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任意角和弧度制及任意角的三角函数 导学案2012(1)

时间:2014-04-20


------------------------------------------------高三数学一轮复习导学案--------------------------------------------------------

课题

任意角和弧度制及任意角的三角函数
学校 日照实验高中 编者 王泳洁

【复习导航】
1.目标定位: 考查三角函数的定义及应用. 考查三角函数值符号的确定. 2.考题预测: 从近几年的高考试题看, 这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新, 因此 学习中要立足基础, 抓好对部分概念的理解. 预测将以选择题或填空题的形式考查三角函数 的定义以及终边相同的角的有关知识.

【要点梳理】
1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为________、________、________. ②按终边位置不同分为__________和__________. (2)终边相同的角 终边与角 α 相同的角可写成________________. (3)弧度制 ①1 弧度的角:____________________________________________叫做 1 弧度的角. ②规定: 正角的弧度数为______, 负角的弧度数为______, 零角的弧度数为____, |α|=____, l 是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. l ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值 与所取的 r 的大小______,仅与 r ____________有关. ④弧度与角度的换算:360° =________弧度;180° =______弧度. ⑤弧长公式:________, 扇形面积公式:S 扇形=________=__________. 2.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r (r>0),那么角 α 的正弦、余弦、正切分别是:sin α=______,cos α=______,tan α=______,它们都是以角 为__________,以比值为__________的函数. (2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数线 设角 α 的顶点在圆心 O,始边与 x 轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点 P,过 P 作 PM 垂 直 x 轴于 M, 作 PN 垂直 y 轴于点 N, 则点 M, N 分别是点 P 在 x 轴、 y 轴上的__________. 由 认真细致
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三角函数的定义知,点 P 的坐标为__________,即____________,其中 cos α=________, sin α=________,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点的切线与 α 的终边或其反 向延长线相交于点 T, 则 tan α=________.我们把有向线段 OM、 MP、 AT 叫做 α 的________、 __________、__________.

(Ⅰ) 三角函 数线

(Ⅱ)

(Ⅲ)

(Ⅳ)

有向线段______为正弦线;有向线段______为余 弦线;有向线段______为正切线 小注: 1.三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.在利用三角函数定义时, 点 P 可取终边上任一点, 如有可能则取终边与单位圆的交点, |OP|=r 一定是正值. 3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角, 第一类是象限角,第二类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制 度必须一致,不可混用. (3)注意熟记 0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题.

【基础自测】
9π 1.(教材习题改编)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) 4 9 A.2kπ+45° (k∈Z) B.k· 360° + π(k∈Z) 4 5π C.k· 360° -315° (k∈Z) D.kπ+ (k∈Z) 4 9π 9 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ+ π(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用, 4 4 所以只有答案 C 正确. 答案 C 2.若 α=k· 180° +60° (k∈Z),则 α 在( ) A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 解析 当 k=2m+1(m∈Z)时,α=2m· 180° +240° =m· 360° +240° ,故 α 为第三象限角; 当 k=2m(m∈Z)时,α=m· 360° +60° ,故 α 为第一象限角. 答案 A 3.若 sin αtan α<0,则 α 是( ) 认真细致
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A.第一或第三象限角 B.第二或第四象限角 C.第二或第三象限角 D.第三或第四象限角 解析 由 sin α<0 知 α 是第三、 四象限或 y 轴非正半轴上的角, 由 tan α>0 知 α 是第一、 三象限角,故 α 是第三象限角;或由 sin α>0 知 α 是第一、二象限或 y 轴非负半轴上的角, 由 tan α<0 知 α 是第二、四象限角,此时 α 为第二象限角,所以 α 是第二或第三象限角. 答案 C 4.已知角 α 的终边过点(-1,2),则 cos α 的值为( ) 5 2 5 2 5 5 A.- B. C.- D. 5 5 5 5 -1 5 解析 由三角函数的定义可知,r= 5,cos α= =- . 5 5 答案 A 5.(2011· 江西)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上 2 5 一点,且 sin θ=- ,则 y=________. 5 解析 根据正弦值为负数且不为-1,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断 y 2 5 定该角为第四象限角,∴y<0,sin θ= 2=- 5 ?y=-8. 16+y 答案 -8

【典例精析】
题型一 角的集合表示及象限角的判定 例 1 已知角 α=45° , (1)在区间[-720° ,0° ]内找出所有与角 α 有相同终边的角 β; k k ? ? ? ? +45° ,k∈Z?,N=?x|x= ×180° +45° ,k∈Z?, (2)设集合 M=?x|x=2×180° 4 ? ? ? ? 那么两集合的关系是什么? 【分析】从终边相同的角的表示入手分析问题,先表示出所有与角 α 有相同终边的角,然后 列出一个关于 k 的不等式,找出相应的整数 k,代入求出所求解. 【解】(1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为:β=45° +k× 360° (k∈Z), 则令-720° ≤45° +k× 360° ≤0° , 得-765° ≤k× 360° ≤-45° , 765 45 解得- ≤k≤- ,从而 k=-2 或 k=-1,代入得 β=-675° 或 β=-315° . 360 360 (2)因为 M={x|x=(2k+1)× 45° ,k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合; 而集合 N={x|x=(k+1)× 45° ,k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合, 从而:M ? ? N. 【反思】 1.第(1)小题与 α 角终边相同的角(连同角 α 在内), 可以表示为 β=k· 360° +α, k∈Z. 2.第(2)小题也可对整数 k 的奇、偶数情况展开讨论. 变式练习 1. (1)如果 α 是第三象限的角,那么-α,2α 的终边落在何处? (2)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (3)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角. 7 3 题型二 三角函数的定义 2 例 2. 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= m,试判断角 θ 所在的象限, 4 并求 cos θ 和 tan θ 的值. 【分析】根据三角函数定义求 m,再求 cos θ 和 tan θ. 认真细致
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【解】由题意得,r= 3+m2,∴

m 2 2= 4 m,∵m≠0, 3+m

∴m=± 5, 故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角, x - 3 6 ∴cos θ= = =- , r 2 2 4 y 5 15 tan θ= = =- . x - 3 3 当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角. x - 3 6 y - 5 15 ∴cos θ= = =- ,tan= = = . r 2 2 4 x - 3 3 【反思】 任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关, 而与角 α 终边上点 P 的位置无关. 若 角 α 已经给出,则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置,角 α 的三角函数值都是确定的. 变式练习 2. 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的值. 题型三 三角函数线及应用 例 3. 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围.并由此写出角 α 的集合: 3 1 (1)sin α≥ ; (2)cos α≤- . 2 2 【分析】 作出满足 sin α= 范围. 【解】 3 1 ,cos α=- 的角的终边,然后根据已知条件确定角 α 终边的 2 2

3 交单位圆于 A、B 两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中 2 阴影部分)即为角 α 的终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为 ? ? ? π 2 ?α 2kπ+ ≤α≤2kπ+ π,k∈Z ?. 3 3 ? ? ? (1)作直线 y=

1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图 2 中阴影部分)即为角 α 终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为 ? ? ? 2 4 ?α 2kπ+ π ≤α≤2kπ+ π,k∈Z?. 3 3 ? ? ? 【反思】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是: (1)用边界值定出角的终边位置; (2)根据不等式(组)定出角的范围; (3)求交集,找单位圆中公共的部分; (4)写出角的表达式. 认真细致
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θ θ θ 变式练习 3. 设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2 题型四 三角函数值的符号及判定 例 4 如果点 P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,试判断角 θ 所在的象限. 【分析】由点 P 所在象限,判断 sin θ,cos θ 分别的符号,进而确定角 θ 所在的象限. 【解】 (1)因为点 P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限, ?sin θ>0 所以 sin θcos θ<0,2cos θ<0,即? , ?cos θ<0 由 sinθ>0 知 θ 是第一、二象限或 y 轴非负半轴上的角, 由 cos θ<0 知 θ 是第二、三象限或 x 轴非正半轴上的角, 所以 θ 为第二象限角. 【反思】熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类题目的关键. α α α 变式练习 4 已知 sinα<0,tanα>0.试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2 题型五 弧度制的应用 例 5 已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. 【分析】(1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形,可得圆心角 α 的值; (2)利用弧长公式可求得弧长,再利用扇形面积公式可得扇形面积,从而可求弓形 的面积. 【解】 (1)由⊙O 的半径 r=10=AB,知△AOB 是等边三角形, π ∴α=∠AOB=60° = . 3 π (2)由(1)可知 α= ,r=10, 3 π 10π ∴弧长 l=α· r= ×10= , 3 3 1 1 10π 50π ∴S 扇形= lr= × ×10= , 2 2 3 3 1 10 3 1 10 3 50 3 而 S△AOB= · AB· = ×10× = , 2 2 2 2 2 π 3 ∴S=S 扇形-S△AOB=50? - ?. ?3 2 ? 【反思】 弧度制下的扇形的弧长与面积公式,比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁 得多,用起来也方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式. 变式练习 5. 已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?

【课堂小结】
1.在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任意一点,如有可能则取终边与单位圆的交点, |OP|=r 一定是定值. 2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借助口诀:sin α 上正下负,cos α 右 正左负,tan α 奇正偶负. 3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.

【巩固深化】
一、选择题 1.在直角坐标平面内,对于始边为 x 轴正半轴的角,下列命题中正确的是( 认真细致
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)

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A.第一象限中的角一定是锐角 B.终边相同的角必相等 C.相等的角终边一定相同 D.不相等的角终边一定不同 2.sin 2cos 3tan 5 的值( ) A.小于 0 B.大于 0 C.等于 0 D.不存在 θ θ θ ? 3.设 θ 是第三象限角,且? ) ?cos2?=-cos2,则2是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若一扇形的圆心角为 72° ,半径为 20 cm,则扇形的面积为( ) A.40 π cm2 B.80 π cm2 C.40 cm2 D.80 cm2 4 5.已知角 α 的终边经过点 P(m,-3),且 cosα=- ,则 m 等于( ) 5 11 11 A.- B. C.-4 D.4 4 4 二、填空题 6.在直角坐标系中,O 是原点,A( 3,1),将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B 点,则 B 点 坐标为__________. 2π 2π? 7.已知角 α 的终边上一点的坐标为? ?sin 3 ,cos 3 ?,则角 α 的最小正值为________. 8.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为________. 三、解答题 9.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm, 求圆心角的弧度数和弦长 AB. 2 10.(1)设 90° <a<180° .角 α 的终边上一点为 P(x, 5),且 cos α= x, 4 求 sin α 与 tan α 的值; (2)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ=-x,求 sin θ,cos θ. 拓展提高 角 α 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a>0),角 β 终边上的点 Q 与 A 关于 直线 y=x 对称,求 sin α· cos α+sin β· cos β+tan α· tan β 的值.

【参考答案】
要点梳理 1.(1)①正角 负角 零角 ②象限角 轴线角 (2)α+k· 360°(k∈Z) (3)①长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 ②正数 负数 零 ④2π π ⑤l=|α|r y x y 2.(1) r r x 1 1 lr |α|r2 2 2 l ③无关 角的大小 r

自变量 函数值

3.正射影 (cos α,sin α) P(cos α,sin α) OM MP AT 余弦线 正弦线 正切线 MP OM AT 基础自测 9π 9 1. 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ+ π(k∈Z), 但是角度制与弧度制不能混用, 所 4 4 以只有答案 C 正确. 答案 C 2.解析 当 k=2m+1(m∈Z)时,α=2m· 180° +240° =m · 360° +240° ,故 α 为第三象限角; 认真细致
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当 k=2m(m∈Z)时,α=m· 360° +60° ,故 α 为第一象限角. 答案 A 3.解析 由 sin α<0 知 α 是第三、四象限或 y 轴非正半轴上的角,由 tan α>0 知 α 是第一、 三象限角,故 α 是第三象限角;或由 sin α>0 知 α 是第一、二象限或 y 轴非负半轴上的角, 由 tan α<0 知 α 是第二、四象限角,此时 α 为第二象限角,所以 α 是第二或第三象限角. 答案 C -1 5 4.解析 由三角函数的定义可知,r= 5,cos α= =- . 答案 A 5 5 5.解析 根据正弦值为负数且不为-1,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定 y 2 5 该角为第四象限角,∴y<0,sin θ= 答案 -8 2=- 5 ?y=-8. 16+y 3π 变式练习 1. 解 (1)由 α 是第三象限的角得 π+2kπ<α< +2kπ (k∈Z) 2 3π ?- -2kπ<-α<-π-2kπ (k∈Z), 2 π 即 +2kπ<-α<π+2kπ (k∈Z). 2 ∴角-α 的终边在第二象限; 3π 由 π+2kπ<α< +2kπ (k∈Z), 2 得 2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z). ∴角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴. π (2) ∵在(0,π)内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3 π ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为{α|α= +kπ,k∈Z}. 3 6π (3)∵θ= +2kπ (k∈Z), 7 θ 2π 2kπ ∴ = + (k∈Z). 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ + <2π,- ≤k< ,k∈Z. 7 3 7 7 θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与 相同的角为 , , . 3 7 21 21 变式练习 2.解 ∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, ∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t) (t≠0),则 x=4t,y=-3t, r= x2+y2= (4t) ? ( ?3t ) =5|t|,
2 2

当 t>0 时,r=5t, y -3t 3 sin α= = =- , r 5t 5 x 4t 4 cos α= = = , r 5t 5 y -3t 3 tan α= = =- ; x 4t 4 y - 3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sin α= = = , r -5t 5 x 4t 4 y -3t 3 cos α= = =- ,tan α= = =- . r -5t 5 x 4t 4 3 4 3 3 4 3 综上可知,sin α=- ,cos α= ,tan α=- 或 sin α= ,cos α=- ,tan α=- . 5 5 4 5 5 4 变式练习 3. 解:∵θ 是第二象限角, π ∴ +2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z, 2 认真细致
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π θ π ∴ +kπ< < +kπ,k∈Z, 4 2 2 θ ∴ 是第一或第三象限的角. 2 (如图阴影部分),结合单位圆上的三角函数线可得: θ ①当 是第一象限角时, 2 θ θ θ sin =AB,cos =OA,tan =CT, 2 2 2 θ θ θ 从而得,cos <sin <tan ; 2 2 2 θ ②当 是第三象限角时, 2 θ θ θ sin =EF,cos =OE,tan =CT, 2 2 2 θ θ θ 得 sin <cos <tan . 2 2 2 θ θ θ θ 综上所得,当 在第一象限时,cos <sin <tan ; 2 2 2 2 θ θ θ θ 当 在第三象限时,sin <cos <tan . 2 2 2 2 变式练习 4 解 (1)由 sinα<0,知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上; 由 tanα>0,知 α 在第一、三象限,故 α 角在第三象限, 3π 其集合为{α|(2k+1)π<α<2kπ+ ,k∈Z}. 2 π α 3π α 即得 kπ+ < <kπ+ ,k∈Z,故 终边在第二、四象限. 2 2 4 2 α α α α 当 在第二象限时,tan <0,sin >0,cos <0, 2 2 2 2 α α α 所以 tan sin cos 取正号; 2 2 2 α α α α 当 在第四象限时,tan <0,sin <0,cos >0, 2 2 2 2 α α α 所以 tan sin cos 也取正号. 2 2 2 α α α 因此,tan sin cos 取正号. 2 2 2 变式练习 5. 解 设圆心角是 θ,半径是 r,则 2r+rθ=40, 20?2 1 1 S= lr= r(40-2r)=r(20-r)≤? ? 2 ? =100. 2 2 当且仅当 r=20-r,即 r=10 时,Smax=100. ∴当 r=10,θ=2 时,扇形面积最大,即半径为 10,圆心角为 2 弧度时,扇形面积最大.

【巩固深化】
一、选择题 π 1.解析:第一象限角是满足 2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z 的角,当 k≠0 时,它都不是锐角,与 2 角 α 终边相同的角是 2kπ+α,k∈Z;当 k≠0 时,它们都与 α 不相等,亦即终边相同的角可 以不相等,但不相等的角终边可以相同. 答案 C 2.解析 ∵sin 2>0,cos 3<0,tan 5<0, ∴sin 2cos 3tan 5>0. 答案 B 认真细致
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θ 3.解析 由 θ 是第三象限角,知 为第二或第四象限角, 2 θ θ θ θ ? ∵? ?cos2?=-cos2,∴cos2≤0,知2为第二象限角. 答案 B 2π 1 1 2π 4.解析 72° = ,∴S 扇形= αR2= × ×202=80 π(cm2). 5 2 2 5 答案 B m 4 5.解析:由题意可知,cosα= =- ,又 m<0,解得 m=-4. 5 m2+9 答案 C 二、填空题 6.解析:依题意知 OA=OB=2,∠AOx=30° ,∠BOx=120° , 所以 x=2cos 120° =-1,y=2sin 120° = 3,即 B(-1, 3). 答案 (-1, 3) 2 1 cos π - 3 2 3 7.解析:∵tanα= = =- , 2 3 3 sin π 3 2 2 2 且 sin π>0,cos π<0, 3 3 3 11 ∴α 在第四象限,由 tanα=- ,得 α 的最小正值为 π. 3 6 11 答案 π 6 8.解析:设圆半径为 R,由题意可知:圆内接正三角形的边长为 3R. ∴圆弧长为 3R. 3R ∴该圆弧所对圆心角的弧度数为 = 3. R 答案 3 三、解答题 9.解 设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm, 1 ? ? ?2lr=1, ?r=1, l 则? 解得? ∴圆心角 α= =2. r ?l=2. ? ? ?l+2r=4,

如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H.则∠AOH=1 弧度, ∴AH=1· sin 1=sin 1 (cm),∴AB=2sin 1 (cm). x 10.解 (1)∵r= x2+5,∴cos α= 2 . x +5 2 x 从而 x= 2 ,解得 x=0 或 x=± 3. 4 x +5 ∵90° <α<180° ,∴x<0,因此 x=- 3. 5 10 故 r=2 2,sin α= = , 4 2 2

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5 15 tan α= =- . 3 - 3 (2)∵θ 的终边过点(x,-1), 1 ∴tan θ=- , x 又∴tan θ=-x,∴x2=1,∴x=± 1. 2 2 当 x=1 时,sin θ=- ,cos θ= ; 2 2 2 2 当 x=-1 时,sin θ=- ,cos θ=- . 2 2 拓展提高 解 由题意得,点 P 的坐标为(a,-2a), 点 Q 的坐标为(2a,a). -2a 2 所以,sin α= 2 , 2=- 5 a +?-2a? a 1 cos α= 2 , 2= 5 a +?-2a? -2a tan α= =-2, a a 1 sin β= , 2 2= 5 ?2a? +a 2a 2 cos β= , 2 2= 5 ?2a? +a a 1 tan β= = , 2a 2 -2 1 1 2 1 故有 sin α· cos α+sin β· cos β+tan α· tan β= × + × +(-2)× =-1. 2 5 5 5 5

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