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导数经典易错题解析


导数经典易错题解析
1.(2010 安徽卷理)已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则曲线

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是
A. y ? 2 x ? 1 答案 解析 A 由 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ?

8x ? 8 得几何 B. y ? x C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3

(

)

f (2 ? x) ? 2 f ( x) ? (2 ? x)2 ? 8(2 ? x) ? 8 ,
即 2 f ( x) ? f (2 ? x) ? x2 ? 4 x ? 4 ,∴ f ( x) ? x ∴ f ( x) ? 2 x ,∴切线方程
2 /

y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 选 A
2 3 2 (2010 江西卷文) 若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax ?

15 x ? 9 都相切, 则a 4
( )

等于

25 A. ?1或 64
答案 解析 A

21 B. ?1或 4

7 25 C. ? 或 4 64

7 D. ? 或 7 4

设过 (1,0) 的直线与 y ? x 相切于点 ( x0 , x03 ) ,所以切线方程为
3

y ? x03 ? 3x02 ( x ? x0 )
3 , 2 15 25 2 x ? 9 相切可得 a ? ? , 当 x0 ? 0 时,由 y ? 0 与 y ? ax ? 4 64 3 27 27 15 2 x? x ? 9 相切可得 a ? ?1 ,所以选 A . 当 x0 ? ? 时,由 y ? 与 y ? ax ? 2 4 4 4
即 y ? 3x02 x ? 2x03 ,又 (1, 0) 在切线上,则 x0 ? 0 或 x0 ? ?
3(2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象 可能是 ( )

答案

D

4(2007 年福建理 11 文)已知对任意实数 x ,有 时, A. C.

f (? x) ? ? f ( x),g (? x) ? g ( x) ,且 x ? 0
( B. D. )

f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 时 f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0
B

f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

答案

.5(2007 年海南理 10)曲线 为 A. 答案

y ? e2

1

x

在点 (4 ,e

2

) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积
( ) D. e
2

9 2 e 2
D

B. 4e

2

C. 2e

2

6. (2007 年江苏 9) 已知二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x ) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x
( )

都有

f ( x) ? 0 ,则

f (1) 的最小值为 f '(0)
B.

A. 3 答案 8 已知函数 C

5 2

C. 2

D.

3 2

y ? f ( x) 的图象在点 M (1,f (1)) 处的切线方程是


y?
答案

1 x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) ? 2
3

9 如图,函数 其中

f ( x) 的图象是折线段 ABC ,

A,B,C 的坐标分别为 (0,,,,, 4) (2 0) (6 4) ,则
?x ? 0

f ( f (0)) ? 2; lim
答案 -2

f (1 ? ?x) ? f (1) ? ?x

. (用数字作答)

2 10(2010 江西卷理)设函数 f ( x) ? g ( x) ? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程

为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为 A. 4 B. ?

(

)

1 4

C. 2

D. ?

1 2

答案 A 解析 力。 11(2009 湖南卷文)若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [ a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象可能是 y y y y ( ) 由已知 g ?(1) ? 2 ,而 f ?( x) ? g ?( x) ? 2 x ,所以 f ?(1) ? g ?(1) ? 2 ?1 ? 4 故选 A

o

a

b x

o

a

b x
B.

o

a

b x
C.

o

a

b x

A .

D.

解析

因为函数 y ? f ( x) 的导函数 ...y ? f ?( x) 在区间 [ a, b ] 上是增函数,即在区间 [ a, b] 注意 C 中 y? ? k 为常数噢. ( )

上各点处的斜率 k 是递增的,由图易知选 A. 12(2009 天津卷理)设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) 3

1 e 1 B 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点。 e 1 C 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点。 e 1 D 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点。 e
A 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用,基础题。 解析 由 题 得 f `( x ) ?

1 1 x?3 ? ? , 令 f `( x ) ? 0 得 x ? 3 ; 令 f `( x ) ? 0 得 3 x 3x

0 ? x ? 3 ;f `( x ) ? 0 得 x ? 3 , 故知函数 f ( x ) 在区间 ( 0,3) 上为减函数, 在区间 ( 3,? ?)
为增函数,在点 x ? 3 处有极小值 1 ? ln 3 ? 0 ;又

f (1) ?

1 e 1 1 , f ?e ? ? ? 1 ? 0, f ( ) ? ? 1 ? 0 ,故选择 D。 3 3 e 3e
2

12.若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是

.

1 。 因为存在垂直于 y 轴 x 1 ? 的切线,故此时斜率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f ? x ? ? 2ax ? 存在零点。 x 1 解法 1 (图像法)再将之转化为 g ? x ? ? ?2ax 与 h ? x ? ? 存在交点。当 a ? 0 不符合题 x 意,当 a ? 0 时,如图 1,数形结合可得显然没有交点,当 a ? 0 如图 2,此时正好有一个
解析 解析

x 由题意该函数的定义域 x ? 0 , 由f ?
?

x 2 ? ?a

?

交点,故有 a ? 0 应填 ? ??,0 ? 或是 ?a | a ? 0? 。

解法 2 (分离变量法)上述也可等价于方程 2ax ?

1 ? 0 在 ? 0, ?? ? 内有解,显然可得 x

a??

1 ? ? ??, 0 ? 2x2
n ?1

13(2009 陕西卷理)设曲线 y ? x

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ? a99 的值为
.

xn ,令 an ? lg xn ,则 a1 ? a2 ?
答案 -2

解析:点(1,1)在函数y ? x n ?1 (n ? N * )的图像上, ? (1,1)为切点, y ? x n ?1的导函数为y ' ? (n ? 1) x n ? y ' |x ?1 ? n ? 1 ? 切线是:y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 1) 令y=0得切点的横坐标:xn ? n n ?1 1 2 98 99 1 a1 ? a2 ? ... ? a99 ? lg x1 x2 ...x99 ? lg ... ? lg ? ?2 2 3 99 100 100
3 2

14 ( 2009 浙 江 文 ) ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b

(a, b ? R) .
(I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值;

(II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 解析 又? (Ⅰ )由题意得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?
导函数 f ?( x ) 在 ( ?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?( x ) 在 ( ?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

(Ⅱ )函数 f ( x) 在区间 ( ?1,1) 不单调,等价于

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 15.(2009 北京文) (本小题共 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、 解不等式等基础知识, 考查 综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) f ' ? x ? ? 3x2 ? 3a , ∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,
' ? ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ?a ? 4, ? f ? 2? ? 0 ? ?? ?? ? ? f ? 2? ? 8 ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ?

∴?

' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0? ,

当 a ? 0 时, f

'

? x? ? 0 ,函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 上单调递增,

此时函数 f ( x ) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,

? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
' 当 x ? ??, ? a 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增, ' '

∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点, x ? 16.设函数 f ( x) ?

a 是 f ( x) 的极小值点.

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一

问关键是通过分析导函数,从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值, 由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。 解析 (I) f ?( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a)

由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (??,2) 是增函数; 当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (2a,??) 是增函数。 综上,当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减函数。 (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 f (2a) ? (2a) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3 4 3 ? ? a ? 4a 2 ? 24 a 3
f (0) ? 24a
由假设知

?a ? 1 ? ? f (2a) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ? ?24a ? 0.

解得 1<a<6

故 a 的取值范围是(1,6)
17(2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

1 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 。 2

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

解析

(1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) 。

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? 2分 x x x

(i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则

f ' ( x) ?

( x ? 1) 2 x

故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调增加。 (ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0
'

故 f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加。 (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调增 加. (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x

?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2

则 g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a ?1 a ?1 ? 2 xg ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x

由 于 1<a<5, 故 g ?( x) ? 0 , 即 g(x) 在 (4, + ∞ ) 单 调 增 加 , 从 而 当 x1 ? x2 ? 0 时 有 即 f( g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , x1 ) ?f (x ) x 1? x 2 ?0 2 ? , 故

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 , 当 0 ? x1 ? x2 x1 ? x2

时,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) · · · · · · · ·12 分 ? ? ?1· x1 ? x2 x2 ? x1

18(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ?1, a ? 0
3

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=my 与 y ?
m 的取值范围。

f ( x) 的图象有三个不同的交点, 求

解析

(1) f ' ( x) ? 3x2 ? 3a ? 3( x2 ? a),

当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ' ( x) ? 0, 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (??, ??) 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ? 由 f ' ( x) ? 0 解得 ? a ? x ?

a;

a,

当 a ? 0 时 , f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 (??, ? a ),( a , ??) ; f ( x ) 的 单 调 减 区 间 为

(? a , a ) 。
(2)因为 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值, 所以 f ' (?1) ? 3? (?1)2 ? 3a ? 0,?a ? 1. 所以 f ( x) ? x3 ? 3x ?1, f ' ( x) ? 3x2 ? 3, 由 f ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。
'

由(1)中 f ( x ) 的单调性可知, f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 , 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 。 因为直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点,又 f (? 3) ? ? 19 ? ? 3 ,

f (3) ? 17 ? 1 ,
结合 f ( x ) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 。 19.(2009 天津卷理) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3a)e ( x ? R), 其中 a ? R
2 2 x

(1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2)当 a ?

2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。 3

本小题主要考查导数的几何意义、 导数的运算、 利用导数研究函数的单调性与极值等基础 知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。 (I)解析

当a ? 0时,f ( x) ? x 2 e x ,f ' ( x) ? ( x 2 ? 2x)e x,故f ' (1) ? 3e.

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 3e.

(II) 解:f ' ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 2a 2 ? 4a e x .

?

?

令f ' ( x) ? 0,解得 x ? ?2a,或 x ? a ? 2.由a ?
以下分两种情况讨论。 (1) 若a >

2 知, ? 2a ? a ? 2. 3

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
? 2a

x

?? ?, ? 2a ?
+ ↗

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2

?a ? 2, ? ??
+ ↗

0 极 大值

0 极 小值

所以f ( x)在(??, ? 2a), (a ? 2, ? ?)内是增函数,在 (?2a,a ? 2)内是减函数 .

函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 .
(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
a?2

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

?a ? 2, ? 2a ?
— ↘

? 2a

?? 2a, ? ??
+ ↗

0 极 大值

0 极 小值

所以f ( x)在(??,a ? 2), (?2a, ? ?)内是增函数,在 (a ? 2, ? 2a)内是减函数。

函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . 函数f ( x)在x ? ?2a处取得极小值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a .


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