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四川省绵阳市高2008级第三次诊断性考试(数学理)


四川省绵阳市高 2008 级第三次诊断性考试 数 学(理工类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷,全卷 150 分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 10 页,考试结束后,将第Ⅱ卷和答题卡两部分一并交回。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用 4B 或 5B 铅笔涂写在 答题卡上。 2.

每小题选出答案后,用 4B 或 5B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件 A、B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ; 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的
k k n?k 概率: Pn (k ) ? C n ? P ? (1 ? P) ;

正棱锥、圆锥的侧面积公式 S锥侧 ? 球的体积公式 V球 ?

1 cl ,其中 c 表示底面周长,l 表示斜高与母线长; 2

4 3 ?R ,其中 R 表示球的半径。 3

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,把它选出来填涂在答题卡上。 1.复数 ?

? 2i ? ? 的虚部为( B ) ?1? i ?
B.2 C.-2i D.2i

2

A.-2

2.下列各选项中,与 sin2008 最接近的是( A ) ? A.-

1 2

B.

1 2

C. ?

2 2

D.

2 2

3.对平面 ? 和异面直线 l1,l2,下面四个命题中正确的是( D ) A.若 l1 ? ? ,则 l2 与 ? 相交

-1-

B.若 l1 ? ? ,则 l2 一定不垂直于 ? C.若直线 l1’,l2’是 l1,l2 在 ? 内的射影,则 l1’,l2’是相交直线 D.若 l1 ? l2 ,且 l1 与 ? 成 45? 的角,则 l2 与 ? 所成的最大角是 45? 4.已知 a,b 是非零向量,且 (a, b) ?

?
3

,则向量 p ?

a b ? 的模为( B ) |a| |b|
D.3

A. 2

B. 3

C.2

5.设实数 a,b 满足 a<b,b+b<0,ab>0,则下列不等式一定成立的是( C ) A.

b a ? a b

B.

1 1 ? 2 2 a b

C.

1 1 ? a a ?b

D.

1 1 ? 2 2 ab ab

6.若对于任意实数 x,有 x3=a0+a1(3-x)+a2(3-x)2+a3(3-x)3,则 a0+a2=( D ) A.36 7. 已知: 集合 G ? ?( x, y ) ? B.18 C.10 D.4

? ? ? ?

?x ? y ? 2? ? 集合 H ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 2}, “命题:( x, y ) ? G ” ?, ?x ? y ? u? ?

是“命题: ( x, y ) ? H ”的必须而不充分条件,则 u 的取值范围是( A ) A. u ? 2 B. u ? ? 2 C. u ? 2 D. u ? ?2

8.已知 lga<0,则函数 f(x)=a|logax|的图象是( D )

9. 直三棱柱 ABCD-A1B1C1 的底面是 ?BAC ? 90? 的等腰三角形, ? AA1 ? 2, M 是 CC1 AB 的中点,设三棱柱的外接球球心为 O,则点 O 到面 A1B1M 的距离等于(A) A.

5 5

B.

5 10

C.

10 5

D.

10 10

x2 y2 10.设 F1,F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,与直线 y=b 相切的⊙F2 交 a b
椭圆于点 E,E 恰好是直线 EF1 与⊙F2 的明点,则椭圆的离心率为( C )

-2-

A.

3 2

B.

3 3

C.

5 4

D.

5 3

11. 定义 f(M)=(m,n,p), 其中 M 是 ?ABC内一点, n、 分别是 ?MBC、?MCA、?MAB m、 p 的面积已知 ?ABC中, AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30?, f ( N ) ? ( , x, y) , 则 值是( D ) A.8 12. ? ? 若 B.9 C.16 D.18

1 2

1 4 ? 的最小 x y

an a1 a2 且 a ?、 则 ? 2 ? ? ? n , n ? N * , a1、 2、 an ?{0,4} , ? 一定不属于( C ) ... 5 5 5
B. (0,1] C. ? , ? 第Ⅱ卷(共 90 分)

A. [0,1)

?1 4 ? ?5 5 ?

D. ? , ? 5 5

? 1 4? ? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。 13. 函数 f ( x) ?

x2 ? a (a ? b) 在 x=-2 处不连续, lim f ( x) 存在, a+b=___2______。 且 则 x?b x?b

14.今年“3·15” ,某报社做了一次关于“手机垃圾短信”的调查,在 A、B、C、D 四个 单位回收的问卷数依次成等差数列,共回收 1000 份,因报道需要,再从回收的问卷中 按单位分层抽取容量为 150 的样本,若在 B 单位抽 30 份,则在 D 单位抽取的问卷是 ____60____份。 15.锐角 ?ABC中, A ? B ,且 tanA+3tanB,则 A-B 的最大值为_____________。 16.已知 a? R ,且 a ? k? ? 论: ①l 的倾斜角为 arctan(tan ? ); ②l 的方向向量与向量 a(cos ? ,sin ? )共线; ③l 一定与直线 xsin ? -ycos ? +n=0( n ? m )平行; ④若 0 ? a ?

?
2

, k ? Z ,设直线 l:y=x tan ? +m,其中 m ? 0 ,给出下列结

?
4

,则 l 与直线 y=x 的夹角为

?
4

?? 。

⑤若 a ? k? ?

?
4

, k ? Z ,与 l 关于 y=x 对称的直线 l’与 l 互相垂直,

其中,真命题的编号是___②④___。 (写出所有真命题的编号) 三、解答题:本大题共 6 小题。共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

-3-

17. (本题满分 12 分) 若函数 f ( x) ? sin2 ? ? sin?x cos?x(? ? 0) 的图象与直线 y=m 相切, 并且相邻两个切 点的距离为

? 。 2 (1)求 ? ,m 的值;
(2)若将 y=f(x)的图象向右平移 ? 个单位后,所得的图象 C 对应的函数 g(x)恰好是偶

函数,求最小正数 ? ,并求 g(x)的单调递增区间。 解: (1)? f ( x) ?

1 ? cos2?x 1 ? sin2?x 2 2 1 1 ? ? (sin2?x ? cos2?x) ? 2 2
?? 2 ? 1 sin( 2?x ? ) ? ,??4 分 2 4 2

由题知,? f (x) 的最小正周期为

?

2? ? ? , 2? 2

? , 2

?? ? 2 ,??4 分
? f ( x) ? ? 2 ? 1 sin( 4 x ? ) ? , 2 4 2

此时 m 应为 f(x)的最大值或最小值,

?m ?

1? 2 2 ?1 ,或 m ? 。??6 分 2 2
2 ? 1 sin( 4 x ? ) ? , 2 4 2

(2)? f ( x) ? ?

? g ( x) ? ?

2 ? 1 sin[ 4( x ? ? ) ? ] ? 2 4 2

??

2 ? 1 sin( 4 x ? 4? ? ) ? ,??8 分 2 4 2

∴要使函数 g(x)是偶函数,则 ? 4? ? 解得 ? ? ?

?
4

? k? ?

?
2

,k ?Z ,

k? ? ? ,k ?Z 4 16

-4-

∴当且仅当 k=-1 时, ? 取最小正数

3? 。??10 分 16

? g ( x) ? ?

2 3? ? 1 2 1 sin( 4 x ? ? )? ? cos 4 x ? , 2 4 4 2 2 2

k? ? k? ? ?x? ,k ?Z 。 2 4 2 k? ? k? ? g (x ) 的单调递增区间是 [ ? , ], k ? Z 。??12 分 2 4 2
? 2k? ? ? ? 4 x ? 2k? , k ? Z ,解得
18. (本题满分 12 分) 如 图 , 直 二 面 角 P-AD-C 中 , 四 边 形 ABCD 是 ?BAD? 120 的 菱 形 , ?

AB ? 2, PA ? AD ,E 是 CD 的中点,设 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45? 。
(1)求证:平面 PAE ? 平面 PCD; (2)试问在线段 AB(不包括端点)上是否存在一点 F,使得二面角 A-PF-D 的大小为

45? ?若存在,请求出 AF 的长,若不存在,请说明理由。
(1)证明:? PA ? AD ,二面角 P-AD-C 是直二面角,

?PA ? 面 ABCD,

? PA? CD ,
如图,连接 AC ,? ABCD 为菱形, ?BAD? 120 , ?

? ?CAD ? 60?, ?ADC ? 60? ,

??ADC是等腰三角形,
? E 是 CD 的中点,

? AE ? CD ,??4 分
∴ CD ? 平面 PAE ? 面 PCD。??4 分 (2)如图以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A-xyz。

? PA ? 面 ABCD,

??PCA是 PC 与面 ABCD 所成角。 ??PCA? 45? , ?PA? AC ? AB ? 2 。
? P(0,0,2) 。
又? D(?1, 3 ,0), E (1,0,0), A(0,0,0) ,

-5-

设 AF ? ? ,则 0 ? ? ? 2, F (? ,0,0) ,

? AP ? (0,0,2), AF ? (? ,0,0), PD ? (?1, 3,?2), PF ? (? ,0,?2) ,
设面 APF 的法向量为 n1=(x,y,z),

? n1 ? AP ? 0, n1 ? AF ? 0 ,
?2 z ? 0, ?? 令 y=1,可得 n1=(0,1,0)。??7 分 ??x ? 0,
同理可求得面 PDF 的一个法向量为 n2 ? (1,

? ?1 ?
3

, ) 。??9 分 2

? cos ? n1 , n2 ??

2(? ? 1) 7? ? 8? ? 16
2

?

2 , 2

2 整理得: ? ? 8? ? 8 ? 0 ,

解得: ? ? 2 6 ? 4 (负根已舍) 。??11 分 因为 0 ? 2 6 ? 4 ? 2 , ∴在 AB 上存在点 F 满足条件,此时, AF ? 2 6 ? 4 。??(2 分) 19. (本题满分 12 分) 某社区举办北京奥运知识宣传活动,现场的“抽卡有奖演戏”特别引人注目,游戏规则 是:盒子中装有 8 张形状大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“奥运吉祥物”或“奥运会 徽” ,要求 4 人一组参加游戏,参加游戏的 4 人从盒子中轮流抽取卡片,一次抽 2 张,抽后 不放回,直到 4 人中的一个一次抽到 2 张“奥运福娃”卡才能得奖并终止游戏。 (1)游戏开始之前,一位高中生问:盒子中有几张“奥运会徽”卡?主持人说:若从 盒中任抽 2 张卡片不都是 “奥运会徽” 卡的概率为

25 。 请你回答有几张 “奥运会徽” 卡呢? 28

(2)现有甲、乙、丙、丁 4 人参加游戏,约定甲、乙、丙、丁依次抽取,用 ? 表示 4 人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数,求 ? 的概率分布及 ? 的数学期望。 解: (1)设盒子中有“会徽卡”n 张,依题意有, 1 ? 解得 n=3
2 C n 25 ? C82 28

-6-

即盒中有“会徽卡”3 张。??4 分 (2)因为 ? 表示某人一次抽得 2 张“福娃卡”终止时,所有人共抽取了卡片的次数, 所以 ? 的所有可能取值为 1,2,3,4,??4 分

P (? ? 1) ?

C52 5 ? ; 2 C8 14
1 1 2 C32 C52 C3 ? C5 C4 2 ? 2? ? 2 ? ; C82 C6 C82 C6 7 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 C32 C1 ? C5 C4 C3 ? C5 C2 C4 C3 ? C5 C2 ? C4 C32 3 ? ? 2? ? 2? 2? ? ? 2 ? ; 2 2 2 2 2 C8 C6 C4 C8 C6 C 4 C8 C6 C4 14

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

1 1 1 1 1 1 2 C3 ? C5 C2 ? C4 C1 ? C3 C2 1 P(? ? 4) ? ? ? ? 2 ? , 2 C82 C62 C4 C2 7

概率分布表为:

?

1

2

3

4

P

5 14

2 7

3 14

1 7

??10 分

? ? 的数学期望为 E? ? 1?
20. (本题满分 12 分)

5 2 3 1 15 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 。??12 分 14 7 14 7 7

下表给出的是由 n ? n(n ? 3, n ? N * )个正数排成的 n 行 n 列数表,aij 表示第 i 行第 j 列的一个数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为 d,表中各行,每一行的 数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为 q,已知 a13 ? (1)求 a11,d,q 的值; (2) 设表中对角线上的数 a11, 22, 33, anm 组成的数列为{ann}, Tn=a11+a22+a33+? a a ?, 记
n n anm,求使不等式 2 Tn ? 4 ? n ? 43 成立的最小正整数 n。

1 3 , a23 ? , a32 ? 1 。 4 8

a
11 12

a
13

a

?
1n

a

-7-

a
21 22

a
23

a

?
2n

a

a
31 32

a
33

a

?
3n

a

? a
n1 n2

? a
n3

? a

? ?
nm

? a

解: (1)根据题意可列出如下方程组:

1 ? a1 1 ? q 2 ? , ? 4 ? 3 ? 2 ?( a1 1 ? d ) ? q ? , ??3 分 8 ? ( a1 1 ? 2d ) ? q ? 1, ? ? ?
解得 a11 ? 1, d ?

1 1 , q ? 。??5 分 2 2

n ?1 (2)? a n n ? a n1 ? q

? [a11 ? (n ?1)d ] ? qn?1
1 1 ? [1 ? (n ? 1) ? ] ? ( ) n?1 2 2 1 n ? (n ? 1)( ) ,??7 分 2

?Tn ? a11 ? a22 ? a33 ??? ann
1 1 1 1 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n , 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n?1 , 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n?1 两式相减得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? (n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 1 1 ? [1 ? ( ) n ] 1 2 2 ? (n ? 1)( 1 ) n ?1 , ? ? 1 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n ,??10 分 2
n n 于是原不等式化为 4 ? 3 ? 2 ? 40 ? 0 ,

-8-

即 (2n ? 5)(2n ? 8) ? 0 ,

? 2n ? 8 ,

?n ? 3 。
故使不等式成立的最小正整数为 4。??12 分 21. (本题满分 14 分) O 为坐标原点,A(xA,yA)和 B(xB,yB)两点分别在射线

x ? 3 y ? 0( x ? 0), x ? 3 y ? 0( x ? 0) 上移动,且 OA?OB ? ?2 ,动点 P 满足

OP ?

OA ? OB ,记点 P 的轨迹为 C。 2

(1)求 yAyB 的值; (2)求 P 点的轨迹 C 的方程,并说明它表示怎样的曲线? (3)设点 G(-1,0),若直线 y ? kx ? m(m ? 0) 与曲线 C 交于 M、N 两点,且 M、N 两 点都在以 G 为圆心的圆上,求 k 的取值范围。 解: (1)? A( x A , y A ), B( xB , yB ) 分别在射线 x ? 3 y ? 0, x ? 3 y ? 0 上,

? x A ? 3 y A ? 0, x B ? 3 y B ? 0 ,即 x A ? ? 3 y A , y B ? 3 y B ,

? x A xB ? ?3 y A yB ,
又?OA?OB ? ?2 ,

? x A xB ? y A yB ? ?2 。 ? ?2 y A y B ? ?2 , ? y A yB ? 1 。??2 分
(2)设 P(x,y), 由 OP ?

x ? xB y ? yB OA ? OB 可得 x ? A ,y? A 2 2 2

即x?

? 3( y A ? yB ) y ? yB ,y? A 2 2

-9-

? ( y A ? yB ) 2 ?

4 2 x , ( y A ? yB ) 2 ? 4 y 2 , 3
x2 4 2 ? 1 。??6 分 x ? 4 y 2 ,即 y 2 ? 3 3

两式相减有: ? 4 y A y B ?

? y A ? 0, yB ? 0 ,且 yA、yB 不同时为 0,
? y ? 0。

x2 x2 2 ? 1( y ? 0) ,它表示双曲线 y ? ? 1 的上支。??5 分 ∴轨迹 C 的方程为 y ? 3 3
2

? 2 x2 ? 1, ?y ? (3) ? 3 ? y ? kx ? m, ?
消去 x,整理得: (3k 2 ?1) y 2 ? 2my ? m2 ? 3k 2 ? 0 。??6 分 ∵直线 y=kx+m 与曲线 C 交于 M,N 两点,设 M(x1,y1),N(x2,y2),

?? ? 0, y1 ? y2 ? 0, y1 y2 ? 0 ,

? ?(2m) 2 ? 4(3k 2 ? 1)(?m 2 ? 3k 2 ) ? 0,① ? ② ? ? 2m 即? 2 ??8 分 ? 0, ? 3k ? 1 ? ? m 2 ? 3k 2 ③ ? 0. ? 2 ? 3k ? 1
由①整理得:m2+3k2-1>0, ④ 由③有:3k2-1<0 ∴由②有 m>0。 又? M 、N 在以点 G 为圆心的圆上, 设 MN 的中点为 Q,则 GQ ? MN ,即 GQ ? MN ? 0 ⑤

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2 x ?x y ? y2 ?GQ ? ( 1 2 ? 1, 1 ), MN ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) , 2 2 ?Q(
?( x1 ? x2 y 2 ? y12 ? 1)( x2 ? x1 ) ? 2 ?0。 2 2

- 10 -

?(

x1 ? x2 1 1 2 ? 1)(x2 ? x1 ) ? ? ( x2 ? x12 ) ? 0 2 2 3

? x1 ? x2

x1 ? x2 x ?x ?1? 1 2 ? 0 , 2 6 3 x1 ? x2 ? ? 。 2 y ? m y2 ? m y1 ? y2 ? 2m ? 6mk 又? x1 ? x2 ? 1 , ? ? ? 2 k k k 3k ? 1 ? 6mk 3 ? 2 ?? 。 2 3k ? 1 ?
整理得 4mk=3k2-1,⑥??10 分 把⑥代入④中有:m2+4mk>0, 由 m>0,所以 m+4k>0, 又由⑥有 m ?

3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? 4k ? 0 , ,代入上式得 4k 4k

?

19 k 2 ? 1 ?0, 4k

? 4mk ? 3k 2 ? 1 中 3k 2 ?1 ? 0, m ? 0,?k ? 0 。
于是 19k2-1<0。 解得 ?

19 ?k ?0。 19 3 3 。 ?k? 3 3 19 ,0) 。??12 分 19

再由 3k2-1<0,得 ?

综合得 k 的取值范围为 (? 22. (本题满分 14 分)

已知 A、B、C 是直线 l 上不同的三点,O 是 l 外一点,向量 OA, OB, OC 满足;

3 OA? ( x 2 ? 1), OB ? [ln(2 ? 3x) ? y], OC ? 0 ,记 y=f(x)。 2
(1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)若对任意 x ? [ , ] ,不等式 | a ? ln x | ? ln | f ' ( x) ? 3x |? 0 恒成立,求实数 a 的取值

1 1 6 3

- 11 -

范围; (3)若关于 x 的方程 f(x)=2x+b 在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取值范围。 解: (1)? A( x A , y A ), B( xB , yB ) 分别在射线 x ? 3 y ? 0, x ? 3 y ? 0 上,

? x A ? 3 y A ? 0, x B ? 3 y B ? 0 ,即 x A ? ? 3 y A , y B ? 3 y B ,

? x A xB ? ?3 y A yB ,
又?OA?OB ? ?2 ,

? x A xB ? y A yB ? ?2 。 ? ?2 y A y B ? ?2 , ? y A yB ? 1 。??2 分
(2)设 P(x,y), 由 OP ?

x ? xB y ? yB OA ? OB 可得 x ? A ,y? A 2 2 2

即x?

? 3( y A ? yB ) y ? yB ,y? A 2 2

? ( y A ? yB ) 2 ?

4 2 x , ( y A ? yB ) 2 ? 4 y 2 , 3
x2 4 2 ? 1 。??6 分 x ? 4 y 2 ,即 y 2 ? 3 3

两式相减有: ? 4 y A y B ?

? y A ? 0, yB ? 0 ,且 yA、yB 不同时为 0,
? y ? 0。
∴轨迹 C 的方程为 y ?
2

x2 x2 ? 1( y ? 0) ,它表示双曲线 y 2 ? ? 1 的上支。??5 分 3 3

? 2 x2 ? 1, ?y ? (3) ? 3 ? y ? kx ? m, ?
消去 x,整理得: (3k 2 ?1) y 2 ? 2my ? m2 ? 3k 2 ? 0 。??6 分 ∵直线 y=kx+m 与曲线 C 交于 M,N 两点,设 M(x1,y1),N(x2,y2),

- 12 -

?? ? 0, y1 ? y2 ? 0, y1 y2 ? 0 ,

? ?(2m) 2 ? 4(3k 2 ? 1)(?m 2 ? 3k 2 ) ? 0,① ? ② ? ? 2m 即? 2 ??8 分 ? 0, ? 3k ? 1 ? ? m 2 ? 3k 2 ③ ? 0. ? 2 ? 3k ? 1
由①整理得:m2+3k2-1>0, ④ 由③有:3k2-1<0 ∴由②有 m>0。 又? M 、N 在以点 G 为圆心的圆上, 设 MN 的中点为 Q,则 GQ ? MN ,即 GQ ? MN ? 0 ⑤

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2 x ?x y ? y2 ?GQ ? ( 1 2 ? 1, 1 ), MN ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) , 2 2 ?Q(
?( x1 ? x2 y 2 ? y12 ? 1)( x2 ? x1 ) ? 2 ?0。 2 2

?(

x1 ? x2 1 1 2 ? 1)(x2 ? x1 ) ? ? ( x2 ? x12 ) ? 0 2 2 3

? x1 ? x2

x1 ? x2 x ?x ?1? 1 2 ? 0 , 2 6 3 x1 ? x2 ? ? 。 2 y ? m y2 ? m y1 ? y2 ? 2m ? 6mk 又? x1 ? x2 ? 1 , ? ? ? 2 k k k 3k ? 1 ? 6mk 3 ? 2 ?? 。 2 3k ? 1 ?
整理得 4mk=3k2-1,⑥??10 分 把⑥代入④中有:m2+4mk>0, 由 m>0,所以 m+4k>0, 又由⑥有 m ?

3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? 4k ? 0 , ,代入上式得 4k 4k

- 13 -

?

19 k 2 ? 1 ? 0 ,? 4mk ? 3k 2 ? 1 中 3k 2 ?1 ? 0, m ? 0,?k ? 0 。 4k

于是 19k2-1<0。解得 ?

19 ?k ?0。 19

再由 3k2-1<0,得 ?

3 3 。 ?k? 3 3 19 ,0) 。??12 分 19

综合得 k 的取值范围为 (?

- 14 -

四川省绵阳市高 2008 级第三次诊断性考试 数学(理工类)参考答案
一、选择题 1.B 11.D 2.A 12.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D 9.A 10.C

二、填空题 13.2 14.60 15.

? 6

16.②④

三、解答题: 17.解: (1)? f ( x) ?

1 ? cos2?x 1 ? sin2?x 2 2 1 1 ? ? (sin2?x ? cos2?x) ? 2 2
2 ? 1 sin( 2?x ? ) ? ,??4 分 2 4 2

??

由题知,? f (x) 的最小正周期为

?

2? ? ? , 2? 2

? , 2

?? ? 2 ,??4 分
? f ( x) ? ? 2 ? 1 sin( 4 x ? ) ? , 2 4 2

此时 m 应为 f(x)的最大值或最小值,

?m ?

1? 2 2 ?1 ,或 m ? 。??6 分 2 2
2 ? 1 sin( 4 x ? ) ? , 2 4 2

(2)? f ( x) ? ?

? g ( x) ? ?

2 ? 1 sin[ 4( x ? ? ) ? ] ? 2 4 2

??

2 ? 1 sin( 4 x ? 4? ? ) ? ,??8 分 2 4 2

∴要使函数 g(x)是偶函数,则 ? 4? ?

?
4

? k? ?

?
2

,k ?Z ,

- 15 -

解得 ? ? ?

k? ? ? ,k ?Z 4 16

∴当且仅当 k=-1 时, ? 取最小正数

3? 。??10 分 16

? g ( x) ? ?

2 3? ? 1 2 1 sin( 4 x ? ? )? ? cos 4 x ? , 2 4 4 2 2 2

k? ? k? ? ?x? ,k ?Z 。 2 4 2 k? ? k? ? g (x ) 的单调递增区间是 [ ? , ], k ? Z 。??12 分 2 4 2 18. (1)证明:? PA ? AD ,二面角 P-AD-C 是直二面角,
? 2k? ? ? ? 4 x ? 2k? , k ? Z ,解得

?PA ? 面 ABCD,

? PA? CD ,
如图,连接 AC ,? ABCD 为菱形, ?BAD? 120 , ?

? ?CAD ? 60?, ?ADC ? 60? ,

??ADC是等腰三角形,
? E 是 CD 的中点,

? AE ? CD ,??4 分
∴ CD ? 平面 PAE ? 面 PCD。??4 分 (2)如图以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A-xyz。

? PA ? 面 ABCD,

??PCA是 PC 与面 ABCD 所成角。 ??PCA? 45? , ?PA? AC ? AB ? 2 。
? P(0,0,2) 。
又? D(?1, 3 ,0), E (1,0,0), A(0,0,0) , 设 AF ? ? ,则 0 ? ? ? 2, F (? ,0,0) ,

? AP ? (0,0,2), AF ? (? ,0,0), PD ? (?1, 3,?2), PF ? (? ,0,?2) ,
设面 APF 的法向量为 n1=(x,y,z),

? n1 ? AP ? 0, n1 ? AF ? 0 ,

- 16 -

?2 z ? 0, ?? 令 y=1,可得 n1=(0,1,0)。??7 分 ??x ? 0,
同理可求得面 PDF 的一个法向量为 n2 ? (1,

? ?1 ?
3

, ) 。??9 分 2

? cos ? n1 , n2 ??

2(? ? 1) 7? ? 8? ? 16
2

?

2 , 2

2 整理得: ? ? 8? ? 8 ? 0 ,

解得: ? ? 2 6 ? 4 (负根已舍) 。??11 分 因为 0 ? 2 6 ? 4 ? 2 , ∴在 AB 上存在点 F 满足条件,此时, AF ? 2 6 ? 4 。??(2 分) 19.解: (1)设盒子中有“会徽卡”n 张,依题意有, 1 ? 解得 n=3 即盒中有“会徽卡”3 张。??4 分 (2)因为 ? 表示某人一次抽得 2 张“福娃卡”终止时,所有人共抽取了卡片的次数, 所以 ? 的所有可能取值为 1,2,3,4,??4 分
2 C n 25 ? C82 28

P (? ? 1) ?

C52 5 ? ; 2 C8 14
1 1 2 C32 C52 C3 ? C5 C4 2 ? 2? ? 2 ? ; C82 C6 C82 C6 7 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 C32 C1 ? C5 C4 C3 ? C5 C2 C4 C3 ? C5 C2 ? C4 C32 3 ? ? 2? ? 2? 2? ? ? 2 ? ; 2 2 2 2 2 C8 C6 C4 C8 C6 C 4 C8 C6 C4 14 1 1 1 1 1 1 2 C3 ? C5 C2 ? C4 C1 ? C3 C2 1 ? ? ? 2 ? , 2 C82 C62 C4 C2 7

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

P(? ? 4) ?

概率分布表为:

?

1

2

3

4

- 17 -

P

5 14

2 7

3 14

1 7

??10 分

? ? 的数学期望为 E? ? 1?

5 2 3 1 15 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 。??12 分 14 7 14 7 7

20.解: (1)根据题意可列出如下方程组:

1 ? 2 ?a1 1 ? q ? 4 , ? 3 ? 2 ?( a1 1 ? d ) ? q ? , ??3 分 8 ? ( a1 1 ? 2d ) ? q ? 1, ? ? ?
解得 a11 ? 1, d ?

1 1 , q ? 。??5 分 2 2

n ?1 (2)? a n n ? a n1 ? q

? [a11 ? (n ?1)d ] ? qn?1
1 1 ? [1 ? (n ? 1) ? ] ? ( ) n?1 2 2 1 n ? (n ? 1)( ) ,??7 分 2

?Tn ? a11 ? a22 ? a33 ??? ann
1 1 1 1 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n , 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n?1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 两式相减得 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ? (n ? 1)( ) n?1 2 2 2 2 2 1 1 ? [1 ? ( ) n ] 1 2 2 ? (n ? 1)( 1 ) n ?1 , ? ? 1 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n ,??10 分 2
n n 于是原不等式化为 4 ? 3 ? 2 ? 40 ? 0 ,

即 (2n ? 5)(2n ? 8) ? 0 ,

- 18 -

? 2n ? 8 ,

?n ? 3 。
故使不等式成立的最小正整数为 4。??12 分 21.解: (1)? A( x A , y A ), B( xB , yB ) 分别在射线 x ? 3 y ? 0, x ? 3 y ? 0 上,

? x A ? 3 y A ? 0, x B ? 3 y B ? 0 ,即 x A ? ? 3 y A , y B ? 3 y B ,

? x A xB ? ?3 y A yB ,
又?OA?OB ? ?2 ,

? x A xB ? y A yB ? ?2 。 ? ?2 y A y B ? ?2 , ? y A yB ? 1 。??2 分
(2)设 P(x,y), 由 OP ?

x ? xB y ? yB OA ? OB 可得 x ? A ,y? A 2 2 2

即x?

? 3( y A ? yB ) y ? yB ,y? A 2 2

? ( y A ? yB ) 2 ?

4 2 x , ( y A ? yB ) 2 ? 4 y 2 , 3

x2 4 2 2 2 ? 1 。??6 分 两式相减有: ? 4 y A y B ? x ? 4 y ,即 y ? 3 3

? y A ? 0, yB ? 0 ,且 yA、yB 不同时为 0,
? y ? 0。
∴轨迹 C 的方程为 y ?
2

x2 x2 ? 1( y ? 0) ,它表示双曲线 y 2 ? ? 1 的上支。??5 分 3 3

? 2 x2 ? 1, ?y ? (3) ? 3 ? y ? kx ? m, ?
消去 x,整理得: (3k 2 ?1) y 2 ? 2my ? m2 ? 3k 2 ? 0 。??6 分

- 19 -

∵直线 y=kx+m 与曲线 C 交于 M,N 两点,设 M(x1,y1),N(x2,y2),

?? ? 0, y1 ? y2 ? 0, y1 y2 ? 0 ,

? ?(2m) 2 ? 4(3k 2 ? 1)(?m 2 ? 3k 2 ) ? 0,① ? ② ? ? 2m 即? 2 ??8 分 ? 0, ? 3k ? 1 ? ? m 2 ? 3k 2 ③ ? 0. ? 3k 2 ? 1 ?
由①整理得:m2+3k2-1>0, ④ 由③有:3k2-1<0 ∴由②有 m>0。 又? M 、N 在以点 G 为圆心的圆上, 设 MN 的中点为 Q,则 GQ ? MN ,即 GQ ? MN ? 0 ⑤

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2 x ?x y ? y2 ?GQ ? ( 1 2 ? 1, 1 ), MN ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) , 2 2 ?Q(
?( x1 ? x2 y 2 ? y12 ? 1)( x2 ? x1 ) ? 2 ?0。 2 2

?(

x1 ? x2 1 1 2 ? 1)(x2 ? x1 ) ? ? ( x2 ? x12 ) ? 0 2 2 3

? x1 ? x2

x1 ? x2 x ?x ?1? 1 2 ? 0 , 2 6 3 x1 ? x2 ? ? 。 2 y ? m y2 ? m y1 ? y2 ? 2m ? 6mk 又? x1 ? x2 ? 1 , ? ? ? 2 k k k 3k ? 1 ? 6mk 3 ? 2 ?? 。 2 3k ? 1 ?
整理得 4mk=3k2-1,⑥??10 分 把⑥代入④中有:m2+4mk>0, 由 m>0,所以 m+4k>0, 又由⑥有 m ?

3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? 4k ? 0 , ,代入上式得 4k 4k
- 20 -

?

19 k 2 ? 1 ?0, 4k

? 4mk ? 3k 2 ? 1 中 3k 2 ?1 ? 0, m ? 0,?k ? 0 。
于是 19k2-1<0。 解得 ?

19 ?k ?0。 19 3 3 。 ?k? 3 3 19 ,0) 。??12 分 19

再由 3k2-1<0,得 ?

综合得 k 的取值范围为 (?

22.解: (1)? OA? ( x 2 ? 1) ? OB ? [ln( ? 3x) ? y] ? OC ? 0 , 2

3 2

3 ?OA ? ( x 2 ? 1) ? OB ? [ln(2 ? 3x) ? y] ? OC , 2 又? A 、B、C 在同一条直线上, 3 ? ( x 2 ? 1) ? [ln(2 ? 3x) ? y] ? 1 2 3 3 ? y ? ln(2 ? 3x) ? x 2 ,即 f ( x) ? ln(2 ? 3x) ? x 2 ,??3 分 2 2 3 (2)? f ' ( x) ? ? 3x , 2 ? 3x 3 ∴原不等式为 | a ? ln x | ? ln( ) ? 0, 2 ? 3x 3 3 得 c ? ln x ? ln ,或 a ? ln x ? ln ,??4 分 2 ? 3x 2 ? 3x
设 g ( x) ? ln x ? ln

3 2 x ? 3x 2 ? ln , 2 ? 3x 3

3 3x , ? ln 2 ? 3x 2 ? 3x 1 1 依题意知 a<g(x)或 a>h(x)在 x ? [ , ] 上恒成立, 6 3 3 1 2 ? 6x ? g ' ( x) ? ? ( 2 ? 6 x) ? ? 0, 2 x ? 3x 3 2 x ? 3x 2 h( x) ? ln x ? ln
h' ( x ) ? 2 ? 3x 3(2 ? 3x) ? 3x ? 3 2 ? ? ? 0, 2 3x (2 ? 3x) x(2 ? 3x)

- 21 -

1 1 ? g (x) 与 h(x)在 [ , ] 上都是增函数, 6 3 1 1 ∴要使不等式①成立,当且仅当 a ? g ( ) 或 a ? h( ) , 6 3 1 5 即 a ? ln ,或 a ? ln ,??8 分 36 3 3 (3)方程 f ( x) ? 2 x ? b 即为 ln(2 ? 3x) ? x 2 ? 2 x ? b , 2 3 变形为 ln(2 ? 3x) ? x 2 ? 2 x ? b , 2 3 令 ? ( x) ? ln(2 ? 3x) ? x 2 ? 2 x, x ? [0,1] , 2
?? ' ( x) ? 3 9 x 2 ? 1 (3x ? 1)(3x ? 1) ? 3x ? 2 ? ? 。??10 分 2 ? 3x 2 ? 3x 2 ? 3x

列表写出 x, ? ' ( x), ? ( x) 在[0,1]上的变化情况:

x

0

1 (0, ) 3

1 3

1 ( ,1) 3

1

? ' ( x)

小于 0

0

大于 0

? (x)
n2

l

单调 递减

取极 小值

单调 递增

ln 5 ?

1 2

ln 3 ?

1 2

??12 分 显然 ? (x) 在[0,1]上的极小值也即为它的最小值 ln 3 ? 现在比较 ln2 与 ln 5 ?

1 , 2

1 ; 2

? ln 5 ?

1 5 1 25 1 25 ? ln 2 ? ln ? ln ? ln ? 0, 2 2 e 2 4e 2 4 ? 3

? ln 5 ?

1 ? ln 2 , 2 1 ? b ? ln 2 , 2

∴要使原方程在[0,1]上恰有两个不同的实根,必须使 ln 3 ?

- 22 -

即实数 b 的取值范围为 ln 3 ?

1 ? b ? ln 2 。??14 分 2

- 23 -


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