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椭圆复习教学案

时间:2014-10-21


椭圆复习教学案
1. 椭圆的定义: (1)平面内与两定点 F1 , F2 的距离之和等于 做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 (大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫 . 时是椭圆. 这

( 2) 平面内到一个定点的距离与到一条定直线的距离的比是一个常数 e 的点的轨迹, 当 个定点叫做 ,定直线叫做 ,常数 e 叫做 .

>
2.椭圆的标准方程:

(1)

,它表示焦点在

轴上的椭圆;

(2)

,它表示焦点在

轴上的椭圆. 法.其步骤为:

3.求椭圆的标准方程,主要方法是

(1)定位,即判定焦点是在 x 轴上,还是在 y 轴上,还是两种情况都有可能; (2)定量,即通过解方程组的思想求得参数 a,b,c 的值. 4.椭圆

x2 y2 y 2 x2 ? ? 1 ? ? 1 )的几何性质: (或 a 2 b2 a2 b2
; ; ; ; .

(1)范围: (2) 对称性: (3) 顶点: (4) 离心率: (5) 准线: 5. 椭圆的基本量 a , b, c 的几何意义及其关系:

(1) 2a _________, 2b _________, 2c _________; (2)参数 a , b, c 之间的关系为



二、经典例题:

○题型一 椭圆中的基本量 例 1 已 知在△ ABC 中,点 A 、 B 的坐标分别为 (?2,0) 和 ( 2,0) ,点 C 在 x 轴上方.若点 C 的坐标为 (2,3) ,

1

求以 A 、 B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程.

变式训练 1 已 知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 .

3 ,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距 2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F ,右顶点为 A, a 2 b2 2 动点 M 为右准线上一点(异于右准线与 x 轴的交点) ,设线段 FM 交椭圆 C 于点 P,已知椭圆 C 的离心率为 , 3
变式训练 2: 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 点 M 的横坐标为

9 .则椭圆 C 的标准方程为 2



y P

M

F

O

A

x

○题型二 椭圆定义的应用 例 2 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点, 线段 BF 的延长线交椭圆 C 于点 D , 且 BF ? 2FD ,

2

求椭圆 C 的离心率.

变式训练 设 F1 , F2 为两定点, F1 F2 ? 8 ,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ,则 PF 1 ? PF 2 ? 10 ,求点 P 的个数.

○题型三 直线与椭圆的位置关系 例 3 椭圆 |PF2|=

x2 y 2 4 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的两个焦点 F1、F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1 ? F1F2 ,| PF1|= , 2 3 a b

14 .(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点,且 3

A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.

3

三、巩固练习:

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于 2.若椭圆
1 x2 y2 =1 的离心率为 ,则实数 m= ? 2 2 m

.

.

3.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 △ABC 的周长是 4.已知方程 .

x2 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则 3

x2 y2 + =1,表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围为 m ?1 2 ? m

.

5.设椭圆

x2 m
2

+

y2 n
2

=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为 ,则此椭圆的方程为

1 2

.

6. m ? n ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的
2 2

条件.

四、课后作业:

1.已知椭圆的长轴长是 8,离心率是 ,则此椭圆的标准方程是

3 4



2.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点

到椭圆上的点的最短距离为 3 ,则这个椭圆的方程为

3.若椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,5 2 ),直线 y=3x-2 与它相交所得的中点横坐标为 ,则这个椭圆的 方程为

1 2

4

4.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么直线 PF2 与 12 3

x 轴的夹角为
5.已知椭圆
x2 a
2



?

y2 ? 1 (a>5)的两个焦点为 F1、F2,且|F1F2|=8,弦 AB 过点 F1,则△ABF2 的周长为 25



x2 y 2 6.以椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点为圆心的圆经过原点 O,且与该椭圆的右准线交与 A,B 两点,已知△ a b
OAB 是正三角形,则该椭圆的离心率是 7. 已知 F1 、F2 是椭圆 C : .

x2 y2 ? ? 1( a > b >0) 的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点, 且 PF 若 ?PF 1 F2 1 ? PF 2. a2 b2

的面积为 9,则 b =____________.

x2 y 2 8.已知椭圆 C 的方程为: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , B 是它的下顶点, F 是其右焦点, BF 的延长线与椭圆及其右 a b
准线分别交于 P 、 Q 两点,若点 P 恰好是 BQ 的中点,则此椭圆的离心率是 9.已知椭圆 .

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,过椭圆上一点 M 作直线 MA, MB 交椭圆于 A, B 两点,且斜 2 a b 3


率分别为 k1 , k2 ,若点 A, B 关于原点对称,则 k1 ? k2 的值为

x2 y 2 10.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左,右两个焦点分别为 F1 , F2 ,短轴的上端点为 B,短轴上的两个三等分 a b
点为 P,Q,且 F (1)求椭圆的离心率(2)若过点 B 作此正方形的外接圆的切线在 x 轴上的一 1 PF2 Q 为正方形. 个截距为 ?

3 2 ,求此椭圆方程. 4

5

11.已知椭圆的中心在原点,一个焦点是 F (2,0) ,且两条准线间的距离为 ? (? ? 4) . (1)求椭圆的方程; (2)若存在过点 A(1,0)的直线 l ,使点 F 关于直线 l 的对称点在椭圆上,求 ? 的取值范围.

6


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