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平面向量基本定理导学案

时间:2016-04-21


2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 一、平面向量基本定理 1.定理: 如果 e1、e2 是同一平面内的两个_______向量, 那么对于这一平面内的任意向量 a, ___________一对实数 λ1、λ2,使 a=__________________. 2.基底:不共线的向量 e1,e2 叫作表示这一平面内________的一组基底. 注意:同一

平面可以有不同的基底,就像平面上可选取不同的坐标系一样。

预习检测 1.已知平行四边形 ABCD,下列各组向量中,是该平面内所在向量基底的是( → → A.AB,DC → → C.AD,CB → → B.AD,BC → → D.AB,DA

)

2.已知向量 a 与 b 是一组基底,实数 x,y 满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则 x-y= ________. → → → 3.已知向量 a 与 b 不共线,且AB=a+4b,BC=-a+9b,CD=3a-b,则共线的三点为:

________.
探究一 用基底表示向量 例1、 如图,已知向量 e1 , e2 ,求作向量 ?2.5e1 ? 3e2 和 ?2.5e1 ? 3e2

??

?? ?

? ?

? ? ?

? ?

? ? ? ?? ? e2

?? e1

→ 例 2、已知梯形 ABCD 中,AB∥DC,且 AB=2CD,E,F 分别是 DC,AB 的中点,设AD= → → → → a,AB=b,试以 a,b 为基底表示DC,BC,EF.

练习 → ?? → ?? ? ?? ?? ? 如图,已知△ABC 中,M,N,P 顺次是 AB 的四等分点,CB= e1 ,CA= e2 ,试用 e1 , e2 表 → → → 示CM,PN,PA. B P N C M A

探究二 向量的夹角 [例 1] 已知|a|=|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 60°,若 a+b 与 a 的夹角为 α,a-b 与 a 的 夹角为 β,求 α+β.

2.若 a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,求 a 与 a+b 的夹角.

探究三、三点共线的判断 1 例一、如图所示,平行四边形 ABCD 中,点 M 在 AB 的延长线上,且 BM=2AB,点 N 在 BC 1 上,且 BN=3BC.求证:M、N、D 三点共线.

课后练习 1.下列关于基底的说法正确的是(

)

①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底; ②基底中的向量可以是零向量; ③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.① C.①③ B.② D.②③ )

→ → → 2.如图所示,矩形 ABCD 中,BC=5e1,DC=3e2,则OC等于(

1 A. (5e1+3e2) 2

1 B. (5e1-3e2) 2

1 C. (3e2-5e1) 2

1 D. (5e2-3e1) 2

3.已知向量 e1,e2 不共线,实数 x,y 满足(2x-3y)e1+(3x-4y)e2=6e1+3e2,则 x= ________,y=________. 4、已知 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中不能作为一组 基底的是( ) B.e1-2e2 和 e2-2e1 D.e1+e2 和 e1-e2 )

A.e1 和 e1+e2 C.e1-2e2 和 4e2-2e1

→ 1→ → → → 5、四边形 OABC 中,CB= OA,若OA=a,OC=b,则AB=( 2

1 A.a- b 2 a C.b+ 2

a B. -b 2 1 D.b- a 2

6、若|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 b 的夹角为________. → → → 7、在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若AC=λAE+μAF,其

中 λ,μ∈R,则 λ+μ=________. → 1→ → 1→ → 1→ 8、如图所示,设 M,N,P 是△ABC 三边上的点,且BM= BC,CN= CA,AP= AB, 3 3 3 → → → → → 若AB=a,AC=b,试用 a,b 将MN,NP,PM表示出来.


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