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2014学年度第一学期期末考试高一数学试卷


2014 学年度第一学期期末考试高一数学试卷
本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第一部分 选择题(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题的四个选项中,有一项是符 合题目要求的. 1.若 A ? x | 0 ? x ? A.

?

/>
2 , B ? ? x |1 ? x ? 2? ,则 A ? B ? (
B.

?

) D.

?x | x ? 0?

?x | x ? 2?
)

C.

?0 ? x ? 2?

?x | 0 ? x ? 2?

2.下列三视图所表示的几何体是(

正视图

侧视图

俯视图

A. 正方体

B. 圆锥体

C. 正四棱台 )

D. 长方体

3.下列各组函数中,表示同一函数的是( A. y ? 1, y ?
2

x x

B. y ? lg x 2 , y ? 2 lg x C. y ? x, y ? 3 x 3 ) C. [ ?1,15]

D. y ? x , y ?

? x?

2

4.函数 y ? x ? 2 x(?1 ? x ? 3) 的值域是( A. [?1,1] B. [?1,3]

D. [1,3]

x ? ?2 , x ? 0 5.函数 y ? ? ? x 的图像为( 2 , x ? 0 ? ?

)

6.某林场计划第一年造林 10000 亩,以后每年比前一年多造林 20%,则第四年造林(

)

A.14400 亩

B.172800 亩

C.17280 亩

D.20736 亩

7.圆柱体的底面半径是 R ,高是 2 R ,半球体的半径是 R ,则圆柱体的全面积与半球体的全 面积的比是( A. 2 :1 ) B. 3 :1 C. 3 : 2 D. 4 : 3 )

8.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( A. 0 B. ? 8 C. 2 D. 10 ) D.(0,1) )

9.设 x0 是方程 ln x ? x ? 4 的解,则 x0 在下列哪个区间内( A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2)

10.圆: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是( B. 1 ?

A. 2

2 2

C. 1 ? 2 2

D. 1 ? 2

第二部分 非选择题(共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分 11.函数 f ( x) ?

x ?1 的定义域为__________________ x?2
? x 2 ? 1 ( x ? 0) ,若 f ( x) ? 10 ,则 x ? _____________ ? 2 x ( x ? 0 ) ?
1 1 ? 的值等于______ a b
.

12.已知函数 f ( x) ? ?

13.若三点 A(2,2), B(a,0),C (0, b)(ab ? 0) 共线,则 14.下列命题中:

(1)平行于同一直线的两个平面平行; (2)平行于同一平面的两个平面平行; (3)垂直于同一直线的两直线平行; (4)垂直于同一平面的两直线平行. 其中正确的个数有____________个。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15(本题满分 12 分)给出四个多面体 A,B,C,D,将它们的面数、顶点数和棱数分别记 作 M、N、L,

A

B

C

D

(1)观察图形,将面数、顶点数、棱数填入下表:
多面体 数目 面数(M) 顶点数(N) 棱数(L)

A

B

C

D

(2)仔细研究你完成的表格,会发现每一列的数据都和某一个常数有着某种等量关系,请写 出用 M、N、L 表示的这个关系式。 16(本题满分 12 分)已知三角形的三个顶点是 A(4,0) ,B(6,7) ,C(0,3). (1)求 BC 边上的高所在的直线方程 (2)求 BC 边上的中线所在的直线方程 17(本题满分 14 分)如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

AB ? AD ? 1 , AA1 ? 2 ,点 P 为 DD1 的中点。
(1)求证:直线 BD1 ∥平面 PAC (2)求证:平面 PAC ? 平面 BDD 1 (3)求证:直线 PB1 ? 平面 PAC
C C1

D1

A1 B1

P

D B

A

18(本题满分 14 分)若函数 f ( x) ?

9 (a ? 1) x 2 ? 1 ,且 f (1) ? 3 , f ( 2) ? 2 bx

(1)求 a , b 的值,写出 f ( x) 的表达式

(2)求证 f ( x) 在 [1,??) 上是增函数 19(本题满分 14 分)已知 f ( x) ? log 2 (1)求 f ( x) 的定义域 (2)判断 f ( x) 的奇偶性并予以证明 (3)求使 f ( x) >0 的 x 取值范围 20(本题满分 14 分)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0, 直线l : y ? x ? b . (1)若直线 l 与圆 C 相切,求实数 b 的值 (2)是否存在直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,且 OA ? OB (O 为坐标原点) ;如果存在,求出 直线 l 的方程,如果不存在,请说明理由

1? x . 1? x

2014 学年度第一学期期末考试 高一数学参考答案及评分标准 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题目 答案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 B 6 C 7 A 8 B 9 B 10 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.[1,2)∪(2,+∞) 三.解答题(共 80 分) 15. (1)观察图形,将面数、顶点数、棱数填入下表: 数目 体 面 数(M) 4 4 6 5 6 9 6 8 12 7 10 15 6分 (2)仔细研究你完成的表格,会发现每一列的数据都和某一个常数有着某种等量关系,请 写出用 M、N、L 表示的这个关系式。 解:这个关系式是 16.解: (1) k BC ? 多面 A B C D 12.

?3

13.

1 2

14. 2

顶点数(N) 棱 数(L)

M ?N ?L?2

12 分 3分

7?3 2 ? 6?0 3 3 2 3 2

所以 BC 边上的高所在直线的斜率为 ?

5分 7分 9分

所以 BC 边上的高所在直线方程是 y ? ? ( x ? 4),即3x ? 2 y ? 12 ? 0 (2)BC 的中点坐标为(3,5) 所以 BC 边上的中线所在直线方程是 即 5 x ? y ? 20 ? 0 17.解: (1)设 AC 和 BD 交于点 O,连 PO, 由 P,O 分别是 DD1 ,BD 的中点,

y 5 ? x ?4 3?4

11 分 12 分

故 PO// BD1 ,所以直线 BD1 ∥平面 PAC (2)长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 , 底面 ABCD 是正方形,则 AC ? BD 又 DD1 ? 面 ABCD,则 DD1 ? AC, 所以 AC ? 面 BDD 1 ,则平面 PAC ? 平面 BDD 1 (3)PC2=2,PB12=3,B1C2=5,所以△PB1C 是直角三角形。 PB1 ? PC, 同理 PB1 ? PA,所以直线 PB1 ? 平面 PAC 。 18.解 (1)∵ f (1) ? 3 又 ∵ f ( 2) ? ∴

4分

9分

14 分

9 2

a?2 ?3 ① b 4(a ? 1) ? 1 9 ? ∴ 2b 2



由①、②=解得 a=1,b=1 (2)设 x2 ? x1 ? 1 ,,则

2 x2 ? 1 ∴ f ( x) ? x

8分

2 x22 ? 1 2 x12 ? 1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? x2 x1
=

(2 x2 2 ? 1) x1 ? (2 x12 ? 1) x2 ( x2 ? x1 )(2 x1 x2 ? 1) = x2 ? x1 x2 ? x1

∵x1≥1,x2>1,∴2x1x2-1>0., x1x2>0., 又∵x1<x2,∴x2-x1>0. ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) >0 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 故函数 f(x)在区间[1,+∞ ) 上是增函数. 19:解 14 分

1? x ? 0 故 f ( x) 的定义域为(-1,1) 1? x 1? x 1? x ? ? log 2 ? ? f ( x), ? f ( x) 为奇函数 (2) f (? x) ? log 2 1? x 1? x 1? x 1? x ? 0等价于 ? 1, (3) log 2 (i) 1? x 1? x
(1)由对数函数的定义域知 而从(1)知 1 ? x ? 0, 故(i)等价于 1 ? x ? 1 ? x 又等价于 x ? 0

4分 9分

故对 当x ? (0,1) 时有 f ( x) >0 20.解: (1)圆的方程化为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 所以圆心为(1,2) ,半径为 2 2

14 分 1分 3分 5分 6分 2分 4分 5分 6分

?d ?

1? 2 ? b 2

?2 2

? b ? 5或 ? 3
或将 y ? x ? b代入圆方程得 2x 2 ? 2(b ? 3) x ? b 2 ? 4b ? 3 ? 0

?? ? 4(b ? 3) 2 ? 4 ? 2 ? (b 2 ? 4b ? 3)
? ?4b 2 ? 8b ? 60 ? 0
? b ? 5或 ? 3
(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? OA ? OB,?

y1 y 2 ? ? ?1 ,即 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 x1 x 2

8分

? y1 ? x1 ? b, y 2 ? x2 ? b,? x1 x2 ? ( x1 ? b)( x2 ? b) ? 0

?2x1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b 2 ? 0
将 y ? x ? b 代入圆方程得: 2 x 2 ? 2(b ? 3) x ? b 2 ? 4b ? 3 ? 0

9分 10 分 11 分

? x1 ? x 2 ? 3 ? b, x1 x 2 ?

b 2 ? 4b ? 3 2

?b 2 ? 4b ? 3 ? b(3 ? b) ? b 2 ? 0, b 2 ? b ? 3 ? 0
b? 1 ? 13 2 y?x? 1 ? 13 2
13 分 14 分

所以所求直线方程为

预测全市平均分为 80 分左右 命题人:荔城中学 陈广智


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