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空间几何体 三视图直观图 可留

时间:2010-11-19


空间几何体、三视图直观图

20100715

柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体的结构
识 图





简单几何体的结构特征

空 间 几 何 体

柱、锥、台、球的三视图 三视图 简单几何体的三视图 平面图形 平行投影 中心投影

直观图

斜二测画法 空间几何体

柱、锥、台、球的表面积与体积

概念 棱柱

多面体
柱 锥 台 球 旋转体

棱锥

性质 侧面积

棱台

体积
圆柱 圆锥 圆台 概念 结构特征 侧面积 体积



由上述几何体组合在一起形成的几何体称为简单组合体

有两个面互相平行,其余各面 都是四边形,并且每相邻两个 四边形的公共边都互相平行, 这些面围成的几何体叫棱柱 两个面的 其余各面叫做 不在同一个 公共边叫做 棱柱的侧面 面上的两个顶点 棱柱的棱 两个侧面的 侧面与底面的 的连线叫做棱柱 公共边叫做 公共顶点叫 的对角线 棱柱的侧棱 做棱柱的

棱柱的概念复习
· · A’ · H’ · · H’ · H’ · · · · · 平行的面
D’ C’ H’ B’ H’ 两个互相 叫做棱柱 的底 E H E’ H’



顶点

A H

底 ·· H · ·· · · ·· · ·
B H H H D C

棱柱的性质

(1)侧棱都相等,侧面都是平行四边形。 直棱柱的各个侧面都是矩形; 正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 (2)两个底面与平行于底面的平面的截面是全等的多边形。

〔3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

棱柱的分类
1、按侧棱是否和底面垂直分类: 棱柱 斜棱柱 2、按底面多边形边数分类: 三棱柱、四棱柱、 五棱柱、·· ·· ··

直棱柱

正棱柱 其它直棱柱

几种六面体的关系:
底面变为 平行四边形 侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是

底面为

侧棱与底面 边长相等

矩形

正方形

长方体

正四棱柱

正方体

棱锥
1、定义: 有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的 三角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥。 如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面 的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2、性质 Ⅰ、正棱锥的性质 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直 角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也 组成一个直角三角形。

正棱锥性质2

P

棱锥的高、斜高和斜高在 底面的射影组成一个直角 三角形。棱锥的高、侧棱 和侧棱在底面的射影组成 一个直角三角形
Rt⊿ PEO Rt⊿ POB Rt⊿ PEB Rt⊿ BEO

D O A B

C E

棱台由棱锥截得而成,所以在棱台中也有类 似的直角梯形。

棱锥
棱锥 正三棱锥 正四面体

顶点在底面正多边形的 射影是底面的中心
正四棱锥

体积V=Sh/3

侧棱垂直于底 底面是正多边正棱柱 棱柱 直棱柱 面 形 底面为正多边形,顶点在底面 棱锥 的射影为正多边形的中心 正棱锥

正棱台

由正棱锥截的的棱台

处理台体的思想方法是还台于锥。

概念 性质 有两个面互相平行, (1)侧棱都相等: 有两个面互相平行, (1)侧棱都相等: 其余各面都是四边 (2)侧面都是平行 棱柱 其余各面都是四边 (2)侧面都是平行 形,并且每相邻两 四边形: 形,并且每相邻两 四边形: 个四边形的公共边 (3)两个底面与平 个四边形的公共边 (3)两个底面与平 都互相平行,这些 行底面的截面是全 都互相平行,这些 行底面的截面是 面围成的几何体叫 等的多边形; 面围成的几何体叫 全等的多边形; 做棱柱。 做棱柱。

侧面积

体积

侧面展 V=Sh 侧面展 开图是 开图是 一组平 一组平 行四边 行四边 形 形。 侧面展 侧面展 开图是 开图是 一组三 一组三 角形。 角形
侧面展 侧面展 开图是 开图是 一组梯 一组梯 形; 形;

一个面是多边形, 平行底面的截面 一个面是多边形, 平行底面的截面与 其余各面是有一个 与底面相似。 棱锥 其余各面是有一个 底面相似。 公共顶点的三角形, 公共顶点的三角形, 由这些面所围成的 由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。 几何体叫做棱锥。 用一个平行于棱锥 (1)上下两个底面 用一个平行于棱锥 (1)上下两个底面 底面的平面去截棱 互相平行; 棱台 锥,底面与截面之 底面的平面去截棱 (2)侧棱的延长线 互相平行; 间的部分叫作棱台 相交于一点; 锥,底面与截面之 (2)侧棱的延长线 间的部分叫作棱台 相交于一点;

1 V ? Sh 3

旋转体
圆柱 圆锥 圆台 球

分别以矩形、直角三角形的直角边、 直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋

转轴,其余各边旋转而成的曲面所围成的
几何体, 分别叫做圆柱,圆锥,圆台。

圆柱

圆锥

圆台

思考:一般地,怎样定义旋转体?



由一个平面图形绕它所在平面内的 一条定直线旋转所形成的封闭几何体 叫做旋转体

圆锥的结构特征
S

顶点 轴

母 线
A O B

侧 面
底面

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

3.圆台的结构特征
结构特征
用一个平行于圆 锥底面的平面去截圆 锥,底面与截面之间 的部分是圆台.
O’ O

球的结构特征
以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转所 形成的曲面叫作球面,球面所围成的几何体叫作球体, 简称球。

直径
O

球心 半径

球的基本属性:

球面可看作与定点(球心)的距离
等于定长(半径)的所有点的集合.

想一想:用一个平面去截一个球,截面是什么?
用一个截面去截 一个球,截面是圆面。

O

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆。

知识小结 投影

平行投影

中心投影

斜投影

正投影

把光由一点向外散射形成的投影,叫 做中心投影。

中心投影法
投射中心 投射线 物体 投影

投影面
物体位置改变,投 影大小也改变

在一束平行光线的照射下形成的投射,叫做平行投影。 平行投影分正投影和斜投影两种。
D A C d D A B d b

B
a

C

b

c

a

c

投射线与投影面 相倾斜的平行投 影法 -----斜投影法

平行投影法
投射线与投影面相互垂 直的平行投影法 --------正投影法

三视图的形成
物体向投影面投影所得到的图形称为视图。 如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影,所得到 的三个图形摊平在一个平面上,则就是三视图。

?

?
? ? ? ?

?
?

三视图 正(主)视图——从正面看到的图 侧(左)视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 画物体的三视图时,要符合如下原则: 位置:正视图 侧视图 俯视图 大小:长对正,高平齐,宽相等.

思考

一般地,一个几何体的正视图、侧视

图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系?
高平齐

?

正视图

c

b

a
正俯等长, 正侧等高, 侧俯等宽.

c

长对正?

侧 视 图

c

a
俯视图

b
宽相等

b

a 长对正,高平齐,宽相等

正 俯 长 3cm 对 正
俯 侧 宽 4cm 相 等
练 习

5cm

正侧高平齐

4cm
3cm

正视图

侧视图

5cm

5cm
4cm 俯视图

3cm

首先,观察从长方体的正前方的正投影

主视图

P

其次,观察从长方体的正左方的正投影

主视图

侧视图

P

Q

再次,观察从长方体的正上方的正投影

正视图

侧视图

V
俯视图

W

你能发现 这三个 视图之间 有什么 关系吗?

圆柱、圆锥三视图

正视图

侧视图

正视图

侧视图

·
俯视图 俯视图

球的三视图

正视图

侧视图

俯视图

练习:画出正四棱台三视图:
解:

正视图

侧视图

俯视图

思考:下列两组三视图分别是什么几何体?

正视图

侧视图

正视图

侧视图

俯视图

俯视图

圆台

正三棱锥

几种基本几何体三视 图 1.圆柱、圆锥、球的三视图
几何体 主视图 左视图

知识
俯视图

回顾

·

几种基本几何体的三视图 知识 2.棱柱、棱锥的三视图
几何体 主视图 左视图 俯视图

回顾

画直观图的方法叫做斜二测画法。
1)画水平放置的平面多边形的直观图关键是确定多边形的顶 点位置。确定点的位置,可以借助于平面直角坐标系。 2)平面图形用其直观图表示时,一般说来,平行关系不变; 点的共线性不变;线的共点性不变;但角的大小有变化;(特 别是垂直关系发生变化)有些线段的度量关系也发生变化。因 此,图形的形状发生变化,这种变化,目的是为了图形富有立 体感。

原图

直观图

原图

直观图

斜二测画法的步骤:
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于o点.画直观图时,

把它画成对应的x′轴、y′轴,使
它确定的平面表示水平平面。

?x ?Oy?=45? ? 或135? ?

(2)原图形中平行于x或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段.

(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,
长度为原来的一半.

F

M

E
A?

F ? M ? E?
N ? C?

y?

A
O

D
B
N

x

B?

O?

D?

x?

C

练习作空间几何体
的直观图

例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图

?1? 在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为X轴,
对称轴MN所在直线为Y轴,两轴交于点O。画相应 的X?轴和Y?轴,两轴相交于点O?,使?x?Oy?=45?

y
F
M

E D

y?

A
B

O

x

O

x?

N

C

? 2?以O?为中心,在X?上取A?D?=AD,在y?轴上取

1 M?N?= MN .以点N ?为中心,画B?C?平行于x?轴, 2 并且等于BC;再以M?为中心,画E?F?平行于x?轴, 并且等于EF. y
y?

F

M

E
A?

F ? M ? E?
N?

A
B

O

D

x

B?

O?

D?

C?

x?

N

C

? 3? 连接A?B?,C?D?,E?F?,F?A?,并擦去辅助线x?轴和y?轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A?B?C?D?E?F?

y
F
M

E
A?

y?

F ? M ? E?
N?

A
B

O

D

x

B?

O?

D?

C?

x?

N

C

? 3? 连接A?B?,C?D?,E?F?,F?A?,并擦去辅助线x?轴和y?轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A?B?C?D?E?F?

y
F
M

E D

A
B

O

x

N

C

总结出斜二测画法的步骤:
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于o
点.画直观图时,把它画成对应的x′轴、y′轴,使

?x ?Oy?=45? ? 或135? ? ,它确定的平面表示水平平面。
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画 成平行于x′轴或y′轴的线段.

(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不 变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.

例2.用斜二测法画水平放置的圆的直观图

y
C EG
y?

A

O

B

C?

x

A?

O?
D ?F ?H ?

E ?G ?

B?

x?

D FH

例2.用斜二测法画水平放置的圆的直观图

y
C EG

A

O

B

x

D FH

例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的直观图

?1? 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使?xOy=45 ,
?

?xOz ? 90 .
?

Z

y
O

x

例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的直观图
? 2 ? 画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4
cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5 cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD

Z

y
D
M
O

Q

C

N
B

A

x

P

例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的直观图
上分别截取2cm长的线段AA?,BB?,CC?,DD?.
Z
B?
O

?3? 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线

D?

C?
Q

A?

y

M

D
P

C

N
B

x

A

例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的直观图

? 4 ? 成图.顺次连接A?,B?,C?,D?,并加以整理

?去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线? ,
就可得到长方体的直观图. Z
D?

C?

A?

y

M

D
O

B?

Q

C

N
B

x

A

P

例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的直观图

? 4 ? 成图.顺次连接A?,B?,C?,D?,并加以整理

?去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线? ,
就可得到长方体的直观图.
D?

C?
B?
C

A?

D

A

B

例4.已知几何体的三视图,用斜二测画法画出 它的直观图 Z · y?
O?

y

x?

·? O

·? O · O
侧视图

O

x

· O
正视图

·
俯视图

例4.已知几何体的三视图,用斜二测画法画出 它的直观图

·? O

·? O · O
侧视图

· O
正视图

·
俯视图

思考题: 一个三棱柱可以分割成几 个三棱锥?
C1 A1

B1 C1 A1

B1

C

B C

B

A

A


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