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汕头市金山中学2011~2012学年高二上学期期中考试(数学理)

时间:2013-06-20


汕头市金山中学 2011~2012 学年高二上学期期中考试 理科数学试题
考试范围:必修 5 除基本不等式外的内容。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最佳答案) . 1、

1 1 1 ? ?? ? n ? ( ▲ ) 2 4 2 1 2 n?1
2

/>A、 2 ?

B、 2 ?

1 2n

C、 1 ?

1 2 n?1

D、 1 ?

1 2n

2、不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为( ▲



{ { A、 x | x ? 3或x ? ?1} B、 x | ?1 ? x ? 3} C、 x | x ? 1或x ? ?3} D、 x | ?3 ? x ? 1} { {
3、已知 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项和, S n ? 3n ? a ,则 a1 ? ( ▲ ) (选择最佳答案) A、 3 ? a B、 ?1 C、 2 D、 1 4、设等差数列 {an } 的前 n 项之和为 S n ,已知 S10 ? 100 ,则 a4 ? a7 ? ( ▲ ) A、12 B、20 C、40 D、100 5、已知等差数列 {an } 和等比数列 {bn } ,它们的首项是一个相等的正数,且第 3 项也是相等 的正数,则 a2 与 b2 的大小关系为( ▲ ) A、 a 2 ? b2 B、 a 2 ? b2 C、 a 2 ? b2 D、 a 2 ? b2

6、在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,并且 a=1,b= 3 ,A=30°, 则 c 的值为( ▲ A、2 B、1 ) 。 C、1 或 2 ) B、若 a ? b ,则有 a | c |? b | c | , D、若 a ? b ,则有 D、 3 或 2

7、下面结论正确的是( ▲ A、若 a ? b ,则有

1 1 ? , a b

C、若 a ? b ,则有 | a |? b ,

a ? 1。 b

8、设平面内有 n 条直线( n ? 3 ) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同 一点.若用 f (n) 表示这 n 条直线交点的个数,则 f ( 4) = ▲;当 n ? 4 时, f (n) = ▲. A.4, C.5,

(n ? 1)( n ? 2) 2 (n ? 1)( n ? 1) 2

B.4, D.5,

(n ? 1)( n ? 1) 2 (n ? 1)( n ? 2) 2

9、如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且 AB ? AD,2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则

sin C 的值为( ▲ )

1

A.

3 3

B.

3 6

C.

6 3

D.

6 6

10、设单调递增的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S 4 ? 10 ,

S5 ? 15 ,则 a4 的取值范围是( ▲ )
A、

5 ? a4 ? 4 2

B、

5 ? a4 ? 4 2

C、

5 ? a4 ? 4 2

D、

5 ? a4 ? 4 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) . 11、设 R 为平面上以 O(0,0) , A(0,?2) , B(4,2) 为顶点的三角形区域(包括边界) ,则在区域

R 上 2 x ? y 的最大值为





12、某观察站 C 与两灯塔 A 、 B 的距离分别为 300 米和 500 米,测得灯塔 A 在观察站 C 北 偏东 30 ,灯塔 B 在观察站 C 正西方向,则两灯塔 A 、 B 间的距离为 ▲
?



13、已知 ?ABC 的一个内角为 120 ? ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面 积为 ▲ 。

14、 如图, 在面积为 1 的正 ?A1 B1C1 内作正 ?A2 B2C2 , AA2 ? 2 2 1 , 使 1 AB ????? ????? ????? ? ????? B1B2 ? 2B2C1 , C1C2 ? 2C2 A1 ,依此类推, 在正 ?A2 B2 C2 内再作正

?? ?? ?

?? ?? ?

?A3 B3C3 ,……。记正 ?Ai Bi Ci 的面积为 ai (i ? 1,2,??, n) ,
则 a1+a2+……+an= ▲ 。

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 15. (本题 12 分) 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 a ? 2 , c ? 3 , cos B ? ⑴求 b 的值; ⑵求 sin C 的值.

1 . 4

16、 (本小题满分 12 分) 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 ? a( a ? R ) ,设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 a1 、 a2 、 a4 恰为等比数列 {bn } 的前三项。 ⑴求数列 {an } 的通项公式及 S n ; ⑵当 n ? 2 时,比较 An ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 的大小. ? ??? 与 Bn ? (可使用结 b1 b2 bn S1 S 2 Sn

n 论: n ? 2 时, 2 ? n ? 1 )

2

17. (本题满分 14 分) 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨; 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每 吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料 不超过 18 吨.那么在一个生产周期内该企业生产甲、 乙两种产品各多少吨可获得最大利润, 最大利润是多少?(用线性规划求解要画出规范的图形)

18.(本题满分 14 分)

设数列 ?an ? 满足 a1 ? a , an?1 ? can ? 1 ? c , n ? N ,其中 a, c 为实数,且 c ? 0
?

⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 a ?

1 1 , c ? , bn ? n(1 ? an ), n ? N * ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。 2 2

19.(本小题 14 分) 已知关于 x 的不等式 ( x ? 2)[(a ? 2) x ? (a ? 4)] ? 0 的解集为 A ,且 3 ? A . ⑴求实数 a 的取值范围; ⑵求集合 A 。

20. (本小题 14 分) 已 知 ? , ? ? R 且 ?? ? 0 , 数 列 {xn } 满 足 x1 ? ? ? ? , x2 ? ? 2 ? ?? ? ? 2 , ,令 xn?2 ? (? ? ? ) xn?1 ? ?? ? xn ( n ? 1, n ? N ) bn ? xn?1 ? ?xn 。 ⑴求证: {bn } 是等比数列; ⑵求数列 {xn } 的通项公式; (不能直接使用竞赛书上的结论,要有推导过程) ⑶若 ? ? ? ?

1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 2

3

参考答案
一、选择题: 1 题号 D 答案 二、填空题 题号 答案 2 C 3 C 4 B 5 B 6 C 7 C 8 D 9 D 10 A

11 10

12 700 米

13

14

15 3

3 1 (1 ? n ) 2 3

16、本小题满分 12 分) ( 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 ? a a ? R ) ( ,设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 、 a2 、 a4 恰为等比数列 {bn } 的前三项。 (1)求数列 {an } 的通项公式及 S n ;
n (2)已知 n ? 2 时, 2 ? n ? 1 ,比较 An ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ??? 与 Bn ? b1 b2 bn S1 S 2 Sn
2

( n ? 2 )的大小. (I)解:设等差数列 {an } 的公差为 d ,由 a2 ? a1a4 , ………………1 分 得 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d )
2

…………………………2 分
4

17.解: 设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,

?x ? 0 ?y ? 0 ? 则有: ? ?3x ? y ? 13 ?2 x ? 3 y ? 18 ? 目标函数 z ? 5x ? 3 y ……………………………………5分
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如图:………9 分 作直线 l : 5 x ? 3 y ? 0 ,平移,观察知, ;当 l 经过点 M 时, z 取到最大值 解方程组 ?

? 3x ? y ? 13 得 M 的坐标为 M (3,4) ?2 x ? 3 y ? 18

Z max ? 5x ? 3 y ? 27 …………………………………………………………………13 分
答:生产甲、乙两种产品各 3 吨和 4 吨,能够产生最大利润 27 万元。……………14 分 18.(本题满分 14 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? a , an?1 ? can ? 1 ? c , n ? N ,其中 a, c 为
?

实数,且 c ? 0 ⑴求数列 ?an ? 的通项公式;

1 1 , c ? , bn ? n(1 ? an ), n ? N * ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。 2 2 18.解 (1) 方法一: ∵an?1 ?1 ? c(an ?1)
⑵设 a ?

∴当 a ? 1 时, ?an ? 1? 是首项为 a ? 1 ,公比为 c 的等比数列。
∴an ?1 ? (a ?1 )n?1 ,即 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 。当 a ? 1 时, an ? 1仍满足上式。 c

5

当 a ? 0 时,集合 A 为空集; 当 a ? 0 时,集合 A ? ? x |

? ?

a?4 ? ? x ? 2? . ………………………14 分 a?2 ?
6

?? n ?1 ? ? n ?1 , (? ? ? ) ? 综上所述,x n ? ? ? ? ? …………………………………………………10 分 ?(n ? 1)? n ?1 , (? ? ? ) ?
(3)因为 ? ? ? ?

1 ,由⑵可得 2

1 x n ? (n ? 1) ? ( ) n 2 1 1 1 1 1 (1 ? ? n ? 1 2 ? S1 ? 1 2 1 2 1 )3 1 ... ? ( 1 ) n ?1 ? 211 (2 ) 2( 1 3 ?3 3 ) 3 ?3?1 n ? ((1 nn ? ? 1 n Sn ? ? ( n )? ?(( )) ? ( ) 3 ? ( ? (? ) n ?? ?1 ?? ?? ((? )? 2? ? ) )?(?? ?)n? ...)? ? ? )) ? ? ? ( ) ... ) 2 ( ... ( ? 2 ( ?2 ? ?2 ) 2? 3? 2 2 2 2 ? ? 2 ? 2 22 2 2 2 2 2 ? 2 ? ? 2 ?2

1 1 1 1 ? 1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 3 ? ( n ? 3)( ) n (使用第 18 题结论) 2 2 2 2
…………………………………………………………………14 分

7


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