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上海市复旦大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:三角函数 含答案(精品)

时间:2015-01-28


复旦大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:三角函数
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.函数 y = sin2x+cos2x 的值域是( A.[-1,1] 【答案】D 2.若 cos(? ? ? ) ? ? B. [-2,2] ) C.[-1, 共 60 分)

一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

2]

D.[-

2, 2]

1 3 , ? ? ? ? 2? ,则 s in(2? ? ? ) =( 2 2
B. ?

)

A.

1 2

3 2

C. ?

3 2

D.

3 2

【答案】A

a1 a2
3.定义行列式运算

a3 a 4

= a1 a 4

? a2 a3 .将函数 f ( x) ?
) C. ?

sin 2 x cos 2 x

3 1

的图象向左平移

? 6

个单位,以下是所得函数图象的一个对称中心是( A. ?

?? ? ,0? ?4 ?

B. ?

?? ? ,0? ?2 ?

?? ? ,0? ?3 ?

D. ?

?? ? ,0? ? 12 ?

【答案】B 4.若 ? ?

3 7 ?π π? ,则 sin ? ? ( , ? , sin 2? = ? 8 ?4 2?
B.

)

A.

3 5

4 5

C.

3 4

D.

7 4

【答案】C 5.已知函数 f ( x) ? 2 sin ?x在区间[?

? ?

, ] 上的最小值为-2,则 ? 的取值范围是( 3 4
B. ? ? ?,?

)

A. ? ? ?,? C.

? ?

9? ? ?6,??? 2? ?

? ?

9? ?3 ? ? ? ,?? ? ? 2? ?2 ?

?? ?,?2? ? ?6,???

D. ?? ?,?2? ? ? 3 ,?? ? ? ? ?2 ?

【答案】D 6.如图, A, B 两点都在河的对岸(不可到达),为了测量 A, B 两点间的距离,选取一条基线 CD , 测得: CD ? 200m, ?ADB ? ?ACB ? 300 , ?CBD ? 600 ,则 AB ? ( )

A.

200 3 m 3

B. 200 3 D.数据不够,无法计算

C. 100 2m 【答案】A

7.在锐角三角形中,a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边,设 B=2A,则 A. (-2,2) 【答案】C B. (0,2) C. (

b 的取值范围是( a

)

2 ,2 )

D. (

2, 3)

8.直线 l1 与 l2 相交于点 A ,动点 B 、 C 分别在直线 l1 与 l2 上且异于点 A ,若 AB 与 AC 的夹 角为 60 , BC ? 2 3 ,则 ?ABC 的外接圆的面积为( A. 2? 【答案】B 9.函数 y ? 2 cos ( x ?
2

) D. 12?

B. 4?

C. 8?

?
4

) ? 1 是(

) B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 【答案】A

? 的奇函数 2
2 2

? 的偶函数 2

10.△ABC 中,sin A=sin B+sin C,则△ABC 为( A 直角三角形 【答案】A 11.设 0 ? x ? 2? ,且 A.0≤ x ≤ 【答案】B 12.点A(x,y)是210°角终边上异于原点的一点,则 B 等腰直角三角形

2

) C 等边三角形 ) D.
? 3? ≤x≤ 2 2

D 等腰三角

1 ? sin 2 x = sin x ? cos x, 则(
? 5? B. ≤ x ≤ 4 4

? 7? C. ≤ x ≤ 4 4

y 值为( x

)

A. 【答案】C

3

B. -

3

C.

3 3
共 90 分)

D. -

3 3

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

sin
13.

5? 4? ? lg 2 ? lg 7 ? cos ? lg 7 5 ? 6 3

__

【答案】0 14.已知 x ? y ? 【答案】1 15.函数

2 sin(? ?

?

), x ? y ? 2 sin(? ? ) ,则 x 2 ? y 2 的值是 4 4
.

?

f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是

【答案】 ? 16.函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的部分图象如下图所示,则

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (11) 的值等于

【答案】 2 ? 2

2

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 已知 A ?

?
4

, b sin(

?
4

? C ) ? c sin(

?
4

? B) ? a

(1) 求证: B ? C ? (2) 若 a ?

?
2

2 ,求△ABC 的面积.

【答案】 (1)由 b sin(

?
4

? C ) ? c sin(

?
4

? B ) ? a 及正弦定理得:

sin B sin(
即 sin B(

?
4

? C ) ? sin C sin(

?
4

? B) ? sin A ,

2 2 2 2 2 cos C ? sin C ) ? sin C ( cos B ? sin B) ? 2 2 2 2 2
3? 4

整理得: sin B cos C ? cos B sin C ? 1 ,所以 sin( B ? C ) ? 1 ,又 0 ? B, C ? 所以 B ? C ?

?
2

(2) 由(1)及 B ? C ?

? 3? 5? ? , C ? ,又 A ? , a ? 2 可得 B ? 4 4 8 8

所以 b ?

a sin B 5? a sin C ? ? 2sin ,c ? ? 2sin , 所以三角形 ABC 的面积 sin A 8 sin A 8

1 5? ? ? ? 2 ? 1 ? bc sin A ? 2 sin sin ? 2 sin cos ? sin ? 2 8 8 8 8 2 4 2
18.求函数 y=- cos x + 小值。 【答案】令 t=cosx, 则 t ? [?1,1]
2

2

3 cos x +

5 的最大值及最小值,并写出 x 取何值时函数有最大值和最 4

所以函数解析式可化为: y ? ?t ?

3t ?

5 4

= ? (t ?

3 2 ) ?2 2

因为 t ? [?1,1] , 所以由二次函数的图像可知:

当t ?

? 11? 3 ,k ? Z 时,函数有最大值为 2,此时 x ? 2k? ? 或2k? ? 6 6 2
1 ? 3 ,此时 x ? 2k? ? ?,k ? Z 4

当 t=-1 时,函数有最小值为 19.已知函数

f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 的一系列对应值如下表:

(1)根据表格提供的数据求函数 (2) 根据 (1) 的结果, 若函数

f ? x ? 的一个解析式;
2? ? 0 , ] 时, , 当 x ?[ 方程 f ? kx ? ? m 3 3

y ? f ? kx ?? k ? 0? 周期为

恰有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1)设 由T ?

f ? x ? 的最小正周期为 T ,得 T ?
得? ? 1,

11? ? ? ( ? ) ? 2? , 6 6

2?

?



又?

? B ? A ? 3 ,解得 ? A ? 2 ? ?B ?1 ? B ? A ? ?1

令? ?

? 5? ? 5? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ,解得 ? ? ? , 3 6 2 6 2
? ?? ? ?1. 3?

∴ f ? x ? ? 2sin ? ?x?

(2)∵函数 y ? f ? kx ? ? 2sin ? kx ? 又k ? 0, 令 t ? 3x ? ∴ k ? 3,

? ?

2? ?? ? ? 1的周期为 3 , 3?

? ? ,∵ x ? ?0, ? , ? 3 ? 3? ?

∴ t ? [?

? 2? , ], 3 3

如图, sin t ? s 在 [ ?

? 2? 3 , ] 上有两个不同的解,则 s ? [ ,1) , 3 3 2

∴方程

, f ? kx ? ? m 在 x ? [0, ] 时恰好有两个不同的解,则 m ? ? ? 3 ? 1,3

? 3

?

即实数 m 的取值范围是 ? 3 ? 1,3

?

?

20. 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 且 2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值. 【答案】 (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 即 故
2

? (2b ? c)b ? (2c ? b)c
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A

a2 ? b2 ? c2 ? bc

由余弦定理得

1 cos A ? ? ,A=120° 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

sin B ? sin C ? sin B ? sin(60? ? B ) ?

3 1 cos B ? sin B 2 2 ? sin(60? ? B)

故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 21.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, q=( 2 a ,1) ,p=( 2b ? c , cos C ) 且 p // q .求: (I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式

【答案】 (I)∵ p // q ,∴ 2a cos C ? 2b ? c , 根据正弦定理,得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C , 又 sin B ? sin

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C

? A ? C ? ? sin Acos C ? cos Asin C ,

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2 ? 3 又 0 ? A ? ? ? A ? ;sinA= 3 2
(II)原式 ?

? 2 cos 2C 2(cos2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? ? 1 ? 2 cos2 C ? 2 sin C cosC , sin C 1 ? tanC 1? cosC

), 4 2 ? ? 13 2 ? ? sin(2C ? ) ? 1 , ? ,∴ ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? 2 4 4 4 12 3 ? ∴ ? 1 ? 2 sin(2C ? ) ? 2 ,∴ f (C ) 的值域是 (?1, 2 ] . 4
22.已知

? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin( 2C ?

?

? 4 ? ? ? ? ,且 sin(? ? ? ) ? 2 5

sin(2? ? ? ) tan( ? ? ? ) cos(?? ? ? ) 的值。 3? ? sin( ? ? ) cos( ? ? ) 2 2 sin 2? ? cos 2? (2)求 的值。 5? tan(a ? ) 4 4 ? 3 【答案】 (1) sin(? ? ? ) ? sin ? ? ∴ ? ? ? ? ,∴ cos ? ? ? 5 2 5 sin(2? ? ? ) tan( ? ? ? ) cos(?? ? ? ) sin ? ? (? tan? ) ? (? cos? ) sin ? 4 ? ? tan? ? ?? 3? ? (? cos? )(? sin ? ) cos? 3 sin( ? ? ) cos( ? ? ) 2 2 sin(2? ? ? ) tan( ? ? ? ) cos(?? ? ? ) sin ? ? (? tan? ) ? (? cos? ) sin ? 4 ? ? tan? ? ?? 3? ? (? cos? )(? sin ? ) cos? 3 sin( ? ? ) cos( ? ? ) 2 2
(1)求


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