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江西省九江市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

时间:2016-06-24


高二下学期期中数学试卷(理)
满分:150 分 考试时间:120 分钟 出卷人:高二数学备课组 一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在下列各题的四个选项中,只有一个 选项是符合题目要求的.) 1.复数 z ?

i 在复平面内对应的点在( 1? i
B.第二象限

) D.第四象限 ) D. 2

ln 2
7
2016

A.第一象限

C.第三象限

2.函数 f ( x) ? 2 ln x 在 x ? 2 处切线的斜率为( A.1 B. 2
5 6

C. 4

3.观察下列各式: 5 ? 3125, 5 ? 15625, 5 ? 78125,...,则 5 ( ) A.3125 4.如果 A.2

的末四位数字为

B.5625

C.0625

D.8125 )

?

a

1

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2 ,则实数 a ? ( x
B.3 C.4 D.6

5.设随机变量 X 的分布列为 P( X ? i ) ? a ( ) , i ? 1,2,3,4 ,则实数 a 的值为(
i

1 2



A.1

B.

8 15

C.

16 15

D.

8 7
) D. (-1,0) )

2 6.若 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 ln x ,则 f ' ( x) ? 0 的解集为(

A. (0,??)

B. (2,??)

C. (?1,0) ? (2,??)

7.袋中有 5 个黑球和 3 个白球,从中任取 2 个球,则其中至少有 1 个黑球的概率是( A.

5 28
2 10

B.

10 28
3

C.

15 28

D.

25 28

8. (1 ? x ? x ) 的展开式中 x 的系数为(



A.-30 B.30 C.-210 D.210 9.将 5 个颜色互不相同的球球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里, 使得放入每个盒子里的 球球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球球方法有( ) A.60 种 B.30 种 C.25 种 D.20 种 10.设 k ?

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ,若 (1 ? kx)8 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ...? a8 x8 ,


则 a1 ? a2 ? ... ? a8 ? (

A.-1 B.0 C.1 D.256 11.在 5 双不同的鞋子中任取 4 只,这 4 只鞋子中至少有 2 只鞋子原来是同一双的可能取法 种数为( ) A.30 B.90 C.130 D.140
1

12.已知函数 f ( x) ? 2ax3 ? 3ax2 ? 1, g ( x ) ? ?

a 3 x ? ,若对任意给定的 m ? [0,2] ,关于 4 2


则实数 a 的取值范围是 ( x 的方程 f ( x) ? g (m) 在区间 [0,2] 上总存在两个不同的解, A. (-?,-1) B. (1,??) C. (??,-1) ? (1,??) D. [-1,1]

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.曲线 y ? x3 ? 6 x 2 ? x ? 6 的斜率最小的切线方程为____________________. 14.在数字 1, 2, 3, 4, 5 的排列 a1 a2 a3 a4 a5 中, 满足:a1 ? a2 ,a2 ? a3 ,a3 ? a4 ,a4 ? a5 的排列个数是_________.

1 6 ? ?( x ? ) , x ? 0 x 15.设函数 f ( x) ? ? ,则当 x ? 0 时, f [ f ( x)] 的表达式的展开式中的常数项 ?? x , x ? 0 ?
为________.
'' 16.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,定义: f ( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数

f ' ( x) 的导数,若方程 f '' ( x) ? 0 有实数解 x 0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐
点”.有机智的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’ ;任何三次函数都有对称中心,且‘拐 点’就是对称中心”.请你将这一机智的发现作为条件,求: (1)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 1 的图像对称中心为___________;
3 2

(2)若函数 g ( x) ? 则 g(

1 3 1 2 5 2 x ? x ? 3x ? ? , 3 2 12 2 x ? 1

1 2 2015 ) ? g( ) ? ... ? g ( ) ? ___________. 2016 2016 2016

三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分,解答应写出必要的文字说明证明过程或演算 步骤.) 17.(本小题满分 12 分)
2x 16? x (1)若 C20 ,求实数 x 的值; ? C20

(2)已知 (1 ? ax) ? (1 ? x) 的展开式中 x 的系数为-2,求实数 a 的值.
3 5
3

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(x ? 2) ? x ? mx? n 在点 x ? 1 处的切线与直线 3x ? 7 y ? 1 ? 0 垂直, 且
2

f (?1) ? 0 ;
(1)求实数 m 和 n 的值; (2)求函数 f ( x) 在区间 [0,3] 上的最小值.
2

19. (本小题满分 12 分) 已知箱中有 5 个粉球和 4 和黑球,且规定:取出一个粉球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现 从该箱中任取(无放回,且每球取得的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所 得分数之和. (1)求得分 X 的分布列; (2)求得分 大于 4 分的概率.

20.(本小题满分 12 分) 21.已 知 数 列 {an } 满 足 an ? n ? 2n?1 (n ? N? ) , 是 否 存 在 等 差 数 列 {bn } 使
1 2 3 n 对一切 的正整数 n 都成立?并证明 你的结论. an ? b1Cn ? b2Cn ? b3Cn ? ...? bnCn

21.(本小题满分 12 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

a ? ln x ? 1, g ( x) ? (ln x ? 1)e x ? x (其中 e 为自然常数). x

(1)判断函数 f ( x ) 在 (0, e] 上的单调性; (2)是否存在实数 x0 ? (0,??) ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直?若存 在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由。
n m n n (3)若实数 m, n 为正数,求证: n e ? m e .

3

四、选做题: (请在第 22-24 题中任选一题做答哈~如果多做,则按所做的第一题计分,本 题满分 10 分) 22.已知曲线 C : y ? ln x 在 x ? e 处的切线为 l . (1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 与曲线 C 以及 x 轴所围成 的面积.

23.已知曲线 C : y ? x 2 在 x ? 1 处的切线为 l . (1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 与曲线 C 以及 x 轴所围成的面积.

24.已知曲线 C : y ?

x 在 x ? 1 处的切线为 l .

(1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 与曲线 C 以及 x 轴所围成的面积.

4

高二下学期期中数学试卷答案(理科) AACAC BDCCB CA 13. 13x ? y ? 14 ? 0 14. 16 15. -20 16.(1,2) 2015

17.(1) x ? 4 (2) a ? 2 18.(1) m ? 4, n ? 5 (2) f ( x) min ? f (0) ? 5 ? ln 2 19.(1) X ? 3,4,5,6 分布列为:

X P

3

4

5

6

5 14 25 (2) P( X ? 4) ? P( X ? 5) ? P( X ? 6) ? 42
20.存在 bn ? n 满足题意. (证明提示:数学归纳法、倒序相加、组合公式均可) 21.( 1)① a ? 0 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递增; ② a ? e 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减;

1 21

10 21

5 42

③ 0 ? a ? e 时, f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a, e] 上单调递增. (2)利用第(1)问,易知 g ( x) ? 0 恒成立,从而 x0 不存在;
'

(3)两边取对数,再由第一问易知.

e ?1 . 2 1 23.(1) 2 x ? y ? 1 ? 0 (2) S ? . 12 1 24.( 1) x ? 2 y ? 1 ? 0 (2) S ? . 3
22.(1) x ? ey ? 0 (2) S ?

5


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