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10月数学考 2013-2014学年福建省四地六校联考高一(上)第二次月考数学试卷

时间:2016-07-09


2013-2014 学年福建省四地六校联考高一(上)第二次月考数学 试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分,每小题只有一个答案是正确的) 1. (5 分) (2005?江苏)设集合 A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C= ( ) A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3

,4} 2. (5 分) (2014 秋?东莞期末)下列函数中与函数 y=x 表示同一函数的是( ) A.y=( )
2

B.y=

C.y=

D.y=
x﹣2

3. (5 分) (2014 秋?合浦县期中)函数 y=a +2(a>0,且 a≠1)的图象必经过点( A. (0,1) B. (1,1) C. (2,2) D. (2,3) 4. (5 分) (2007?揭阳二模)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的是(
3 2
﹣|x|

) )

A.y=x B.y=﹣x +1 C.y=|x|+1 D.y=2 x 5. (5 分) (2010?天津)函数 f(x)=2 +x 的零点所在的区间为( ) A. (﹣2,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,1) D. (1,2) 6. (5 分) (2014 秋?泉港区校级期中)下表显示出函数 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此 可判断它最可能的函数模型为( ) x﹣2 3 ﹣1 0 1 2 y\frac{1}{16}0.261.113.9616.0563.98 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 7. (5 分) (2014 秋?合浦县期中) 函数 y= A. (﹣∞, ] B.[ ,+∞) C.[1,2]
0.3

在下列哪个区间上是增函数 ( D. (﹣∞,﹣1]∪[2,+∞)



8. (5 分) (2012 秋?济南期末) 设 a=3 , b=logπ3, c=log0.32 则 a, b, c 的大小关系是 ( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 9. (5 分) (2013 秋?德化县校级月考)已知定义在 R 上函数 f(x)部分自变量与函数值对 应关系如表,若 f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,不等式﹣1≤f(x)<3 的解集 是( ) x 0 2 3 4 y 1 2 3 ﹣1 A. (﹣4,0) B. (﹣4,4) C. (﹣∞,﹣4)∪(0,4) D. (0,4)

10. (5 分) (2013 秋?下城区校级期末)函数

的图象的大致形状是(



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A.

B.

C.

D.

11. (5 分) (2013 秋?福州期末)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定 的不等实 x1、x2,不等式(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0 恒成立,则不等式 f(1﹣x)<0 的解集为( ) A. (﹣∞,1) B. (﹣∞,0) C. (0,+∞) D. (1,+∞) 12. (5 分) (2014 秋?泉港区校级期中)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域 2 不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么解析式为 y=2x ﹣1,值域为{1,7}的“孪生函数” 的所有函数值的和等于( ) A.32 B.64 C.72 D.96 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,计 16 分) 13. (4 分) (2011?雨花区校级模拟)函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域是 14. (4 分) (2014 秋?泉港区校级期中)计算:0.25 15. (4 分) (2014 秋?赫山区校级月考)设函数
﹣0.5

. . ,则满足 f

﹣log525=

(x)≤2 的 x 的取值范围是 . 16. (4 分) (2013 秋?泗水县校级月考)给出以下三个命题: ①函数 f(x)=x|x|+bx+c 为奇函数的充要条件是 c=0; 2 ②若函数 f(x)=lg(x +ax﹣a)的值域是 R,则 a≤﹣4 或 a≥0; ③若函数 y=f(x﹣1)是偶函数,则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=﹣1 对称. 其中正确的命题序号是 . 三、解答题(共 6 题,满分 74 分) 17. (12 分) (2014 秋?泉港区校级期中) 设集合 A={x|﹣1≤x<3}, B={x|2x﹣4≥x﹣2}, C={x|x≥a ﹣1}. (1)求 A∩B、?RA; (2)若 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分) (2015 秋?湘西州校级期末) 已知函数 ( f x) =2 +2 (1)求 a、b 的值;
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x ax+b

, 且





(2)判断 f(x)的奇偶性并证明. 19. (12 分) (2014 秋?泉港区校级期中) 已知 a>0, a≠1 且 loga3>loga2, 若函数 f (x) =logax 在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为 1. (1)求 a 的值; 2 (2)若 1≤x≤3,求函数 y=(logax) ﹣loga +2 的值域. 9﹣3m * 20. (12 分) (2013 秋?福建月考)已知幂函数 f(x)=x (m∈N )的图象关于原点对称, 且在 R 上函数值随 x 的增大而增大. (1)求 f(x)表达式; (2)求满足 f(a+1)+f(2a﹣3)<0 的 a 的取值范围. 21. (12 分) (2010?南京三模)某品牌茶壶的原售价为 80 元/个,今有甲、乙两家茶具店销 售这种茶壶,甲店用如下方法促销:如果只购买一个茶壶,其价格为 78 元/个;如果一次购 买两个茶壶,其价格为 76 元/个;…,一次购买的茶壶数每增加一个,那么茶壶的价格减少 2 元/个,但茶壶的售价不得低于 44 元/个;乙店一律按原价的 75%销售.现某茶社要购买这 种茶壶 x 个,如果全部在甲店购买,则所需金额为 y1 元;如果全部在乙店购买,则所需金 额为 y2 元. (1)分别求出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式; (2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少? 22. (14 分) (2014 秋?泉港区校级期中)定义在[﹣1,﹣1]上的偶函数 f(x) ,当 x∈[﹣1, 0]时,f(x)= (a∈R) .

(1)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (2)求出 f(x)在[0,1]上的最大值; (3)若 f(x)是[0,1]上的增函数,求实数 a 的取值范围.

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2013-2014 学年福建省四地六校联考高一(上)第二次月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分,每小题只有一个答案是正确的) 1. (5 分) (2005?江苏)设集合 A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C= ( ) A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】属于集合简单运算问题.此类问题只要审题清晰、做题时按部就班基本上就不会出 错. 【解答】解:∵集合 A={1,2},B={1,2,3}, ∴A∩B=A={1,2}, 又∵C={2,3,4}, ∴(A∩B)∪C={1,2,3,4} 故选 D. 【点评】考查的是集合交、并、补的简单基本运算.
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2. (5 分) (2014 秋?东莞期末)下列函数中与函数 y=x 表示同一函数的是( A.y=( )
2



B.y=

C.y=
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D.y=

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】确定函数的三要素是:定义域、对应法则和值域,据此可判断出答案. 【解答】解:C.∵ =x,与已知函数 y=x 的定义域和对应法则完全一样,∴二者是

同一函数. 故选 C. 【点评】本题考查了函数的定义,利用确定函数的三要素即可判断出. 3. (5 分) (2014 秋?合浦县期中)函数 y=a +2(a>0,且 a≠1)的图象必经过点( ) A. (0,1) B. (1,1) C. (2,2) D. (2,3) 【考点】指数函数的单调性与特殊点. 【专题】计算题;函数的性质及应用. x 【分析】根据指数函数的性质,指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象恒过(0,1)点,再根 据函数图象的平移变换法则,求出平移量,进而可以得到函数图象平移后恒过的点的坐标. x 【解答】解:由指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象恒过(0,1)点 x﹣2 而要得到函数 y=a +2, (a>0,a≠1)的图象, x 可将指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象向右平移两个单位,再向上平移两个单位. 则(0,1)点平移后得到(2,3)点 故选:D.
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x﹣2

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【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质,其中根据函数 y=a +2(a>0,a≠1) 的解析式,结合函数图象平移变换法则,求出平移量是解答本题的关键. 4. (5 分) (2007?揭阳二模)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的是( A.y=x B.y=﹣x +1 C.y=|x|+1 D.y=2 【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性. 3 【解答】解:A.函数 y=x 为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,所以 A 不合适. 2 B.函数 y=﹣x +1 为偶数,但在(0,+∞)上单调递减,所以 B 不合适. C.函数 y=|x|+1 为偶函数,在(0,+∞)上单调递增,所以 C 合适.
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x﹣2



3

2

﹣|x|

D.函数 y=2 为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,所以 D 不合适. 故选 C. 【点评】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断, 要求熟练掌握常见基本函数的奇偶性和 单调性. 5. (5 分) (2010?天津)函数 f(x)=2 +x 的零点所在的区间为( ) A. (﹣2,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,1) D. (1,2) 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】将选项中区间的两端点值分别代入 f(x)中验证,若函数的两个值异号,由零点 存在定理即可判断零点必在此区间.
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﹣|x|

x

【解答】解:当 x=0 时,f(0)=2 +0=1>0, 当 x=﹣1 时,f(﹣1)= <0,

0

由于 f(0)?f(﹣1)<0,且 f(x)的图象在[﹣1,0]上连续, 根据零点存在性定理,f(x)在(﹣1,0)上必有零点, 故答案为 B. 【点评】 本题主要考查了函数的零点及零点存在性定理, 关键是将区间的端点值逐个代入函 数的解析式中,看函数的两个值是否异号,若异号,则函数在此开区间内至少有一个零点. 6. (5 分) (2014 秋?泉港区校级期中)下表显示出函数 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此 可判断它最可能的函数模型为( ) x﹣2 3 ﹣1 0 1 2 y\frac{1}{16}0.261.113.9616.0563.98 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 由表格可知: 无论 x<0, x=0, x>0, 都有 y>0, 故最有可能的是指数函数类型. 设
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y=f(x)=ca (a>0 且 a≠1) ,由

x

,解得

.可得 f(x)=4 .再

x

进行验证即可.
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【解答】解:由表格可知:无论 x<0,x=0,x>0,都有 y>0,故最有可能的是指数函数 类型.
x

设 y=f(x)=ca (a>0 且 a≠1) ,由
x

,解得



∴f(x)=4 . ﹣1 3 验证:f(﹣1)=4 =0.25 接近 0.26;f(0)=1 接近 1.11;f(1)=4 接近 3.96;f(3)=4 =64 接近 63.98. x 由上面验证可知:取函数 f(x)=4 .与所给表格拟合的较好. 故选 C. 【点评】 本题考查了根据函数的性质和实际问题恰当选择函数模型解决实际问题, 属于难题.

7. (5 分) (2014 秋?合浦县期中) 函数 y= A. (﹣∞, ] B.[ ,+∞)
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在下列哪个区间上是增函数 ( D. (﹣∞,﹣1]∪[2,+∞)



C.[1,2]

【考点】复合函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 函数 y=

是由

和 t=x ﹣3x+2 复合而成的, 易知两函数的

2

单调区间,根据复合函数单调性的判断方法“同增异减”可作出判断. 【解答】解:函数 y=
2

是由

和 t=x ﹣3x+2 复合而成的, 递减,

2

因为 t=x ﹣3x+2 在(﹣∞, ]上递减,则[ ,+∞)上递增,且 所以函数 y= 在(﹣∞, ]上递增,在[ ,+∞)上递减,

故选 A. 【点评】 本题考查指数函数、 二次函数的单调性及复合函数单调性的判断方法, 正确理解“同 增异减”的含义是解决复合函数单调性的关键. 8. (5 分) (2012 秋?济南期末) 设 a=3 , b=logπ3, c=log0.32 则 a, b, c 的大小关系是 ( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【专题】函数的性质及应用. 0.3 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和特殊点可得 a=3 >1,b=logπ3<1,c=log0.32 >0,从而得到 a,b,c 的大小关系. 0.3 0 【解答】解:由于 a=3 >3 =1,b=logπ3<logππ=1,c=log0.32>log0.31=0, 故有 c<b<a, 故选 B. 【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点,属于中档题.
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0.3

第 6 页(共 15 页)

9. (5 分) (2013 秋?德化县校级月考)已知定义在 R 上函数 f(x)部分自变量与函数值对 应关系如表,若 f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,不等式﹣1≤f(x)<3 的解集 是( ) x 0 2 3 4 y 1 2 3 ﹣1 A. (﹣4,0) B. (﹣4,4) C. (﹣∞,﹣4)∪(0,4) D. (0,4) 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】利用函数的单调性解不等式需要将﹣1 和 3 变成函数值,因此观察表格,将原不等 式转化为 f(0)≤f(x)<f(4) .再根据函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函数,进行等价 变形,即可得出原不等式的解集. 【解答】解:∵由表格,可得在[0,+∞)上 f(x)满足 f(0)=﹣1,且 f(4)=3 ∴根据 f(x)在[0,+∞)上为增函数,得 当 x≥0 时不等式﹣1≤f(x)<3 的解集是[0,4) 又∵f(x)为偶函数, ∴当 x<0 时,不等式﹣1≤f(x)<3 即﹣1≤f(﹣x)<3, 解集满足 0<﹣x<4,化简得 x∈(﹣4,0) 综上所述,原不等式的解集为(﹣4,4) 故选:B 【点评】本题给出偶函数满足的条件,求解关于 x 的不等式,着重考查了函数的奇偶性、单 调性和不等式的解法等知识,属于中档题.
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10. (5 分) (2013 秋?下城区校级期末)函数

的图象的大致形状是(



A.

B.

C. 【考点】函数的图象. 【专题】图表型.
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D.

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【分析】先将函数转化为:

,再由 0< <1,可推知在(0,

+∞)上减函数,在(﹣∞,0)上增函数,从而得到选项.

【解答】解:将函数化简为:



∵0< <1, ∴在(0,+∞)上减函数, 在(﹣∞,0)上增函数, 故选 D. 【点评】本题考查了指数函数的图象与性质,同时考查了分类讨论思想和函数的单调性,是 个基础题. 11. (5 分) (2013 秋?福州期末)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定 的不等实 x1、x2,不等式(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0 恒成立,则不等式 f(1﹣x)<0 的解集为( ) A. (﹣∞,1) B. (﹣∞,0) C. (0,+∞) D. (1,+∞) 【考点】奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由所给不等式可判断函数的单调性,而不等式可化为 f(1﹣x)<f(0) ,利用单调 性可去掉符号“f”,从而转化为一次不等式,解出即可.
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【解答】解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0 恒成立, ∴f(x)在 R 上为减函数, ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,则 f(1﹣x)<0=f(0) , 又 f(x)为减函数,∴1﹣x>0,解得 x<1, ∴不等式 f(1﹣x)<0 的解集为(﹣∞,1) . 故选 A. 【点评】本题考查函数单调性及其应用,属基础题,正确理解所给不等式的含义是解决本题 的关键. 12. (5 分) (2014 秋?泉港区校级期中)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域 2 不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么解析式为 y=2x ﹣1,值域为{1,7}的“孪生函数” 的所有函数值的和等于( ) A.32 B.64 C.72 D.96 【考点】函数的值. 【专题】计算题;新定义.
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【分析】根据已知中若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数 为“孪生函数”, 再由函数解析式为 y=2x ﹣1, 值域为{1, 7}, 由 y=1 时, x=±1, y=7 时, x=±2, 2 我们用列举法,可以得到函数解析式为 y=2x ﹣1,值域为{1,7}的所有“孪生函数”,进而得 到答案. 2 【解答】解:由题意可得,当函数解析式为 y=2x ﹣1,值域为{1,7}时, 函数的定义域可能为:{﹣2,﹣1},{﹣2,1},{2,﹣1},{2,1},{﹣2,﹣1,1},{﹣2, ﹣1,2},{﹣1,1,2},{﹣2,1,2},{﹣2,﹣1,1,2},共 9 个 ∴所有的函数值的和为(7+1)×9=72 故选 C 【点评】本题考查的知识点是新定义,函数的三要素,基本用列举法,是解答此类问题的常 用方法,但列举时,要注意一定的规则,以免重复和遗漏. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,计 16 分) 13. (4 分) (2011?雨花区校级模拟)函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域是 {x|x>1} . 【考点】对数函数的定义域. 【专题】计算题. 【分析】根据对数的真数大于零,列出不等式进行求解,再用集合或区间的形式表示出来. 【解答】解:要使函数有意义,则有 x﹣1>0,解得,x>1, ∴函数的定义域是{x|x>1}, 故答案为:{x|x>1}. 【点评】本题考查了函数定义域的求法,即利用对数的真数大于零,分母不为零等等进行求 解,注意最后要用集合或区间的形式表示,这是易错的地方.
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2

14. (4 分) (2014 秋?泉港区校级期中)计算:0.25 ﹣log525= 0 . 【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用指数幂的运算法则和对数的运算法则即可得出.
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﹣0.5

【解答】解:原式=

=2﹣2=0.

故答案为 0. 【点评】本题考查了指数幂的运算法则和对数的运算法则,属于基础题.

15. (4 分) (2014 秋?赫山区校级月考)设函数

,则满足 f

(x)≤2 的 x 的取值范围是 x≤﹣1 或 x>1 . 【考点】对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质. 【专题】分类讨论;函数的性质及应用. 【分析】解满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围,这时需考虑 f(x)选用哪段解析式,故讨论 x≤1 与 x>1 两种情形,分别进行求解即可. x+2 1 【解答】解:当 x≤1 时,f(x)≤2,即 2 ≤2=2 ,解得 x≤﹣1; 当 x>1 时,f(x)≤2,即 1﹣log2x≤2,
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则 log2x≥﹣1=log2 ,解得 x≥ ,而 x>1,则 x>1;
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综上所述:满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是:x≤﹣1 或 x>1. 故答案为:x≤﹣1 或 x>1. 【点评】本题主要考查了根据函数值求变量范围,该题是分段函数故需讨论用哪段解析式, 同时考查了利用函数单调性解不等式,属于基础题. 16. (4 分) (2013 秋?泗水县校级月考)给出以下三个命题: ①函数 f(x)=x|x|+bx+c 为奇函数的充要条件是 c=0; ②若函数 f(x)=lg(x +ax﹣a)的值域是 R,则 a≤﹣4 或 a≥0; ③若函数 y=f(x﹣1)是偶函数,则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=﹣1 对称. 其中正确的命题序号是 ①②③ . 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】函数的性质及应用.
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2

【分析】①利用函数奇偶性的定义进行判断.②根据函数 f(x)的值域得到函数 t=x +ax ﹣a 与 x 轴有交点即可.③根据函数奇偶性的性质进行判断. 【解答】解:①若 f(x)=x|x|+bx+c 为奇函数,则 f(0)=0,即 c=0,∴①正确. 2 2 ②若函数 f(x)=lg(x +ax﹣a)的值域是 R,则函数 t=x +ax﹣a 与 x 轴有交点即可,即 2 △ =a +4a≥0,解得 a≥0 或 a≤﹣4,∴②正确. ③若函数 y=f(x﹣1)是偶函数,则函数 y=f(x﹣1)关系 y 轴对称,将 y=f(x﹣1)向左 平移一个单位得到 y=f(x) ,此时函数 f(x)关于 x=﹣1 对称,∴③正确. 故答案为:①②③. 【点评】本题主要考查函数的性质的应用,要求熟练掌握函数的性质. 三、解答题(共 6 题,满分 74 分) 17. (12 分) (2014 秋?泉港区校级期中) 设集合 A={x|﹣1≤x<3}, B={x|2x﹣4≥x﹣2}, C={x|x≥a ﹣1}. (1)求 A∩B、?RA; (2)若 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 【考点】交集及其运算;并集及其运算;补集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】 (1)求出集合 B 中不等式的解集确定出 B,求出 A 与 B 的交集,根据全集 R 求出 A 的补集即可; (2)根据 B∪C=C,得到 B 为 C 的子集,由 B 与 C 列出 a 的不等式,求出不等式的解集即 可确定出 a 的范围. 【解答】解: (1)由题意知,B={x|x≥2}, ∵A={x|﹣1≤x<3}, ∴A∩B={x|2≤x<3}, ∵全集 R,∴CRA={x|x<﹣1 或 x≥3}; (2)∵B∪C=C,∴B?C, ∴a﹣1≤2,即 a≤3. 【点评】此题考查了交、并、补集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
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2

18. (12 分) (2015 秋?湘西州校级期末) 已知函数 ( f x) =2 +2 (1)求 a、b 的值;
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x

ax+b

, 且





(2)判断 f(x)的奇偶性并证明. 【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用.
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【分析】 (1)直接根据



建立方程组,然后根据指数方程的求解方

法可求出 a、b 的值; (2)由(1)得 f(x)的解析式,然后求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,然后 根据奇偶性的定义进行判定即可. 【解答】解: (1)∵f(x)=2 +2
x ax+b

,且











解得:


x
﹣x

(2)由(1)得 f(x)=2 +2 , ﹣x x ∵f(x)的定义域为 R,关于原点对称,且 f(﹣x)=2 +2 =f(x) , ∴f(x)为偶函数. 【点评】本题主要考查了指数方程的求解,以及函数奇偶性的判定,同时考查了运算求解的 能力,属于基础题. 19. (12 分) (2014 秋?泉港区校级期中) 已知 a>0, a≠1 且 loga3>loga2, 若函数 f (x) =logax 在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为 1. (1)求 a 的值; (2)若 1≤x≤3,求函数 y=(logax) ﹣loga +2 的值域. 【考点】二次函数在闭区间上的最值;函数的值域. 【专题】函数的性质及应用.
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2

【分析】 (1)由

,可得 a>1,再根据 loga3a﹣logaa=1,求得 a 的值. ,

(2)先求得 0≤log3x≤1,根据为 利用二次函数的性质求得它的值域. 【解答】解: (1)∵ ,

∴a>1. 又∵y=logax 在[a,3a]上为增函数, ∴loga3a﹣logaa=1, 即 loga3=1,∴a=3. (2)∵1≤x≤3, ∴0≤log3x≤1,

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由于函数

可化为 ,

故当 log3x= 时,函数 y 取得最小值为 当 log3x=1 时,函数 y 取得最大值为 , ∴所求函数的值域为 .



【点评】本题主要考查对数函数的定义域和值域,二次函数的性质应用,属于中档题. 20. (12 分) (2013 秋?福建月考)已知幂函数 f(x)=x (m∈N )的图象关于原点对称, 且在 R 上函数值随 x 的增大而增大. (1)求 f(x)表达式; (2)求满足 f(a+1)+f(2a﹣3)<0 的 a 的取值范围. 【考点】函数单调性的性质;函数解析式的求解及常用方法;幂函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. * 【分析】 (1)函数在(0,+∞)上递增,可得 9﹣3m>0,再由 m∈N ,且 9﹣3m 为奇数, 可得 m 的值,从而得到 f(x)的解析式. (2)由题意可得不等式即 f(a+1)<f(3﹣2a) ,根据函数在 R 上递增,可得 a+1<3﹣2a, 由此求得 a 的范围.
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9﹣3m

*

【解答】解: (1)∵函数 f(x)=x m<3.
*

9﹣3m

(m∈N )在(0,+∞)上递增,∴9﹣3m>0,解得

*

又 m∈N ,∴m=1,2. 3 又函数的图象关于原点对称,∴9﹣3m 为奇数,故 m=2,故 f(x)=x . (2)∵f(a+1)+f(2a﹣3)<0,∴f(a+1)<﹣f(2a﹣3) . 又 f(x)为奇函数,∴f(a+1)<f(3﹣2a) , 又函数在 R 上递增,∴a+1<3﹣2a, 解得 ,即 a 的范围为(﹣∞, ) .

【点评】 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用, 求函数的解析式的方法, 属于中档题. 21. (12 分) (2010?南京三模)某品牌茶壶的原售价为 80 元/个,今有甲、乙两家茶具店销 售这种茶壶,甲店用如下方法促销:如果只购买一个茶壶,其价格为 78 元/个;如果一次购 买两个茶壶,其价格为 76 元/个;…,一次购买的茶壶数每增加一个,那么茶壶的价格减少 2 元/个,但茶壶的售价不得低于 44 元/个;乙店一律按原价的 75%销售.现某茶社要购买这 种茶壶 x 个,如果全部在甲店购买,则所需金额为 y1 元;如果全部在乙店购买,则所需金 额为 y2 元. (1)分别求出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式; (2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少? 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】计算题.
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【分析】 (1) 根据甲店茶壶的售价不得低于 44 元/个可知甲店购买所需金额为一个分段函数, 若全部在乙店购买,则所需金额为一个一次函数; (2)先求出茶具店购买茶壶花费 y 一样时所买茶壶个数,然后分段可知该茶社去哪家茶具 店购买茶壶花费较少. 【解答】解: (1)
2

,y2=60x(x∈N+)

(2)令﹣2x +80x=60x 解得 x=10 当 0<x<10 时,去乙店花费较少 当 x=10 时,甲乙两店一样 当 x>10 时,去甲店花费较少 【点评】本题主要考查了根据题意建立函数关系,以及比较函数大小,解题的关键分段的标 准,属于基础题. 22. (14 分) (2014 秋?泉港区校级期中)定义在[﹣1,﹣1]上的偶函数 f(x) ,当 x∈[﹣1, 0]时,f(x)= (a∈R) .

(1)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (2)求出 f(x)在[0,1]上的最大值; (3)若 f(x)是[0,1]上的增函数,求实数 a 的取值范围. 【考点】二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质.
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【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)设 x∈[0,1],则﹣x∈[﹣1,0],由条件可得 f(﹣x)的解析式.再由 f(﹣x) =f(x) ,可得 f(x)的解析式. (2)令 t=2 ,则 t∈[1,2],故有 f(x)=g(t)=t ﹣at= 数的性质求得 g(t)的最大值. (3)由于 f(x)是[0,1]上的增函数,可得 g(t)=t ﹣at= 调递增,故有 ≤1,由此求得实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)设 x∈[0,1],则﹣x∈[﹣1,0],由题意可得 f(﹣x)= a?2 . 再由 f(x)为偶函数,可得 f(﹣x)=f(x) , x x 故有 f(x)=4 ﹣a?2 ,x∈[0,1]. (2)令 t=2 ,∵x∈[0,1],∴t∈[1,2],故有 f(x)=g(t)=t ﹣at= 显然,g(t)是二次函数,对称轴为 t= ,图象开口向上. 当 ≤ 时,即 a≤3 时,g(t)的最大值为 g(2)=4﹣2a;
x 2 x 2 x 2



,再利用二次函



在[1,2]上单



=4 ﹣

x





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当 > 时,即 a>3 时,g(t)的最大值为 g(1)=1﹣a. 综上可得,a≤3 时,g(t)的最大值为 4﹣2a;a>3 时,g(t)的最大值为 1﹣a. (3)由于 f(x)是[0,1]上的增函数,故 g(t)=t ﹣at= 递增, 故有 ≤1,解得 a≤2,故实数 a 的取值范围为(﹣∞,2]. 【点评】本题主要考查求函数的解析式,求二次函数在闭区间上的最值,函数的单调性的应 用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
2



在[1,2]上单调

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参与本试卷答题和审题的老师有:sdwdlcy;沂蒙松;qiss;maths;尹伟云;wyz123;caoqz; ywg2058;minqi5;吕静;gongjy;sllwyn(排名不分先后) 菁优网 2016 年 6 月 17 日

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