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(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练8 新人教A版


圆锥曲线(8)
1、下列四个命题中不正确 的是( ... D ) (A)若动点 P 与定点 A(?4, 0) 、 B(4, 0) 连线 PA 、 PB 的斜率之积为定值 的一部分 (B) 设 m, n ? R , 常数 a ? 0 , 定义运算 “? ” :m ? n ? (m ? n) 2 ? (m ? n) 2 , 若 x ? 0, 则动点 P( x, x ? a

) 的轨迹是抛物线的一部分 (C)已知两圆 A : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 、圆 B : ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 ,动圆 M 与圆 A 外切、与圆 B 内切,则动圆 的圆心 M 的轨迹是椭圆 (D)已知 A(7,0), B(?7,0), C (2,?12) ,椭圆过 A, B 两点且以 C 为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹 为双曲线 2、设双曲线 C:

4 ,则动点 P 的轨迹为双曲线 9

x2 y2 ? ? 1 ( b ? a ? 0 )的左、右焦点分别为 F1,F2.若在双曲线的右支上存在一点 P, a2 b2

使得 |PF1|=3|PF2|,则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为( A ) (A) (1,2] (B) ( 2,2] (C) ( 2,2) (D) (1,2)

3、已知 3x 2 ? 2 y 2 ? 6 x A.2 B.3

则 m ? x 2 ? y 2 ? 1 的最大值为(D ) C. 4 D.

7 2

4、已知双曲线 ( A. ? C )

x2 y2 ?? ? ? ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线的倾斜角 ? ? ? , ? ,则离心率 e 的取值范围是 2 a b ?6 4?
?2 3 ? , 2? ? ? 3 ? ?2 3 ? , ? ?? ? ? 3 ?

?2 3 ? ,2? 3 ? ?

B. [ 2 ,2]

C.

D. ?

x2 y 2 5、椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两顶点为 A(a, 0), B(0, b ) ,且左焦点为 F , ?FAB 是以角 B 为直角的直角 a b
三角形,则椭圆的离心率 e 为( B ) A.

3 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

1? 5 4

D.

3 ?1 4

6、设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ,F 是右焦点, l 是过点 F 的一条直线(不与 y 轴平行) ,交椭圆于 A、B 两点, l ' 25 9 DF 2 是 AB 的中垂线,交椭圆的长轴于一点 D,则 的值是 AB 5

7、如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 顶 点 为 A , 左 焦 点 为 F , 上 顶 点 为 B , 若 a 2 b2
1

?BAO ? ?BFO ? 90? ,则该椭圆的离心率是 .

5 ?1 2

8、如果一个平面与一个圆柱的轴成 ? ( 0? ? ? ? 90? )角,且该平面与圆柱的侧面相交,则它们的交线是 一个椭圆. 当 ? ? 30 ? 时,椭圆的离心率是 .

3 2

9、已知直线 x ? y ? 1 ? 0 经过椭圆 S:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点和一个顶点. a 2 b2

(1)求椭圆 S 的方程; (2)如图,M,N 分别是椭圆 S 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k. y ①若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; ②对任意 k ? 0 ,求证: PA ? PB . (1) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 中令 x ? 0 得 y ? 1 ; M 令 y ? 0 得 x ? ?1 ? c ? b ? 1 , O C A N P B x

? a2 ? 2

x ? y2 ? 1 则椭圆方程为 2
(2)① M (? 2,0) , N (0, ?1) ,M、N 的中点坐标为( ?

2

1 2 2 , ? ),所以 k ? 2 2 2

x2 2 2 ? y 2 ? 1,解得 x ? ? (3)法一:将直线 PA 方程 y ? kx 代入 ,记 ? m ,则 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
P(m, mk ) , A(?m, ?mk ) ,于是 C (m,0) ,故直线 AB 方程为 y ?
2 2 2 2 2

0 ? mk k ( x ? m) ? ( x ? m) m?m 2

2k 2 m m(3k 2 ? 2) mk 3 , 2 ) 代入椭圆方程得 (k ? 2) x ? 2k mx ? k m ? 8 ? 0 ,由 xB ? x A ? 2 ,因此 B( k ?2 k2 ? 2 k ?2 ??? ? m(3k 2 ? 2) ??? ? mk 3 2mk 2 ?2mk ? m , ? mk ) ? ( , ) ? AP ? (2m, 2mk ) , PB ? ( k2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2 ??? ? ??? ? 2mk 2 ?2mk ? AP?PB ? 2 ? 2m ? 2 ? 2mk ? 0 k ?2 k ?2
? PA ? PB

2

法二:由题意设 P( x0 , y0 ), A(? x0 , ? y0 ), B( x1 , y1 ), 则C ( x0 ,0) ,

? A、C、B 三点共线,?

y y ?y y1 ? 0 ? 1 0 , 又因为点 P、B 在椭圆上, x1 ? x0 2 x0 x1 ? x0

?

x0 2 y0 2 x2 y2 x ?x ? ? 1, 1 ? 1 ? 1 ,两式相减得: k PB ? ? 0 1 2 1 2 1 2( y0 ? y1 )
y0 x ?x ( y ? y )( x ? x ) [? 0 1 ] ? ? 1 0 0 1 ? ?1 x0 2( y0 ? y1 ) ( x1 ? x0 )( y0 ? y1 )
? PA ? PB

? kPAkPB ?

10、 已知椭圆 C:

x2 y2 5 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一条准线 L 方程为: x= - ,且左焦点 F 到 L 的距离为 . (Ⅰ) 2 2 2 a b

求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)过点 F 的直线交椭圆 C 于两点 A、B,交 L 于点 M,若 MA ??1 AF , MB ? ?2 BF , 证明 ?1 ? ?2 为定值. (Ⅰ)

x2 ? y2 ? 1 5

?????4 分

(Ⅱ)当斜率为 0 时,易知 ?1 ? ?2 =0; ?????5 分 当斜率不为 0 时,可设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2(m ? 0) ,设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )由方程(组)知 识 结 合

MA ??1 AF , MB ??2 BF 得 : ?1 ? 1 y1 ? y 2 =0. 综上所述 ?1 ? ?2 为定值. ? 2m y1 y 2

1 1 ? 1 , ?2 ? ?1 , 故 : 2m y2 2m y1
???12 分

?1 ? ?2 = ? 2 ?

11、已知椭圆 C 的对称中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 圆 C 的方程;

1 3 ,且点 (1, ) 在该椭圆上; (Ⅰ)求椭 2 2

(Ⅱ)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点,若 ?AOB 的面积为 点,且与直线 l 相切的圆的方程. (1)设椭圆 C 的方程为 由题意可得 e ?

6 2 ,求圆心在原 7

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

c 1 ? , a 2

3

2 2 2 2 又 a ? b ? c , 所以b ?

3 2 3 a ,因为椭圆 C 经过 (1, ) , 4 2

9 x2 y2 1 2 4 ? 1. 代入椭圆方程有 2 ? ? 1 ,解得 a ? 2 ,所以 c ? 1, b ? 4 ? 1 ? 3 故椭圆 C 的方程为 ? 3 2 4 3 a a 4 3 3 (2)解法一: 当直线 l ? x 轴时,计算得到: A(?1, ? ), B(?1, ), 2 2 1 1 3 S?AOB ? ? | AB | ? | OF1 |? ? 1 ? 3 ? ,不符合题意。当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为: 2 2 2
? y ? k ( x ? 1) ? y ? k ( x ? 1), k ? 0 ,由 ? x 2 y 2 , 消去y, 得(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ? ? ?1 ?4 3
显然 ? ? 0成立, 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 又 | AB |?

8k 2 4k 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2

? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2
= 1? k
2

64k 4 4(4k 2 ? 12) ? (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2
2

| k ?0?0? k | |k| 12 k 2 ? 1 12(k 2 ? 1) ? ? 即 | AB |? 1 ? k ? ,又圆 O 的半径 r ? 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 1? k 1? k2
所以 S ?AOB ?

1 1 12( k 2 ? 1) |k| 6 | k | 1? k2 6 2 ? | AB | ?r ? ? ? ? ? 2 2 3 ? 4k 2 7 3 ? 4k 2 1? k?
4 2 2 2

化简,得 17k ? k ? 18 ? 0,即(k ? 1)(17k ? 18) ? 0,
2 2 解得 k1 ? 1, k2 ? ?

|k| 2 18 1 (舍),所以, r ? ? , 故圆 O 的方程为: x 2 ? y 2 ? . 2 17 2 2 1? k

(2)解法二:设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1,

? x ? ty ? 1 ? 由 ? x2 y 2 , 消去 x, 得(4 ? 3t 2 ) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0 ,因为 ? ? 0恒成立, 设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , ?1 ? ? 3 ?4
则 y1 ? y2 ?

6t 9 , y1 ? y2 ? ? 2 4 ? 3t 4 ? 3t 2

所以 | y1 ? y2 |?

( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 ? y2

4

?

36t 2 36 12 t 2 ? 1 ? ? (4 ? 3t 2 ) 2 4 ? 3t 2 4 ? 3t 2

所以 S?AOB ?

1 6 t2 ?1 6 2 , ? | F1O | ? | y1 ? y2 |? ? 2 7 4 ? 3t 2
17 (舍), 18

2 2 化简得到 18t 4 ? t 2 ? 17 ? 0,即(18t 2 ? 17)(t 2 ? 1) ? 0 ,解得 t1 ? 1, t2 ? ?

又圆 O 的半径为 r ?

| 0 ? t ? 0 ? 1| 1? t2
1 . 2

?

1 1? t2

,所以 r ?

1 1? t2

?

2 , 2

2 2 故圆 O 的方程为: x ? y ?

12、已知椭圆 C : 点P .

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l 过点 A(4, 0) , B(0, 2) ,且与椭圆 C 相切于 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过点 A(4, 0) 的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M 、 N ,使得

36 AP ? 35 AM ? AN ?若存在,试求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)由题得过两点 A(4, 0) , B(0, 2) 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 .?? 1 分 因为

2

c 1 ? ,所以 a ? 2c , b ? 3c . a 2

? x ? 2 y ? 4 ? 0, x2 y2 ? 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,由 ? x 2 消去 x 得, 4 y 2 ?12 y ? 12 ? 3c2 ? 0 . y2 4c 3c ? 2 ? 2 ? 1, ? 4c 3c
2 又因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 ? ? 122 ? 4 ? 4(12 ? 3c2 ) ? 0 ,解得 c ? 1 .

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

?????? 5 分

(Ⅱ)易知直线 m 的斜率存在,设直线 m 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,???????? 6 分

? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 消去 y ,整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 . ???? 7 分 ? 1, ? ? 3 ? 4
由题意知 ? ? (32k 2 )2 ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ?12) ? 0 , 解得 ?

1 1 ?k? . 2 2

?? 8 分

5

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 x x ? . , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?? 9 分

又直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 相切, 4 3

? x ? 2 y ? 4 ? 0, 3 3 ? 由 ? x2 y 2 解得 x ? 1, y ? ,所以 P (1, ) . ?????10 分 2 2 ? ? 1, ? 3 ? 4
则 AP ?
2

45 36 45 81 ? ? . . 所以 AM ? AN ? 4 35 4 7

又 AM ? AN ?

(4 ? x1 ) 2 ? y12 ? (4 ? x2 ) 2 ? y2 2

? (4 ? x1 ) 2 ? k 2 (4 ? x1 ) 2 ? (4 ? x2 ) 2 ? k 2 (4 ? x2 ) 2 ? (k 2 ?1)(4 ? x1 )(4 ? x2 )
64k 2 ? 12 32k 2 ? 4? ? 16) ? (k ?1)( x1x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16) ? (k ? 1)( 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2
2

? ( k 2 ? 1)

36 . 3 ? 4k 2

2 所以 (k ? 1)

36 81 2 ? ,解得 k ? ? .经检验成立. ???? 13 分 2 3 ? 4k 7 4

所以直线 m 的方程为 y ? ?

2 ( x ? 4) .???????? 14 分 4

x2 y2 13、 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) ,M 为椭圆的上顶点,O 为坐标原点, 且△ OMF a b
是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 是否存在直线 l 交椭圆于 P , (垂心: 三角形三边高线的交点) ? Q 两点, 且使点 F 为△ PQM 的垂心 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. (Ⅰ)由△ OMF 是等腰直角三角形,得 b ? 1 , a ? 故椭圆方程为

2b ? 2 ,

x2 ? y 2 ? 1 . ???5 分 2

(Ⅱ)假设存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,且 F 为△ PQM 的垂心, 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ), 因为 M (0,1) , F (1,0) ,故 k PQ ? 1 .??7 分

6

于是设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,由 ?

? y ? x ? m, 得 3x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 2 ? 0 . 2 2 x ? 2 y ? 2 , ?
2m 2 ? 2 4m , x1 x 2 ? . 3 3
??9 分

由 ? ? 0 ,得 m 2 ? 3 , 且 x1 ? x 2 ? ?

由题意应有 MP ? FQ ? 0 ,又 MP ? ( x1, y1 ?1), FQ ? ( x2 ?1, y2 ) , 故 x1 ( x2 ? 1) ? y 2 ( y1 ? 1) ? 0 ,得 x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)(x1 ? m ? 1) ? 0 . 即 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 . 整理得 2 ?

????

???? ?

2m 2 ? 2 4 4 ? m(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 .解得 m ? ? 或 m ? 1 .????12 分 3 3 3

经检验,当 m ? 1 时,△ PQM 不存在,故舍去 m ? 1 . 当m ? ?

4 4 时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 y ? x ? .??13 分 3 3

13、已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点是 F (1, 0) ,且离心率为 . 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M , N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点

P(0, y0 ) ,求 y0 的取值范围.
(Ⅰ)解:设椭圆 C 的半焦距是 c .依题意,得 c ? 1 . 因为椭圆 C 的离心率为 ????1 分

1 2 2 2 ,所以 a ? 2c ? 2 , b ? a ? c ? 3 . ?????3 分 2

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ?????4 分 4 3

(Ⅱ)解:当 MN ? x 轴时,显然 y0 ? 0 .????5 分 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) . 由 ?

? y ? k ( x ? 1),
2 2 ?3 x ? 4 y ? 12,

消去 y 整理得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 .?7 分

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,线段 MN 的中点为 Q( x3 , y3 ) ,则 x1 ? x2 ?

8k 2 .??8 分 3 ? 4k 2

7

所以 x3 ?

x1 ? x2 4k 2 ?3k ? , y3 ? k ( x3 ? 1) ? . 2 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k 3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ). k 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

线段 MN 的垂直平分线方程为 y ?

在上述方程中令 x ? 0 ,得 y 0 ?

k 1 ? .???10 分 2 3 3 ? 4k ? 4k k

当 k ? 0 时, 所以 ?

3 3 ? 4k ? ?4 3 ;当 k ? 0 时, ? 4k ? 4 3 . k k
???12 分

3 3 . ? y0 ? 0 ,或 0 ? y0 ? 12 12

综上, y0 的取值范围是 [?

3 3 , ] . ????13 分 12 12
2 2

14、如图,已知点 A(?2,0) ,点 P 是⊙ B : ( x ? 2) ? y ? 36 上任意一点,线段 AP 的垂直平分线交 BP 于点 Q ,点 Q 的轨迹记为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)已知⊙ O : x ? y ? r ( r ? 0 )的切线 l 总与曲线 C 有两个交点 M 、N ,并且其中一条切线满
2 2 2
0 0 足 ?MON ? 90 ,求证:对于任意一条切线 l 总有 ?MON ? 90 .

(I)由题意, | QA | ? | QB |?| QP | ? | QB |? 6 , ∴Q 点轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,且 a ? 3, c ? 2 ,

8

∴曲线 C 的轨迹方程是

x2 y2 ? ? 1 .?????? 5 分 9 5

(II)先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线 l : y ? kx ? m ,则 由 l 与⊙O 相切得

|m| 1? k
2

? r 即 m 2 ? r 2 (1 ? k 2 )

①????7 分

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 ,消去 y 得, (5 ? 9k 2 ) x2 ? 18kmx? 9(m2 ? 5) ? 0 , ?1 ? ? 5 ?9
设 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则由韦达定理得

x1 ? x2 ? ?

9(m2 ? 5) 18km x x ? , ????9 分 1 2 5 ? 9k 2 5 ? 9k 2

OM ? ON ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m)

图2

? (1 ? k ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m
2

2

9(1 ? k 2 )(m2 ? 5) 18k 2 m2 ? ? ? m2 2 2 5 ? 9k 5 ? 9k

14m 2 ? 45(1 ? k 2 ) ? 5 ? 9k 2

②????????10 分
0 由于其中一条切线满足 ?MON ? 90 ,对此 OM ? ON ?

14m2 ? 45(1 ? k 2 ) ?0 5 ? 9k 2

2 结合①式 m ? r (1 ? k ) 可得 r ?
2 2 2

45 ?????????12 分 14
故总有

45 14m2 ? 45(1 ? k 2 ) 2 (1 ? k ) ,进而 OM ? ON ? ?0 于是,对于任意一条切线 l ,总有 m ? 14 5 ? 9k 2
2

?MON ? 90 0 . ??????14 分 0 最后考虑两种特殊情况: (1)当满足 ?MON ? 90 的那条切线斜率不存在时,切线方程为
x ? ? r . 代入椭圆方程可得交点的纵坐标 y ? ? 5 ?

5r 2 5r 2 0 ,因 ?MON ? 90 ,故 r ? 5 ? ,得到 9 9

r2 ?

45 0 0 ,同上可得:任意一条切线 l 均满足 ?MON ? 90 ; (2)当满足 ?MON ? 90 的那条切线斜 14

2 率存在时, r ?

5r 2 45 0 ,r ? 5? ,对于斜率不存在的切线 x ? ? r 也有 ?MON ? 90 .综上所述, 14 9
9

命题成立.????15 分

10


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