17．解： （I）由已知 f ( x) ? sin 2 ?x ?

3 1 sin 2?x ? ( x ? R, ? ? 0) 2 2

?

1 3 1 3 1 (1 ? cos 2? x) ? sin 2? x ? ? sin 2? x ? cos 2? x 2 2 2 2 2

? sin(2? x ?

?

6

) ???? 3分 2? 1 ? 2? ? 1 ? ? ? ???? 4分 2? 2

又由f ( x)的周期为2? , 2? ? f ( x) ? sin( x ? 2 k? ?

? ?
6

) ???? 5分 ? 2k? ?

?
2

? x?

?
2

6

( k ? z ) ? 2k? ?

?
3

? x ? 2k? ?

即f ( x)的单调递增区间为[2k? ?
6 6 3 6

?
3

, 2 k? ?

2? ]( k ? z ) ???? 7分 3

2? (k ? z ) 3

（II）? ? ? ? x ? 5? ? ? ? ? x ? ? ? 2? -----------------------8 分
3

-

3 .-----10 分 2

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?? ? m 2 ? 4 ? 0, ? 19 解： p为真命题 ? ?? m ? 0, ? m ? 2. ?1 ? 0. ?

????3 分

q为真命题 ? ? ? [4(m ? 2)]2 ? 4 ? 4 ? 1 ? 0 ? 1 ? m ? 3. ? p ? q为真, p ? q为假,? p与q一真一假. 若 p真q假, 则m ? 2, 且m ? 1或m ? 3, 所以m ? 3. 若 p假q真, 则m ? 2, 且1 ? m ? 3, 所以1 ? m ? 2. 综上所述，m 的取值范围为 {m | 1 ? m ? 2, 或m ? 3}.
20. ①证 : ? BC ? CD ? BD ? 5e1 ? 5e 2 , 又 ? AB ? e1 ? e 2 , ? BD ? 5 AB . ∴ A、B、D 共线． 分） （6
???
??? ???

????6 分 ????7 分 ????9 分 ????11 分 ????12 分

?? ?

?? ?

?? ?

②解:要使ke1 ? e 2 和e1 ? ke 2 共线,只需存在实数λ ,使ke1 ? e 2 ?λ ?e1 ? ke 2 ?.
于是, ke1 ? e 2 ? ?e 2 ? ?ke 2 . ? ?k ? ? ?e1 ? ?1 ? k? ?e 2 ? 0.

?k ? ? ? 0, ? 由于e1与e 2 不共线, 所以只有 ?1 ? k? ? 0, ? k ? ?1.

（12 分）

n * (2) ∵bn＝ ＝n·2n(n∈N )， an
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8分

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∴Tn＝1× 2＋2× 2＋3× 3＋…＋n× n，③ 2 2 2 2 3 4 ∴2Tn＝1× ＋2× ＋3× ＋…＋n×2n+1，④ 2 2 2 2(1-2n) ③－④得，－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n× n+1 ＝ 2 －n×2n+1， 1-2 整理得，Tn＝(n－1)2n 1＋2，n∈N*． 22 解： （1） f ?( x) ? 3 x ? 2ax ? b.
2
＋

11 分 12 分 ????1 分 ????4 分

2 2 2 ? 2 ?a ? 2, ? f ?( ) ? 3 ? ( ) ? 2a ? ? b ? 0, 由题意，得 ? 解得? 3 3 3 ?b ? ?4. ? f ?(1) ? 3 ? 12 ? 2a ? 1 ? b ? 3. ?
设切线 l 的方程为 y ? 3 x ? m. 由原点到切线l的距离为

10 ，则 10

|m|

32 ? 1 ? 切线l不过第四象限,? m ? 1. ? 切线l的方程为y ? 3x ? 1.
由于切点的的横坐标为 x=1，∴切点坐标为（1，4） ，

?

10 .解得m ? ?1. 10

????5 分 ????6 分

? f (1) ? 4. ?1 ? a ? b ? c ? 4,? c ? 5.
（2）由（1）知 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 5 ，
3 2

所以f ?( x) ? 3 x 2 ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2)(3 x ? 2), 2 令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ?2, x 2 ? . 3
列表如下：

x
f ?(x)

－4

（-4， -2） +

－2 0 极大值

2 (?2, ) 3
－

2 3
0 极小值

2 ( ,1) 3
+

1

f (x)
函数值 －11

13

95 27

4 ????12 分 ????14 分

? f (x) 在[－4，1]上的最大值为 13，最小值为－11。

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