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14.2(3)异面直线所成的角


异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线(skew lines)。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图 时,通常用一个或两个平面衬托。如下图:
m m

l
?

l

异面直线所成的角
如图,已知两条异面直线a,b

,经过空间任一 点O作直线a'∥a,b'∥b,我们把a'与b'所成 的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角 (或夹角)。

为了简便,点O通常取在两条异面直线中的一条上,例 如,取在直线b上,然后经过点O作直线a'∥a,a' 和b 所成的锐角(或直角)就是异面直线a与b所成的角。 想一想:a'与b' 所成角的大小与点O的位置有关吗?

异面直线所成的角

如果两条异面直线所成的角为直角, 就说两条直线互相垂直,记作a⊥b。
b
?

O
?

a'

a

O

?

记作:a ? b

异面直线所成的角

b
?

O
?

a'

a

O

?
? ? ? ? ? ? 0, ? 2? ?

例题讲解

例1:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中 求下列异面直线所成的角 (1)B1C和DD1 (2)AB和A1D1 (3)A1C1和B1C (4)A1D和BC1
D1 A1 C1

B1

Dj

C

A

B

例题讲解

例2:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=5,BC=4,CC1=3,求: (1)B1C和DD1所成角的大小 (2)BC和A1C所成角的大小 (3)B1C和AD1所成角的大小
D1 C1

A1 Dj

B1 C

A

B

例题讲解 例3: 在空间四边形ABCD中AB=8,CD=6,E、F 分别是对角线AC,BD的中点,且EF=6,求异面 直线AB、CD所成角的大小。
A

F
D E

B

G

C

例题讲解

例4:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=5,BC=4,CC1=3, 求:异面直线D1B和AC所成角的大小
D1 C1

A1 Dj

B1 C

A

B

例题讲解

例5:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中 ,M、N分别为A1B1,BB1的中点,求下列异 面直线所成的角 (1)AM和CN (2)AM和BD (3)AM和BD1
D1 A1 C1

M
?

B1

Dj

?

N
C

A

B

例题讲解

例6:如图,AB,CD是两条异面直线,AB= CD=3a,E、F分别是线段AD,BC上的点,且 AE:ED=BF:FC=1:2,EF= 7 a ,求AB与CD所成 角的大小。
A E D
G

C F

B


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