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高中物理竞赛教程(超详细) 第十四讲 固体和液体

时间:2010-02-01


第三讲 固体和液体 §3.1 固体的有关性质 固体可以分为晶体和非晶体两大类。岩盐、水晶、明矾、云母、冰、金属等都是晶体; 玻璃、沥清、橡胶、塑料等都是非晶体。 (1)晶体和非晶体 晶体又要分为单晶体和多晶体两种。 单晶体具有天然规则的几何外形, 如雪花的形状总 是六角形的。并且,单晶体在各个不同的方向上具有不同的物理性质,即各向导性。如力学 性质(硬度、弹性模量等)、热性性质(

热胀系数、导热系数等)、电学性质(介电常数、电阻率 等)、光学性质(吸收系数、折射率等)。如云母结晶薄片,在外力作用下很容易沿平行于薄片 的平面裂开,但在薄片上裂开则要困难得多;在云母片上涂一层薄薄的石蜡,然后用烧热的 钢针去接触云母片的反面,则石蜡将以接触点为中心、逐渐向四周熔化,熔化了的石蜡成椭 圆形,如果用玻璃片做同样的实验,熔化了的石蜡成圆形,这说明非晶体玻璃在各方向的导 热系数相同,而晶体云母沿各方向的导热系数不同。 因多晶体是由大量粒(小晶体)无规则地排列组合而成,所以,多晶体不但没有规则的外 形,而且各方向的物理性质也各向同性。常见的各种金属材料就是多晶体。 但不论是单晶体还是多晶体,都具有确定的熔点,例如不同的金属存在着不同的熔点。 非晶体没有天然规则的几何外形,各个方向的物理性质也相同,即各向同性。非晶体在 加热时,先逐渐变软,接着由稠变稀,最后成为液体,因此,非晶体没有一定的熔点。晶体 在加热时,温度升高到熔点,晶体开始逐渐熔解直到全部融化,温度保持不变,其后温度才 继续上升。因此,晶体有一定的熔点。 (2)空间点阵 晶体与非晶体性质的诸多不同, 是由于晶体内部的物质微粒(分子、 原子或离子)依照一定的规律在空间中排列成整齐的后列,构成所谓的 空间点阵的结果。 图 3-1-1 是食盐的空间点阵示意图, 在相互垂直的三个空间方向上, 每一行都相间的排列着正离子(钠离子)和负离子(氯离子)。 晶体外观的天然规则形状和各向异性特点都可以用物质微粒的规 图 3-1-1 则来排列来解释。在图 3-1-2 中表示在一个平面上晶体物质微粒的排列 情况。从图上可以看出,沿不同方向所画的等长直线 AB、AC、AD 上, 物质微粒的数目不同, 直线 AB 上物质微粒较多, 直线 AD B A 上较少,直线 AC 上更少。正因为在不同方向上物质微粒 排列情况不同,才引起晶体在不同方向上物理性质的不 同。 C D 组成晶体的粒子之所以能在空间构成稳定、周期性的 空间点阵,是由于晶体微粒之间存在着很强的相互作用 图 3-1-2 力,晶体中粒子的热运动不能破坏粒子之间的结合,粒子 仅能在其平衡位置(结点处)附近做微小的热振动。晶体熔解过程中达熔点时,它吸收的热量 都用来克服有规则排列的空间点阵结构,所以,这段时间内温度就不会升高。 例题:NaCl 的单位晶胞是棱长 a=5.6 ? 10
?

?10

m 的立方体,如图 7-1-3。黑点表示 Na 位
3

?

置, 圆圈表示 Cl 位置, 食盐的整体就是由这些单位晶胞重复而得到的。
3 Na 原子量 23,Cl 原子量 35.5,食盐密度 ? ? 2.22 ? 10 g/m 。我们来 确定氢原子的质量。

在一个单位晶胞里,中心有一个 Na ,还有 12 个 Na 位于大立方

?

?

图 3-1-3

体的棱上,棱上的每一个 Na 同时为另外三个晶胞共有,于是属于一个晶胞的 Na 数

?

?

12 ? ? 3 n 1 =1+ 4 =4, 数 n 2 =4。 Cl 晶胞的质量 m=4(m 1 +m 2 )原子质量单位。 a =4(23+35.5) ? m H ,
得 m H =1.67 ? 10
?27

kg。

§3.2 固体的热膨胀 几乎所有的固体受热温度升高时,都要膨胀。在铺设铁路轨时,两节钢轨之间要留有少 许空隙,给钢轨留出体胀的余地。一个物体受热膨胀时,它会沿三个方向各自独立地膨胀, 我们先讨论线膨胀。 固体的温度升高时,它的各个线度(如长、宽、高、半径、周长等)都要增大,这种现象 叫固体的线膨胀。我们把温度升高 1℃所引起的线度增长跟它在 0℃时线度之比,称为该物 体的线胀系数。 设一物体在某个方向的线度的长度为 l ,由于温度的变化△T 所引起的长度的变化△ l 。 由实验得知,如果△T 足够小,则长度的变化△ l 与温度的变化成正比,并且也与原来的长 度 l 成正比。即△ l = ?l △T.式中的比例常数 ? 称作线膨胀系数。对于不同的物质,? 具有 不同的数值。将上式改写为 其线度的相对变化。

a?

?l l l . ?T 。所以,线膨胀系数α 的意义是温度每改变 1K 时,

a?
即:
?5

lt ? l0 l0 t
l

式中 a 的单位是 1/℃, l 0 为 0℃时固体的长度, t 为 t ℃时固体的长度,一般金属的线 胀系数大约在 10 /℃的数量级。 上述线胀系数公式,也可以写成下面形式

lt ? l0 (1 ? at)
如果不知道 0℃时的固体长度,但已知 t 1 ℃时固体的长度,则 t 2 ℃时的固体长度 l 2 为

l1 ? l 0 (1 ? al1 ), l 2 ? l 0 (1 ? al2 )

l2 ?

于是 对于各向同性的固体,当温度升高时,其体积的膨胀可由其线膨胀很容易推导出。为简 单起见,我们研究一个边长为 l 的正方体,在每一个线度上均有:

l1 (1 ? al2 ) ? l1 ?1 ? a(t 2 ? t1 )? (1 ? at1 ) ,这是线膨胀有用的近似计算公式。

?l ? al?T (1 ? ?l ) 3 ? l 3 (1 ? a?t ) 3 ? l 3 (1 ? 3a?T ? 3a 2T 2 ? a 3T 3 ) 。因固体的α 值很小,则 3a 2 ?T 2 , a 3 ?T 3与3a?T 相比非常小,可忽略不计,则
(l ? ?l ) 3 ? l 3 (1 ? 3a?T ) ?V ? 3aV?T
式中的 3α 称为固体的体膨胀系数。 随着每一个线度的膨胀, 固体的表面积和体积也发生膨胀, 其面膨胀和体膨胀规律分别 是

S t ? S 0 (1 ? ?t )

Vt ? V0 (1 ? ?t )
考虑各向同性的固体,其面胀系数γ 、体胀系数β 跟线胀系数α 的关系为 γ =2α ,β =3α 。 例 1:某热电偶的测温计的一个触点始终保持为 0℃, 另一个触点与待测温度的物体接触。 当待测温度为 t℃时,测温计中的热电动势力为

? ? at ? ?t 2
其中 a ? 0.20mV ? ℃-1, ? ? ?5.0 ? 10
?4

mv?℃-2。如果以电热电偶的热电动势ε 为测温
0

属性,规定下述线性关系来定义温标 t ? ,即 t ? ? a? ? b 。并规定冰点的 t ? ? 0 ,汽点的

t ? ? 100 0 ,试画出 t ? ~ t 的曲线。 分析:温标 t ? 以热电动势ε 为测温属性,并规定 t ? 与ε 成线性关系。又已知ε 与摄氏温 标温度 t 之间的关系,故 t ? 与 t 的关系即可求得。系数 a 和 b 由规定的冰点和汽点的 t ? 值求
得。 解:已知 t ? ? a? ? b, ? ? at ? ?t ,得出 t ? 与 t 的关系为 t ? ? a?t ? a?t
2 2

?b。

规定冰点的 t ? 0 ℃, t ? ? 0

0
0

规定汽点的 t=100℃, t ? ? 100 代入,即可求得系 a与b为

t ??C
400/3 100

a?
b=0,

1 20 0 ? mV ?1 a ? 100 ? 3

于是, t ? 和 t 的关系为

20 20 4 1 2 at ? ?t 2 ? t ? t 3 3 3 300 t ? ~ t 曲线如图 3-2-1 所示, t ? 与 t 之间并非一一对 t? ?

0

100

200

300 400 t℃

图 3-2-1

400 应,且 t ? 有极值 3 。
例 2:有一摆钟在 25℃时走时准确,它的周期是 2s,摆杆为钢质的,其质量与摆锤相比 可以忽略不计,仍可认为是单摆。当气温降到 5℃时,摆钟每天走时如何变化?已知钢的线 胀系数 a ? 1.2 ? 10 ℃ 。 分析:钢质摆杆随着温度的降低而缩短,摆钟走时变快。不管摆钟走时准确与否,在盘 面上的相同指示时间,指针的振动次数是恒定不变的,这由摆钟的机械结构所决定,从而求 出摆钟每天走快的时间。
-1

?5

解:设 25℃摆钟的摆长 l1 m ,周期 T1 ? 2 s ,5℃时摆长为 l 2 m ,周期 T2 s ,则

T1 ? 2?

l1 l , T2 ? 2? 2 g g

由于 l 2 ? l1 ,因此 T2 ? T1 ,说明在 5℃时摆钟走时加快

n2 ?
在一昼夜内 5℃的摆钟振动次数

24 ? 3600 T2 , 这温度下摆钟指针

n2T1 ?

指示的时间是 这摆钟与标准时间的差值为△t,

24 ? 3600 ? T1 T2 。

?t ?

24 ? 3600 ? T1 ? 24 ? 3600 T2

2? ? 24 ? 3600 ?

l1 (1 ? 1 ? 2.4 ? 10 ?4 ) g

l 2? 1 1 ? 2.4 ? 10 ?4 g

? 10.37 s

§3.3 液体性质 3.3.1、液体的宏观特性及微观结构 液体的性质介于固体与气体之间,一方面,它像固体一样具有一定的体积,不易压缩; 另一方面,它又像气体一样,没有一定的形状,具有流动性,在物理性质上各向同性。 液体分子排列的最大特点是远程无序而短程有序, 即首先液体分子在短暂时间内, 在很 小的区域(与分子距离同数量级)作规则的排列,称为短程有序;其次,液体中这种能近似保 持规则排列的微小区域是由诸分子暂时形成的, 其边界和大小随时改变, 而且这些微小区域 彼此之间的方位取向完全无序, 表现为远程无序。 因而液体的物理性质在宏观上表现为各向 同性。 液体分子间的距离小, 相互作用力较强, 分子热运动主要表现为在平衡位置附近做微小 振动,但其平衡位置又是在不断变化的,因而,宏观上表现为液体具有流动性。 3.3.2、液体的热膨胀 液体没有一定的形状,只有一定的体积,因此对液体只有体膨胀才有意义。实验证明, 液体的体积跟温度的关系和固体的相同,也可以用下面的公式表示:

Vt ? V0 (1 ? ?t )
式中 V0 是在 0℃时的体积, t 是液体在 t℃时的体积,β 是液体的体胀系数,一般液 体的体胀系数比固体大 1~2 个数量级,并且随温度升高有比较明显的增大。 液体除正常的热膨胀外,还有反常膨胀的现象,例如水的反常膨胀,水在 4℃时体积最 小,密度最大,而 4℃以下体积反而变大,密度变小,直到 0℃时结冰为止,正是由于水的 这一奇特的性质, 使得湖水总是从湖面开始结备, 随着气温下降, 冰层从湖面逐渐向下加厚, 也亏得这一点,水中的生物才安然地度过严冬。 3.3.3、物质的密度和温度的关系 固体和液体的体积随温度而变化,这将引起物体的密度变化,设某物体的质量为 m,它 在 0℃时的体积为 则

V

V0 , 0℃时该物体的密度是 则

?0 ?

m ? 体积 Vt , V0 。 设物体在 t℃时密度 t ,

m Vt 。 V ? V0 (1 ? ?t ) ,式中β 是固体或液体的体膨胀系数,代入 ? t 表达式得 又有 t ?0 m ?t ? ? V0 (1 ? ?t ) 1 ? ?t 。

?t ?

例 1 一支水银温度计,它的石英泡的容积是 0.300cm ,指示管的内径是 0.0100cm,如 果温度从 30.0℃升高至 40.0℃,温度计的水银指示线要移动多远?(水银的体胀系数

3

? ? 1.82 ? 10 ?4 /℃)
解:查表可得石英的线胀系数 a ? 0.4 ? 10
?4
?6 ?6 /℃,则其体胀系数为 3a ? 1.2 ? 10 /℃。

与水银的体胀系数 ? ? 1.82 ? 10 /℃相比很小可忽略不计,所以当温度升高时,可以认为 石英泡的容积不变,只考虑水银的膨胀,水银体积的增量

?V ? ?V?T

? 1.82 ? 10 ?4 ? 0.300 ? 10 ? 5.46 ? 10 ?4 cm3
水银体积的增量△V,这是在水银指示管中水银上升的体积,所谓水银指示线移动的长 度,就是水银上升的高度,即

h ? ?V / ?r 2 5.46 ? 10 ?4 ? ? 7.0cm 3.14 ? 0.00050 2
说明 有些仪器,例如液体温度计,就是利用液体体积的热膨胀特性作为测量依据的。 由于体胀系数β 与测量物质的种类有关,而且即使是同种物质,β 还与温度及压强有关,因 此在使用这些仪器时,应考虑到由于β 的变化而引起的测量误差。例如一支水银温度计,在 冰点校准为 0℃,在水的沸点校准为 100℃,然后将二者间均分 100 份,刻上均匀刻度。严 格地说, 这种刻度是不准确的。 由于β 值随温度的升而增大, 所以在高温处刻度应该稀一些, 在低温处应该密一些;如果均匀刻度,则在测高温时读数会偏高,而在低温时读数会偏低。 不过这种差别并不大,一般可以忽略。 §3.4 液体的表面张力 3.4.1、表面张力和表面张力系数 液体下厚度为分子作用半径的一层液体,叫做液体的表面层。表面层内的分子,一方面 受到液体内部分子的作用,另一方面受到气体分子的作用,由于 C B 这两个作用力的不同,使液体表面层的分子分布比液体内部的分 子分布稀疏,分子的平均间距较大,所以表面层内液体分子的作 F外 用力主要表现为引力,正是分子间的这种引力作用,使表面层具 有收缩的趋势。 D A 液体表面的各部分相互吸引的力称为表面张力,表面张力的 图 3-4-1 方向与液面相切,作用在任何一部分液面上的表面张力总是与这 部分液面的分界线垂直。 表面张力的大小与所研究液面和其他部分的分界线长度 L 成正比,因此可写成 式中 ? 称为表面张力系数,在国际单位制中,其单位是 N/m,表面张力系数 ? 的数值 与液体的种类和温度有关。 3.4.2 表面能 我们再从能量角度研究张力现象,由于液面有自动收 缩的趋势,所以增大液体表面积需要克服表面张力做功,由图 3-4-1 可以看出,设想使 AB 边向右移动距离△x,则此过程中外界克服表面张力所做的功为

f ? ?L

W ? F外 ?x ? 2 f?x ? ? ? 2 AB?x ? ??S
式中△S 表示 AB 边移动△x 时液膜的两个表面所增加的总面积。若去掉外力,AB 边会 向左运动,消耗表面自由能而转化为机械能,所以表面自由能相当于势能,凡势能都有减小 的趋势,而 E?S ,所以液体表面具有收缩的趋势,例如体积相同的物体 以球体的表面积最小,所以若无其他作用力的影响,液滴等均应为球体。 1 B A 3 2

图 3-4-2

例 将端点相连的三根细线掷在水面上,如图 3-4-2 所示,其中 1、2 线各长 1.5cm,3 线长 1cm,若在图中 A 点滴下某种杂质,使表面张力系数减小到原来的 0.4,求每根线的张 力。然后又把该杂质滴在 B 点,求每根线的张力:已知水的面表张力系数α =0.07N/m。 A 滴入杂质后,形成图 3-4-3 形状,取圆心角为θ 的一小段圆弧,该线段在线两侧张力 和表面张力共同作用下平衡, 则有 代入后得

aT sin

?
2

? (a ? 0.4a)?R1

, 式中

sin

?
2

?

?
2

, R1 ?

2.5 cm 2?

T2 ? T3 ? T ? 1.67 ? 10 N , T1 ? 0 。 T ? ? 0 ,形成圆产半径 B 中也滴入杂质后,线 3 松弛即 3

?4

R2 ?

3 ?4 2? cm,仿上面解法得 T1? ? T2? ? 0.6aR2 ? 2 ? 10 N 。

2 1

T

?
F2 T

3.4.3、表面张力产生的附加压强 表面张力的存在,造成弯曲液面的内、外的压强差,称为附加压 强,其中最简单的就是球形液面的附加压强,如图 3-4-4 所示,在半 径为 R 的球形液滴上任取一球冠小液块来分析(小液块与空气的分界

F1

图 3-4-3

面的面积是 S ? ,底面积是 S,底面上的 A 点极靠近球面),此球冠形小液体的受力情况为: 在 S 面上处处受与球面垂直的大气压力作用, 由对称性易知, 大气压的合力方向垂直于
0 。 S 面,大小可表示为 在分界线上(图中的虚线处)处处受到与球面相切的表面张力的作用, 这些表面张力的水 平分力相互抵消,故合力也与 S 面垂直,大小为

F?p S

f ? ? ?f ? ? ? ?f sin ? ? 2??? sin ? ? 2?? R sin 2 ?

球冠形液块的重力 mg,但因 A 点极邻近液面,所以截块很小,mg 的数值可忽略。 根据小液块的力学平衡条件可得

pS ? F ? f
将 S ? ?R sin ? 及 R、f 的表示式代入上式可得
2 2

2? p ? p0 ? R?
应该指出是上式是在凸液面条件下导出的,但对凹液面也 成立,但凹球形液面(如液体中气泡的表面)内的压强 p 小于外 部压强 0 ,另外,对球形液泡(如肥皂泡)由于其液膜很薄,液 膜的内外两个表面的半径可看成相等,易得球形液泡内部压强

SA

S? r

? R

?

?f ?

?f ? ?f

p

图 3-4-4

4? 比外部压强大 R 数值。
例 当两个相接触的肥皂泡融合前,常有一个中间阶段,在 两个肥皂泡之间产生一层薄膜,见图 3-4-5 所示。 (1)曲率半径 r1 和 r2 已知,求把肥皂泡分开的薄膜的曲率半 径。

r1
r2

(2)考虑 r1 ? r2 ? r 的特殊情况,在中间状态形成前,肥皂 图 3-4-5 泡的半径是什么?在中间膜消失后, 肥皂泡的半径是什么?我们 假定,肥皂泡里的超压只与表面张力及半径有关,而且比大气压小得多,因此泡内的气体体 积不会改变。 解 :(1)设肥皂液的表面张力系数为 ? ,则液泡内的超压为

?p ?

4? r ,因此半径小的

液泡内的超压大, 泡内气体的压强也就比较大, 所以连体过渡泡的中间隔膜应向半径较大的 泡一边凸出。 设中间隔膜的曲率半径为 r12 ,则该曲面产生的附加压强为 的隔膜保持平衡,应有

p?

4? r12 ,为了使中间状态

4? 4? 4? ? ? r1 r12 r2

r1 r2 r1 ? r2 。 即 (2)当 r1 ? r2 时,隔膜的曲率半径 r12 ? ? ,即是一个平面, r12 ?
在界线上任取一点 A, 它受到两个球面及薄膜的表面张力 f 1 、 f 2 、

f1
A

f2
r2

r1

O1

f12 O2

f12 均跟各面相切,如图 3-4-6 所示。由于是同一种液体,故三力
O 大小 f1 ? f 2 ? f12 , 平衡时它们的方向彼此夹 120?角, 1O2 A 应 组成等边三角行, “球幅”的高度 d=r/2,所以每过过渡泡的体积为
4 1 ? r r? 9 V ? ?r 3 ? ? ?2r 3 ? ( ) 3 ? 3r 2 ? ? ? ?r 3 3 3 ? 2 2? 8 4? p ? p0 ? r 而压强
设生成过渡泡前的肥皂泡半径为 R,则

图 3-4-6

4 4? V1 ? ?R ? 3 , p1 ? p0 ? 3 R 生成大泡半径为 R? ,则 4 4? V2 ? ?R ? 3 , p 2 ? p0 ? 3 R
依据玻意耳定律有

4? ? 9 3 ? 4? ? 4 3 ? ? p0 ? ? ? ?r ? ? p 0 ? ? ? ?R r ? 8 R ? 3 ? ? 4? ? 9 3 ? 4? ? 4 ? 3 ? p0 ? ? ? ?r ? ? p0 ? ? ? ?R ? r ? 8 R? ? 3 ? ? 4? p 若考虑到 0 >> r ,则泡内气体总体积可认为不变,故可近似得出 3r 3r R ? 3 , R? ? 3 2 4 2 2
说明 对本题,比较有意思的是,泡内超压△p 比大气压小得多时,气体的总体积保持 不变。 3.4.4、浸润和不浸润 液体与固体接触的表面, 厚度等于分子作用半径的一层液体称为附着层。 在附着层中的 液体分子与附着层外液体中的分子不同。 若固体分子对附着层内的分子作用力—附着力, 大 于液体分子对附着层的分子作用力——内聚力时,则附着层 内的分子所受的合力垂直于附着层表面,指向固体,此时若 将液体内的分子移到附着层时,分子力做正功,该分子势能 减小。固一个系统处于稳定平衡时,应具有最小的势能,因 水 水银 (a) (b)

图 3-4-7

此液体的内部分子就要尽量挤入附着层, 使附着层有伸长的趋势, 这时我们称液体浸润固体。 反之,我们称液体不浸润固体。 在液体与固体接触处, 分别作液体表面的切线与固体表面的切线, 在液体内部这两条切 线的夹角θ ,称为接触角。图 3-4-7 中,液体与固体浸润时,θ 为锐角;液体与固体不浸润 时,θ 为钝角。两种理想情况是θ =0 时,称为完全浸润;θ =π 时,称为完全不浸润。 例如:水和酒精对玻璃的接触角θ ≈0?,是完全浸润;水银对玻璃的接触角θ ≈140?, 几乎完全不浸润。 由于液体对固体有浸润和不浸润的情况,所以细管内的液体自由表面呈现不同的弯曲 面,叫做弯月面。若液体能浸润管壁,管内液面呈凹弯月面;若液体不能浸润管壁,管内液 面呈凸弯月面。液体完全浸润管壁,则θ =0,弯月面是以管径为直径的凹半球面;液体完全 不浸润管壁,则θ =π ,弯月面是以管径为直径的凸半球面。 例 在航天飞机中原有两个圆柱形洁净玻璃容器, 其中分别装有一定量的水和水银, 如 图 3-4-7(a)和(b)。当航天飞机处于失重状态时,试分别画出这两个容器中液体的形状。 分析:在失重情况下,液体的形状取决于表面张力和与 玻璃浸润情况。 解: 由于水银对玻璃是不浸润的, 附着层面积要尽量小, 水对玻璃是浸润的,附着层面积要尽量大,因此将形成如图 7-4-8 所示的形状。 3.4.5、毛细现象 管径很细的管子叫做毛细管。将毛细管插入液体内时, 图 3-4-8 管内、外液面会产生高度差。如果液体浸润管壁,管内液面 高于管外液面;如果液体不浸润管壁,管内液面低于管外液面。这种现象叫毛细现象。如图 3-4-9 所示为浸润液体的情形。设毛细管的半径为 r,液体的表面张力系数为α ,接触角θ , 管内液面比管外液面高 h。则凹形液面产生的向上的表面张力是 F ? 2?r? cos? ,管内 h 高的液柱的重力是 G ? ?g?r h ,固液注平衡,则: 对于液面不浸润管壁的情况,上式仍正确,此时θ 是钝角,h 是负值,表示管内液面低 于管外液面。
2

h?

2? cos? ?gr

h?
水柱有多长?水的表面张力系数 ? ? 7.3 ? 10 牛 米 。 解:水能完全浸润管壁,留在管内的水柱重量应与上下两个弯月 面的表面张力相平衡。 注意:上弯月面θ =0,下弯月面θ =π 。
?2

如果液体完全浸润管壁θ =0,为凹半球弯月面,表面张力沿管壁身上, 例 在两端开口,半径 1mm 的玻璃毛细管内装满水,然后把它竖直放置,这时留在管中

2? ?gr 。

h

于是 ??r hg ? ? ? 4?r
2

?h ?

4? 4 ? 7.3 ? 10 ?2 ? ?3 ? 2.94 ? 10 ? 2 米 ?3 ?gr 10 ? 9.8 ? 10

图 3-4-9
§3.5 典型例题分析 例 1、绷紧的肥皂薄膜有两个平行的边界,线 AB 将薄膜分隔成两部分(如图 3-5-1)。为 了演示液体的表面张力现象,刺破左边的膜,线 AB 受到表面张力作用被拉紧,试求此时线 的张力。 两平行边之间的距离为 d, AB 的长度为 l(l>π d/2), 线 肥皂液的表面张力系数为 ? 。

解:刺破左边的膜以后,线会在右边膜的作用下形状相应发生 变化(两侧都有膜时,线的形状不确定),不难推测,在 l>π d/2 的 情况下,线会形成长度为 d/2 的半圆,如图 3-5-2 所示。线在 C、D 两处的拉力及各处都垂直 于该弧线的表面张力的共同作用下处于平衡状态,显然

A

x?

1 (l ? ?d / 2) 2 的两条直线段和半径为

d

2T ? ? f i
i 指各小 式中为在弧线上任取一小段所受的表面张力, 段所受表面张力的合力,如图 3-5-2 所示,在弧线上取对称的两 小段,长度均为 r△θ ,与 x 轴的夹角均为方θ ,显然

B

薄膜

图 3-5-1

?f

A

T

C

f1 ? f 2 ? 2? ? r??
而这两个力的合力必定沿 x 轴方向, (他们垂直 x 轴方向分力 的合力为零),这样

? ?
B T D

f1x ? f 2 x ? 2?r ? cos???
所以

图 3-5-2

T ? ?d 因此 说明 对本题要注意薄膜有上下两层表面层,都会受到表面张力的作用。 例 2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水银,由于重力和表面张力的影响,水银近似呈 圆饼形状(侧面向外凸出),过圆盘轴线的竖直截面如图 3-5-3 所示。为了计算方便,水银和
玻璃的接触角可按 180?计算,已知水银密度 ? ? 13.6 ? 10 kg m ,水银的表面张力系数
3 3

?f

i

? 2?r ? cos??? ? 4?r ? 2?d

a ? 0.49 N m 。 当圆饼的半径很大时, 试估算厚度 h 的数值大约是多少(取一位有效数字)?
分析:取圆饼侧面处宽度为△x,高为 h 的面元△S,图 3-5-3 所示。由于重力而产生的 水银对△S 侧压力 F,由 F 作用使圆饼外凸。但是在水银与空气接触的表面层中,由于表面 张力的作用使水银表面有收缩到尽可能小的趋势。上下 f1 f4 两层表面张力的合力的水平分量必与 F 反向,且大小相 ?x 等。△S 两侧表面张力 f 3 , f 4 可认为等值反向的。 解:
?

F1 ? p ? ?S ?

1 ?gh2 ?x 2

h

h
f2

f3

F

f1 cos? ? f 2 ? F
a?x(1 ? cos? ) ?
h?

1 ?gh2 ?x 2 2a(1 ? cos? ) ?g
3 ? 10 ?3 m ? h ? 4 ? 10 ?3 m

图 3-5-3

由于 0<θ <90?,有

例 3、在连通器的两端吹出两个相同的球形肥皂泡 A 和 B 后,如图 3-5-4,关闭活栓 K, 活栓 K A 和 K B 则依旧打开,两泡内的空气经管相通,两泡相对平 衡。(1)若 A 泡和 B 泡的形状小于半球,试证明 A 泡和 B 泡之间 的平衡是稳定的。若 A 泡和 B 泡的形状大于半球,试证明 A 泡和 B 泡之间的平衡是不稳定的。(2)若 A 泡和 B 泡的形状大于半球,

K

kA

KB

B

A
图 3-5-4

设两管口的半径均为 r1 ? 2.00cm ,A 泡和 B 泡的半径均为 r2 ? 2.50cm 。试问当 A 泡和 B 泡分别变化成何种形状时, 两泡能再次达到平衡, 设空气因压缩或膨胀所引起的密度变化可 以忽略。 分析:开始时,A 泡 B 泡均小于半球,泡半径应大于管半径。若因扰动使 A 泡缩小, 则泡半径增大,表面张力应减小,A 泡内压强变小,这时 B 泡内气体过来补充,使 A 泡恢 复扰动前的形状,重新达到平衡。对于 A 泡因扰动稍增大,或 B 泡因扰动稍增大或缩小的 情形可作同样分析。 若 A、B 泡形状相同,均大于半球。因扰动使 A 泡缩小,则泡半径变小,表面张力相 应增加,A 泡内压强变大,使气体从 A 泡到 B 泡,A 泡缩 小和 B 泡增大后,扰动将持续发展。总之,当 A 泡和 B r1 泡的形状大于半球时,其间的平衡是不稳定的。值得注意 的是,当 A 泡缩小到半球形状时,即当 r2 ? r1 时,A 泡半 径最小。 若再收缩使形状小于半球时, 泡半径再度增大, A 根据上面的分析,A 泡内的压强将再度下降。当 A 泡小于 半球,B 泡大于半球,而两者的半径相同时,两泡内的压 强再次相同,这又是一个新的平衡状态。 解:(1)见上面的分析。 (2)新的平衡状态为 A 泡小于半球,B 泡 大于半球,两者半径均为 r,图 3-5-5,有

r1
r

h

r1 V0

图 3-5-5

4 3 ?r ? 2V0 3 h V0 ? ?h 2 (r2 ? ), 且h ? r2 ? r22 ? r12 3
解得 r=3.04cm 例 4、在相互平行的石墨晶格上,原子排 成正六角形栅格, “蜂窝结构” 即 如图 1-5-6(a) 所示,平面上原子间距为 1.42 ? 10
3

h

?a ?
图 3-5-6

?b ?

?10

m,若

石墨的密度为 2270 kg m , 求两层平面间的 距离。(碳原子量为 12) 解:显然应根据晶格模型进行研究,把晶格平面适当平移,使上下层原子正好对齐,这 时原子系统可看成如图 3-5-6(b)那样,每个原子属于 6 个不同晶胞,因此一个晶胞中 12/6=2 个原子,1m 石墨中的原子数是 N1 ? 6.02 ? 10 是上述原子数的一半,故一个晶胞的体积是
3

23

? 2.27 ? 10 6 / 12 ? 1.14 ? 10 29 个。晶胞数

1 ? 1.756 ? 10 ?29 m 3 28 5.7 ? 10 S ? 3a 2 3 2 ? 5.239 ? 10 ?20 m 2 晶胞的底面积是 V?
h ? V S ? 3.35 ? 10 ?10 m
说明在晶格模型的计算中, 初学者往往把晶胞所包含的原子数搞错, 误认为石墨晶胞包 含了 12 个原子。这里的关键是要分析其中每一个原子是哪几个晶胞所共有,那么每个晶胞 仅只能算其 1/n 个原子。 例 5、用圆柱形的杯子做“覆杯”实验,杯子的半径为 R,高度为 H,假定开始时杯内 水未装满,盖上不发生形变的硬板后翻转放手,由于水的重力作用,硬 板将略下降,在杯口和平板间形成凹的薄水层,如图 3-5-7 所示。假定

图 3-5-7

水对玻璃和平板都是完全浸润的,水的表面张力系数为 ? ,纸板重为 mg,大气压为 p 0 ,水 的密度为ρ ,则为了保证“覆杯”实验成功,装水时,杯内所留的空气体积不得超过多少? 解:如图 3-5-8 表示板与杯口间水层的大致形状(为求清晰,图中比例已被夸大)。其中 虚线表示整体轮廓,实线则划出其一小片分析其受力,图 3-5-9 则是俯视平面图。 设内凹的薄水层深度为 d, 由于完全浸润, 它就等于凹面的直径, 所取出的水液面宽度为△l,则它受力如下: F f—附着层水对凹面的表面张力,有上(杯沿)下(硬板)两个,其大 f? 小为 f ? ??l ,方向垂直于△l 水平向外。

?l

f ? —和划出部分相连的凹面其他部分的水对该液面的作用力,

d

f?

f f

d f ? ? ? ?? ? 2 ,两力合力大小为 方向沿圆周切线方向,大小为 2 f ? sin ?? ?l ? f ? ? ? f ?? ? 2 R

图 3-5-8
f?
R F O

??

F—液面内外压力差,其方向水平指向圆心,大小为

F ? ( p0 ? p)d ? ?l (其中 p 0 为大气压,p 为内部水压强)。
在受力平衡的条件下应有

?l
f?

2f

① 如果以硬板为研究对象,受力如图 3-5-10,平衡时有

?l ( p0 ? p)d ? ?l ? ?d ? ? 2? ? ?l 2 R 4 R? d? ( p 0 ? p) ? 2 R ? ?? 得
p0 S ? pS ? mg

?

图 3-5-9
p0 S

即 ② p 是水内部的压强,它应等于杯内气体压强加上由水重所引起 的压强,若杯内气体压强为 p ? ,原来装水后空气层厚度为 h,则

p0 ? p ?

mg ?R 2

pS
mg

p ? p? ? ?g ( H ? h)
2

图 3-5-10



进行覆杯实验后,硬纸板是盖住杯口的,这时杯内气体压强就等于大气压即 p1 ? p 0 , 体积 V1 ? ?R h , “覆杯” 放手后, 由于硬纸板受重力作用, 板下移距离 d(即前述水层厚度),
2 使杯内气体体积变为 V2 ? ?R (h ? d ) ,压强就变为 p ? ,由玻意耳定律得

④ 把②代入①可求得板重为 mg 时,水层最大厚度

p? ?

p0 h h?d

d?

4?R 2? 2mg ? ?R 2?
? mg ? ?



由②③④式可得

?gh 2 ? ? ?g ( H ? d ) ? 2 ? h ? ? p0 ? 2 ? ?gH ? d ? 0 ?R ? ? ?R ? ?

mg

?

?H ? d ? H ?d m m ? ? p0 m h? ? ? ? ? ?? ? 2 ? H ?d 2 2 ? 2 2?R ? 2?R ? ? ? ?g ?R ? ? 2 ?
将⑤式代入即可得到极限情况下杯内原来的空气柱厚度, 因式子过繁, 就不将 d 值代入 了。 说明 当杯子倒转放手后, 如果杯内装满水而无空气, 则大气对平板的向上压力将远大 于杯内水及平板重,因此平板紧压杯口,但如果原来杯内有空气,其压强等于大气压,翻转 杯子并放开平板合,水与板重将使板下移,杯内空气体积增大,压强减小,只要条件合适, 大气压力有可能承受住杯内气体压力(小于 p 0 S )与水、板重之和。 然而, 气压减小量是与气体体积增大量有关, 而体积增大则决定于板与杯口间水层的厚 度,而该层最大厚度则与表面张力引起的附加压强有关。据此反推,即可得到解题思路。

2


高中物理竞赛讲义 固体、液体和气体的性质

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