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【数学】2011版《3年高考2年模拟》: 第6章 数列 第二节 数列的应用


第六章

数列

第二节 数列的应用 第一部分 三年高考体题荟萃

2010 年高考题
一、选择题 1.(2010 江西理)5.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a8 =4,函数

f ? x ? ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) ?( x ? a8 ) ,则 f

' ? 0 ? ? ( )
A. 26 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数 学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有 x 项均取 0,则 f
4 12 关;得: a1 ? a2 ? a3 ? a8 ? (a1a8 ) ? 2 。

B. 29

C. 212

D. 215

'

? 0 ? 只与函数 f ? x ? 的一次项有

1? ? 1 1 lim ?1 ? ? 2 ? ? ? n ? ? x?? 3 ? ( ? 3 3 2.(2010 江西理)4.



5 A. 3
【答案】B

3 B. 2

C. 2

D. 不存在

1 3n ) ? 3 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和,然后对和取极限。 lim ( n??? 1 2 1? 3 1?
3.(2010 北京理) (2)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2a3a4a5 ,则 m= (A)9 【答案】C 4.(2010 四川理) (8)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,其前 n 项的和为 S n ,且 Sn?1 ? 2Sn ? a1 , 则 lim
n ??

(B)10

(C)11

(D)12

an ? Sn

(A)0

(B)

1 2

(C) 1

(D)2

解析:由 Sn?1 ? 2Sn ? a1 ,且 Sn?2 ? 2Sn?1 ? a1 作差得 an+2=2an+1 又 S2=2S1+a1,即 a2+a1=2a1+a1 ? a2=2a1 故{an}是公比为 2 的等比数列

Sn=a1+2a1+22a1+??+2n-1a1=(2n-1)a1
则 lim 【答案】B 5. 2010 天津理) 6) ( ( 已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, n 是 ?an ? 的前 n 项和, 9s3 ? s6 , 且 s 则数列 ?

an 2n ?1 a 1 ? lim n 1 ? n ?? S n ?? (2 ? 1) a 2 n 1

?1? ? 的前 5 项和为 an ? ?
15 或5 8
(B)

(A)

31 或5 16

(C)

31 16

(D)

15 8

【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质,属于中等题。

1 1 9(1 ? q3 ) 1-q6 显然 q ? 1,所以 = ? 1 ? q3 ? q ? 2 ,所以 { } 是首项为 1,公比为 的 an 2 1-q 1? q
1 1 ? ( )5 2 ? 31 . 等比数列, 前 5 项和 T5 ? 1 16 1? 2
【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分,降低幂的次数,同时也要注意基本量法 的应用。 6.(2010 全国卷 1 文) (4)已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7a8a9 =10,则

a4a5a6 =
(A) 5 2 【答案】A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识, 着重考查了转化与化归的数学思想. (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

3 3 a 【解析】由等比数列的性质知 a1a2 a3 ? ( a1a3 )?a2 ? a2 ? 5 , a7 a8 a9 ? (a7 a9 )? 8 ? a8 ? 10,

所以 a2 a8 ? 50 3 , 所以 a4 a5a6 ? (a4 a6 )? 5 ? a ? ( a2 a8 ) ? (50 ) ? 5 2 a
3 5 3 1 6 3

1

7.(2010 湖北文)7.已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 , 则

1 a3 , 2a2 成等差数列, 2

a9 ? a10 ? a7 ? a8
B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2 D3? 2 2

A. 1 ? 2

8.(2010 安徽理)10、设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别 为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立的是 A、 X ? Z ? 2Y C、 Y 2 ? XZ 【答案】 D 【分析】取等比数列 1, 2, 4 ,令 n ? 1 得 X ? 1, Y ? 3, Z ? 7 代入验算,只有选项 D 满足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若 能排除 3 个选项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续 排除.本题也可以首项、公比即项数 n 表示代入验证得结论. (2010 湖北理数)7、如图,在半径为 r 的园内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆, 又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设 sn 为前 n 个圆的面 积之和,则 lim sn =
n??

B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

A. 2 ? r

2

B.

8 ? r2 3

C.4 ? r

2

D.6 ? r

2

9.(2010 福建理)3.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 S n 取 最小值时,n 等于 A.6 【答案】A 【解析】设该数列的公差为 d ,则 a4 ? a6 ? 2a1 ? 8d ? 2 ? (?11) ? 8d ? ?6 ,解得 d ? 2 , 所以 Sn ? ?11n ? B.7 C.8 D.9

n(n ? 1) ? 2 ? n2 ? 12n ? (n ? 6)2 ? 36 ,所以当 n ? 6 时, S n 取最小值。 2

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用,考查二次函数最值的 求法及计算能力。 二、填空题 1.(2010 浙江理) (14)设 n ? 2, n ? N ,(2 x ? )n ? (3x ? ) n

1 2

1 3

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ??? ? an x n ,
将 ak (0 ? k ? n) 的最小值记为 Tn ,则

T2 ? 0, T3 ?

1 1 1 1 ? 3 , T4 ? 0, T5 ? 5 ? 5 , ???, Tn , ??? 3 2 3 2 3

其中 Tn =__________________ . 解析:本题主要考察了合情推理,利用归纳和类比进行简单的推理,属容易题

2.(2010 陕西文)11.观察下列等式:1 +2 =(1+2) ,1 +2 +3 =(1+2+3) ,1 +2 +3 +4 =
3 3

3

3

2

3

3

3

2

3

3

(1+2+3+4) ,?,根据上述规律,第四个等式为 1 +2 +3 +4 +5 =(1+2+3+4+5) .....

2

3

3

3

3

3

2

(或 15 ).

2

解析:第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和,右边为 1 到 i+1 和的完全平方 所以第四个等式为 1 +2 +3 +4 +5 =(1+2+3+4+5) (或 15 ). ..... 3. ( 2010 辽 宁 理 ) 16 ) 已 知 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 33, an?1 ? an ? 2n, 则 ( __________. 【答案】
3 3 3 3 3 2 2

an 的最小值为 n

21 2

【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性, 考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=2[1+2+?(n-1)]+33=33+n -n
2

an 33 ? ? n ?1 n n 33 ?33 设 f ( n) ? ? n ? 1 ,令 f (n) ? 2 ? 1 ? 0 ,则 f (n) 在 ( 33, ?? ) 上是单调递增, n n
所以 在 (0, 33) 上是递减的,因为 n∈N+,所以当 n=5 或 6 时 f ( n) 有最小值。 又因为

a5 53 a6 63 21 a a 21 ? , ? ? ,所以, n 的最小值为 6 ? 5 5 6 6 2 6 2 n


4.(2010 浙江文) (14)在如下数表中,已知每行、每列中的树都成等差数列, 那么,位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是

2 答案: n ? n

5.(2010 天津文) (15)设{an}是等比数列,公比 q ?

2 ,Sn 为{an}的前 n 项和。记


Tn ?

17 Sn ? S2 n , n ? N * . 设 Tn0 为数列{ Tn }的最大项,则 n0 = an?1

【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等 题。

17 a1[1 ? ( 2) n ] a1[1 ? ( 2) 2 n ] ? 1 ( 2) 2 n ? 17( 2) n ? 16 1? 2 1? 2 Tn ? ? ? a1 ( 2) n 1? 2 ( 2) n

?

1 16 16 n ≧8,当且仅当 ( 2 ) =4,即 n=4 时取等 ? [( 2)n ? ? 17] 因为 ( 2)n ? n n 1? 2 ( 2) ( 2)

号,所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。
n 【温馨提示】本题的实质是求 Tn 取得最大值时的 n 值,求解时为便于运算可以对 ( 2 ) 进行

换元,分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解. 6.(2010 湖南理)15.若数列 ?an ? 满足:对任意的 n ? N ,只有有限个正整数 m 使得 am<n
?

成立,记这样的 m 的个数为 (an ) ,则得到一个新数列 (an )? .例如,若数列 ?an ? 是
?

?

?

1, 2,3…,n, … ,则数列 (an )? 是 0,1, 2, …,n ? 1, ….已知对任意的 n ? N? , an ? n 2 ,则
(a5 )? ?
, .

?

?

(( an )? )? ?

三、解答题 1.(2010 湖南文)20.(本小题满分 13 分) 给出下面的数表序列:

其中表 n(n=1,2,3 ?)有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5, ?2n-1,从第 2 行起,每行中 的每个数都等于它肩上的两数之和。 (I)写出表 4,验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广 到表 n(n≥3) (不要求证明) ; (II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列 1,4,12 ?,记此数列为

?bn ?

求和:

b3 b b ? 4 ?? n? 2 b1b2 b2b3 bnbn?1

2.(2010 全国卷 2 理) (18) (本小题满分 12 分)
2 3n 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? (n ? n)? .

(Ⅰ)求 lim

n ??

an ; Sn

(Ⅱ)证明:

a a1 a2 ? 2 ? … ? n >3n . 2 1 2 n2

【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 an ? ?

s1 (n ? 1) 的运用,数列极限和数列不 ?sn ? sn?1 (n ? 2) ?

等式的证明,考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】

【点评】2010 年高考数学全国 I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等 式放缩法问题作为押轴题的命题模式,具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方 法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、 数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续.

3.(2010 北京理) (20) (本小题共 13 分) 已 知 集 合

Sn ? {X X| ? x1 x ( …,xn x, ? , 2

1

i ? , … n { ?0 , 对 于 , ) n 1 }

1 ,

2

A ? (a1, a2 ,…an ,) , B ? (b1, b2 ,…bn ,) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n|);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ?

?
i ?1

| a1 ? b1 |

(Ⅰ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C , B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d (B, C) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设 P ? Sn ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 证明: (P)≤ (P).

d

d

mn . 2( m ? 1)

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 证明: (I)设 A ? (a1, a2 ,..., an ) , B ? (b1, b2 ,..., bn ) , C ? (c1, c2 ,..., cn ) ? Sn 因为 ai , bi ? ?0,1? ,所以 ai ? bi ??0,1? , (i ? 1, 2,..., n) 从而 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,...,| an ? bn |) ? Sn 又 d ( A ? C, B ? C ) ?

?|| a ? c |? | b ? c ||
i ?1 i i i i

n

由题意知 ai , bi , ci ??0,1? (i ? 1, 2,..., n) . 当 ci ? 0 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?|| ai ? bi | ; 当 ci ? 1 时, || ai?ci | ? | bi ? ci ||?| (1? ai ) ? (1? bi ) |?| ai ? bi |

所以 d ( A ? C , B ? C ) ?

?| a ? b | ? d ( A, B)
i ?1 i i

n

(II)设 A ? (a1, a2 ,..., an ) , B ? (b1, b2 ,..., bn ) , C ? (c1, c2 ,..., cn ) ? Sn

d ( A, B) ? k , d ( A, C ) ? l , d ( B, C ) ? h .
记 O ? (0,0,...,0) ? Sn ,由(I)可知

d ( A, B) ? d ( A ? A, B ? A) ? d (O, B ? A) ? k d ( A, C ) ? d ( A ? A, C ? A) ? d (O, C ? A) ? l d ( B, C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h
所以 | bi ? ai | (i ? 1,2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ? ai | (i ? 1,2,..., n) 的 1 的 个数为 l 。 设 t 是使 | bi ? ai |?| ci ? ai |? 1成立的 i 的个数,则 h ? l ? k ? 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数。 (III) d ( P) ?

1 2 Cm

A, B?P

? d ( A, B) ,其中 ? d ( A, B) 表示 P 中所有两个元素间距离的总和,
A, B?P

设 P 种所有元素的第 i 个位置的数字中共有 ti 个 1, m ? ti 个 0 则

A, B?P

?

d ( A, B) = ? ti (m ? ti )
i ?1

n

m2 (i ? 1, 2,..., n) 由于 ti (m ? ti ) ? 4
所以

A, B?P

?

d ( A, B) ?

nm 2 4

从而 d ( P) ?

1 2 Cm

A, B?P

?

d ( A, B) ?

nm mn ? 2 4Cm 2(m ? 1)

2

4.(2010 天津文) (22) (本小题满分 14 分) 在数列 ?a n ? 中, a1 =0,且对任意 k ? N , a2k?1,a2k ,a2k+1 成等差数列,其公差为 2k.
*

(Ⅰ)证明 a 4 ,a5 ,a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)记 Tn ?

2 2 32 n2 3 ? ? ???? ,证明 ? 2n ? Tn ? (n ? 2) . 2 a2 a3 an 2

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基 础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法, 满分 14 分。 (I) 证明: 由题设可知,a2 ? a1 ? 2 ? 2 ,a3 ? a2 ? 2 ? 4 ,a4 ? a3 ? 4 ? 8 ,a5 ? a4 ? 4 ? 12 ,

a6 ? a5 ? 6 ? 18 。
从而

a6 a5 3 ? ? ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列。 a5 a4 2

(II)解:由题设可得 a2k ?1 ? a2 k ?1 ? 4k, k ? N * 所以 a2 k ?1 ? a1 ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?3 ? ? ... ? a3 ? a1 ?

? 4k ? 4 ? k ? 1? ? ... ? 4 ?1 ? 2k ? k ? 1? , k ? N * .
2 由 a1 ? 0 ,得 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? ,从而 a2 k ? a2 k ?1 ? 2k ? 2k .

? n2 ? 1 n ? 2 , n为奇数 n 2 ? ?1? ? 1 ? ? 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 或写为 an ? , n ? N *。 2 2 4 ? n , n为偶数 ?2 ?
2 (III)证明:由(II)可知 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? , a2 k ? 2k ,

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m ? m ? N *?

若 m ? 1,则 2n ? 若 m ? 2 ,则

k2 ? a ? 2, k ?2 k
n

m ? 2k ? ? m?1 ? 2k ? 1? ? m 4k 2 ? m?1 4k 2 ? 4k ? 1 k2 ?? ? a k ?1 a ? a ? 2k 2 ? 2k ? k ? 1? k ?2 k k ?1 k ?1 k ?1 2k 2 k ?1 n 2 2 m ?1 ? m ?1 ? 4k 2 ? 4k 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? 2k ? k ? 1? k ?1 ? ?

1? 1 ? 3 1 ? 2m ? 2 ? m ? 1? ? ?1 ? ? ? 2n ? ? . 2? m? 2 n
所以 2n ?

?a
k ?2

n

k2
k

?

n 3 1 3 k2 ? ,从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 4, 6,8,.... 2 n 2 k ? 2 ak

(2) 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1? m ? N *? 。

? 2m ? 1? k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? 3 1 ? 4m ? ? ? ?a ??a ? a 2 2m 2m ? m ? 1? k ?2 k k ?2 k 2 m ?1
n 2 2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2 ? m ?1? 2 n ?1
n k2 3 1 3 k2 ? ? ? 2, n ? 3,5, 7,.... 所以 2n ? ? ,从而 ? 2n ? ? 2 n ?1 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

综合(1)和(2)可知,对任意 n ? 2, n ? N *, 有 5.(2010 天津理) (22) (本小题满分 14 分)

3 ? 2n ? Tn ? 2. 2

在数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N . a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成等差数列,其公差为 d k 。
*

(Ⅰ)若 d k = 2k ,证明 a2k , a2k ?1 , a2k ?2 成等比数列( k ? N )
*

(Ⅱ)若对任意 k ? N , a2k , a2k ?1 , a2k ?2 成等比数列,其公比为 qk 。
*

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列的定义、数 列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论 的思想方法。满分 14 分。 (Ⅰ)证明:由题设,可得 a 所以 a

2k ? 1

?a ? 4k , k ? N * 。 2k ? 1

2k ?1

? a1 ? (a ?a ) ? (a ?a ) ? ... ? (a3 ? a1) 2k ?1 2k ?1 2k ?1 2k ? 3

= 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1 =2k(k+1) 由 a1 =0,得 a

2k ? 1

? 2k (k ? 1), 从而a ? a ? 2k ? 2k 2 , a ? 2(k ? 1)2 . 2k 2k ? 1 2k ? 2

a a a k ? 1 a2k ? 2 k ? 1 于是 2k ? 1 ? , ? , 所以 2k ? 2 ? 2k ? 1 。 a 2k k a 2k ? 1 k a 2k ? 1 a 2k
所以 d k ? 2k时,对任意k ? N , a
*

2k

,a ,a 成等比数列。 2k ? 1 2k ? 2

(Ⅱ)证法一: (i)证明:由 a

成等差数列,及 a , a 成等 ,a ,a ,a 2k ?1 2k 2k ?1 2k 2k ?1 2k ? 2

比数列,得 2a

a a ?a ?a , 2 ? 2k ?1 ? 2k ? 1 ? 1 ? qk 2k 2k ?1 2k ? 1 a a q 2k 2k k ?1

* 当 q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ? N

从而

1 ? q k ?1 2 ?

1 1 q k ?1 ?1

?

1 1 ? 1,即 1 ? ? 1(k ? 2) q ?1 q q ?1 k ?1 k ?1 k ?1

所以 ?

? ? 1 ? ? ? 是等差数列,公差为 1。 ? qk ? 1 ? ? ?

(Ⅱ)证明: a1 ? 0 , a2 ? 2 ,可得 a3 ? 4 ,从而 q1 ?

4 ? 2, 1 =1.由(Ⅰ)有 2 q ?1 1

1 q k ?1

? 1 ? k ?1 ? k , 得qk ? k ? 1 , k ? N * k

2 a a a ( ) 2k ? 2 ? 2k ? 1 ? k ? 1 , 从而 2k ? 2 ? k ? 1 ,k ? N * 所以 a a k a k2 2k ? 1 2k 2k

因此,

a2k ?

2 a a a (k ?1)2 22 2k . 2k ? 2 .... 4 .a ? k . ... .2 ? 2k 2 .a ? a . k ? 1 ? 2k (k ? 1), k ? N * 2 (k ?1)2 (k ? 2)2 12 2k ? 1 2k k a a a 2k ? 2 2k ? 4 2

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ? N )
*

若 m=1,则 2n ?

k2 ? a ? 2. k ?2 k
n

若 m≥2,则
m m k2 (2k ) 2 m ?1 (2k ? 1) 2 4k 2 ?? ?? ?? 2 + ? a k ?1 a a2 k ?1 k ?2 k k ?1 k ?1 2k 2k n

m ?1 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 4k 2 ? 4k ? 1 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? 2k (k ? 1) ? ? 2k (k ? 1) ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 k ?1 ? 2k ( k ? 1) k ?1 ? ? m ?1

1 1 3 1 ? 2m ? 2(m ? 1) ? (1 ? ) ? 2n ? ? 2 m 2 n.
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 ? ? , 从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 4, 6,8... ?a 2 n 2 k ?2 k k ? 2 ak n

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ? N )
*

k 2 2 m k 2 (2m ? 1) 3 1 (2m ? 1) 2 ? 4m ? ? ? ?a ??a ? a 2 2m 2m(m ? 1) k ?2 k k ?2 k 2 m ?1
n 2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2(m ? 1) 2 n ?1
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 ? ? , 从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 3,5, 7 ·· · ? a 2 n ?1 2 k ?2 k k ? 2 ak n n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 2 k ? 2 ak

综合(1) (2)可知,对任意 n ? 2 , n ? N ,有

?

证法二: (i)证明:由题设,可得 dk ? a2k ?1 ? a2k ? qk a2k ? a2k ? a2k (qk ?1),

d k ?1 ? a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk 2 a2 k ? qk a2 k ? a2 k qk (qk ? 1), 所以 dk ?1 ? qk dk

qk ?1 ?

a2 k ?3 a2 k ? 2 ? dk ?1 d d q ?1 ? ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? k ? 1 ? k a2k ? 2 a2 k ?2 qk a2 k qk a2 k qk q 1 1 ? k ? ? 1, qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ? 1 1 ?

由 q1 ? 1 可知 qk ? 1, k ? N *。可得

所以 ?

? 1 ? ? 是等差数列,公差为 1。 qk ? 1? ?

(ii)证明:因为 a1 ? 0, a2 ? 2, 所以 d1 ? a2 ? a1 ? 2 。 所以 a3 ? a2 ? d1 ? 4 ,从而 q1 ?

? 1 ? a3 1 ?2, ? 1 。于是,由(i)可知所以 ? ? 是公 a2 q1 ? 1 ? qk ? 1?

差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得

1 k ?1 = 1 ? ? k ? 1? ? k ,故 qk ? 。 qk ? 1 k

从而

d k ?1 k ?1 。 ? qk ? dk k
dk d d d k k ?1 2 ? k . k ?1 ........ 2 ? . ...... ? k ,由 d1 ? 2 ,可得 d1 dk ?1 dk ?2 d1 k ? 1 k ? 2 1

所以

dk ? 2k 。
于是,由(i)可知 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? , a2 k ? 2k , k ? N *
2

以下同证法一。 6.(2010 湖南理)21. (本小题满分 13 分) 数列 ?an ? (n ? N ) 中,
*

是函数 f n ( x) ?

1 3 1 x ? (3an ? n2 ) x2 ? 3n2an x 的极小 3 2

值点 (Ⅰ)当 a=0 时,求通项 an ; (Ⅱ)是否存在 a,使数列 ?an ? 是等比数列?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请 说明理由。

7.(2010 江苏卷)19、 (本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ?的前 n 项和为 S n , 已知 2a2 ? a1 ? a3 , 数列 等差数列。 (1)求数列 ?an ?的通项公式(用 n, d 表示) ; (2) c 为实数, 设 对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 Sm ? Sn ? cSk 都 成立。求证: c 的最大值为

? S ?是公差为 d 的
n

9 。 2

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分析 及论证的能力。满分 16 分。 (1)由题意知: d ? 0 ,

Sn ? S1 ? (n ?1)d ? a1 ? (n ?1)d

2a2 ? a1 ? a3 ? 3a2 ? S3 ? 3(S2 ? S1 ) ? S3 , 3[( a1 ? d )2 ? a1 ]2 ? ( a1 ? 2d )2 ,
化简,得: a1 ? 2 a1 ? d ? d ? 0, a1 ? d , a1 ? d
2 2

Sn ? d ? (n ?1)d ? nd , Sn ? n2d 2 ,
2 2 2 2 2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n d ? (n ? 1) d ? (2n ? 1)d ,适合 n ? 1 情形。 2 故所求 an ? (2n ? 1) d

(2) (方法一)

Sm ? Sn ? cSk ? m 2 d 2 ? n 2 d 2 ? c ? k 2 d 2 ? m 2 ? n 2 ? c ? k 2 , c ?

m2 ? n2 恒成立。 k2

2 2 2 2 又 m ? n ? 3k且m ? n , 2(m ? n ) ? (m ? n) ? 9k ?

m2 ? n2 9 ? , k2 2

故c ?

9 9 ,即 c 的最大值为 。 2 2

2 2 (方法二)由 a1 ? d 及 Sn ? a1 ? (n ?1)d ,得 d ? 0 , S n ? n d 。

于是,对满足题设的 m, n, k , m ? n ,有

Sm ? Sn ? (m 2 ? n 2 )d 2 ?
所以 c 的最大值 cmax ?

( m ? n) 2 2 9 2 2 9 d ? d k ? Sk 。 2 2 2

9 。 2 9 3 3 另一方面,任取实数 a ? 。设 k 为偶数,令 m ? k ? 1, n ? k ? 1 ,则 m, n, k 符合条件, 2 2 2 3 3 1 2 2 且 Sm ? Sn ? (m2 ? n2 )d 2 ? d 2 [( k ? 1)2 ? ( k ? 1)2 ] ? d (9k ? 4) 。 2 2 2
2 2 于是,只要 9k ? 4 ? 2ak ,即当 k ?

2 1 时, Sm ? Sn ? d 2 ? 2ak 2 ? aSk 。 2 2a ? 9

所以满足条件的 c ? 因此 c 的最大值为

9 9 ,从而 cmax ? 。 2 2

9 。 2

2009 年高考题
一、选择题
2n 1. 2009 广 东 卷 理 )已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1,2,?,且 a5 ?a2 n ? ? 2 (n ? 3) , ( 5

则当 n ? 1时, log2 a1 ? log2 a3 ??? log2 a2n?1 ? A. n(2n ? 1) B. (n ?1)2
2 C. n

D. (n ?1)2

2 2n n 2n 【解析】 a5 ? a2 n ?5 ? 2 (n ? 3) 得 a n ? 2 ,an ? 0 , a n ? 2 , log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? 由 则

log 2 a 2 n ?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.
【答案】 C 2.(2009 辽宁卷理)设等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,若

S6 =3 ,则 S3

S9 = S6

A. 2

B.

7 3

C.

8 3

D.3

【解析】设公比为 q ,则

S 6 (1 ? q 3 ) S3 3 3 ? =1+q =3 ? q =2 S3 S3

于是

S9 1 ? q3 ? q6 1 ? 2 ? 4 7 ? ? ? S6 1 ? q3 1? 2 3

【答案】B 3.(2009 宁夏海南卷理)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。若

a1 =1,则 s4 =(
A.7 B.8

) C.15 D.16

【解析】? 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列,

? 4a1 ? a3 ? 4a2 , 即4a1 ? a1q 2 ? 4a1q,? q 2 ? 4q ? 4 ? 0,? q ? 2,S4 ? 15 ,选 C.
【答案】 C 4.(2009 湖北卷文)设 x ? R, 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { [
5 ?1 5 ?1 ], 2 2 5 ?1 }, 2

A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 【答案】B 【解析】可分别求得 ? 数列.

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

? 5 ? 1? ? ? ?? ? 2 ? ? ?

5 ?1 5 ?1 ,[ ] ? 1 .则等比数列性质易得三者构成等比 2 2

5.(2009 湖北卷文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16?这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方 形数的是 A.289 【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项 a n ? B.1024 C.1225 D.1378

n (n ? 1) ,同理可得正方形数构成的数列 2 n (n ? 1) 知 an 必为奇数,故选 2

2 2 通项 bn ? n ,则由 bn ? n (n ? N? ) 可排除 A、D,又由 a n ?

C. 6.. (2009 安徽卷理) 已知 ?an ? 为等差数列,a1 + a3 + a5 =105,a2 ? a4 ? a6 =99, S n 表示 ?an ? 以 的前 n 项和,则使得 S n 达到最大值的 n 是 A.21 【答案】 B 【解析】由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a6 =99 得 3a4 ? 99 即 B.20 C.19 D. 18

?an ? 0 得 n ? 20 ,选 B a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41? 2n ,由 ? ?an ?1 ? 0
7.(2009 江西卷理)数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n ,则 S30 3 3
D. 510

为 A. 470 【答案】 A B. 490 C. 495

【解析】由于 {cos2

n? n? ? sin 2 } 以 3 为周期,故 3 3

S30 ? (?

12 ? 22 4 2 ? 52 282 ? 292 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? 302 ) 2 2 2

? ?[?
k ?1

10

10 (3k ? 2)2 ? (3k ?1)2 5 9 ?10 ?11 ? (3k )2 ] ? ?[9k ? ] ? ? 25 ? 470 故选 A 2 2 2 k ?1

8.(2009 四川卷文)等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a1 =1, a 2 是 a1 和 a5 的等比中项, 则数列的前 10 项之和是 A. 90 【答案】B 【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) 2 ? 1? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =10 二、填空题 B. 100 C. 145 D. 190

9.(2009 浙江文)设等比数列 {an } 的公比 q ?

S 1 ,前 n 项和为 S n ,则 4 ? a4 2



【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识点的考 查充分体现了通项公式和前 n 项和的知识联系. 答案 15 解析 对于 s4 ?

a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q 3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q )

10.(2009 浙江文)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 S 4 ,S8 ? S4 ,S12 ? S8 ,S16 ? S12 成 等差数列. 类比以上结论有: 设等比数列 {bn }的前 n 项积为 Tn , T4 , 则 成等比数列. 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等比数列 的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 答案: , ,

T16 T12

T8 T12 , T4 T8 T8 T12 T16 , , 成 T4 T8 T12

解析 对于等比数列,通过类比,有等比数列 {bn }的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 等比数列.

? 11.(2009 北京理)已知数列 {an } 满足: a4 n ?3 ? 1, a4 n ?1 ? 0, a2 n ? an , n ? N , 则

a2009 ? ________; a2014 =_________.
答案 1,0 解析 本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意,得 a2009 ? a4?503?3 ? 1 , a2014 ? a2?1007 ? a1007 ? a4?252?1 ? 0 . ∴应填 1,0. 12..(2009 江苏卷)设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ?1(n ? 1,2, ? ,若 ) 数列 ?bn ? 有连续四项在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q = 答案 -9 .

解析 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。

?an ? 有连续四项在集合 ??54, ?24,18,36,81? ,四项 ?24,36, ?54,81 成等比数列,公比为
3 q ? ? , 6q = -9 2
13.(2009 山东卷文)在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ . __ 解析 设等差数列 {an } 的公差为 d ,则由已知得 ?

a1 ? 2d ? 7 ? a1 ? 3 ? 解得 ? ,所以 ?d ? 2 ?a1 ? 4d ? a1 ? d ? 6

a6 ? a1 ? 5d ? 13 .
答案:13. 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.

? an ? ,当an为偶数时, a (m 14.(2009 湖北卷理)已知数列 ?an ? 满足: =m 为正整数) an?1 ? ? 2 , ?3an ? 1,当an为奇数时。 ?
1

若 a6=1 ,则 m 所有可能的取值为__________。 答案 4 5 32

a1 a m m 为偶, 故 a2 ? a3 ? 2 ? 2 2 2 4 m m m m ①当 仍为偶数时, a4 ? ??????a6 ? 故 ? 1 ? m ? 32 8 32 32 4
解析 (1)若 a1 ? m 为偶数,则

3 m ?1 m 3 ②当 为奇数时, a4 ? 3a3 ? 1 ? m ? 1 ?????? a6 ? 4 4 4 4 3 m ?1 4 故 ? 1 得 m=4。 4
(2)若 a1 ? m 为奇数,则 a2 ? 3a1 ?1 ? 3m ?1 为偶数,故 a3 ?

3m ? 1 3m ? 1 ,所以 =1 可得 m=5 16 16 2 15.(2009 宁夏海南卷理)等差数列{ a n }前 n 项和为 S n 。已知 am ?1 + am ?1 - a m =0, S2m?1 =38, ?????? a6 ?
则 m=_______ 解析由 am ?1 + am ?1 - a
2 m

3m ? 1 必为偶数 2

=0 得到

2 2am ? am ? 0, am ? 0, 2又S2 m?1 ?

? 2m ? 1?? a1 ? a2 m?1 ? ?
2

? 2m ? 1? am ? 38? m ? 10 。

答案 10 16.(2009 陕西卷文)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则

an ?

.

解析:由 a6 ? s3 ? 12 可得 ?an ? 的公差 d=2,首项 a1 =2,故易得 an ? 2n. 答案:2n

17.(2009 陕西卷理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a6 ? S3 ? 12 ,则

lim

Sn ? n ?? n 2

.

?a6 ? 12 ?a1 ? 5d ? 12 ?a1 ? 2 S S n ?1 n ?1 解析: ?? ?? ? Sn ? n(n ? 1) ? n ? ? lim n ? lim ?1 ? 2 n?? n2 n?? n n n ?d ? 2 ?s3 ? 12 ?a1 ? d ? 12
答案:1

18. (2009 宁夏海南卷文) 等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1,an?2 ? an?1 ? 6an , an } 则{ 的前 4 项和 S 4 = 解析 由 an?2 ? an?1 ? 6an 得: q n?1 ? q n ? 6q n?1 ,即 q 2 ? q ? 6 ? 0 , q ? 0 ,解得:q=2,

1 (1 ? 2 4 ) 1 15 又 a2 =1,所以, a1 ? , S 4 ? 2 = 。 2 2 1? 2 15 答案 2
19.(2009 湖南卷理)将正⊿ABC 分割成 n 2 ( n ≥2,n∈N)个全等的小正三角形(图 2,图 3 分别给出了 n=2,3 的情形) ,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC 的三遍及平行 于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别一次成等差数列,若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n),则有 f(2)=2,f(3)=

10 ,?, 3

f(n)=

1 (n+1)(n+2) 6

答案

10 1 , (n ? 1)(n ? 2) 3 6

解析 当 n=3 时,如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示,即由条件知

a ? b ? c ? 1, x1 ? x2 ? a ? b, y1 ? y2 ? b ? c, z1 ? z2 ? c ? a x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? 2(a ? b ? c) ? 2,2g ? x1 ? y2 ? x2 ? z1 ? y1 ? z2 6g ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? 2(a ? b ? c) ? 2
即 g ? 而f (3) ? a ? b ? c ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? g ? 1 ?

1 3

1 1 10 ? ? 2 3 3

进一步可求得 f (4) ? 5 。由上知 f (1) 中有三个数, f (2) 中 有 6 个数, f (3) 中共有 10 个数 相加 , f (4) 中有 15 个数相加?.,若 f ( n ? 1) 中有 an?1 (n ? 1) 个数相加,可得 f ( n) 中有

(an?1 ? n ?1) 个数相加,且由
3 6 3?3 3 10 4 5 f (1) ? 1 ? , f (2) ? ? ? f (1) ? , f (3) ? ? f (2) ? , f (4) ? 5 ? f (3) ? ,... 3 3 3 3 3 3 3 n ?1 可得 f (n) ? f (n ? 1) ? , 所以 3

n ?1 n ?1 n n ? 1 n n ?1 3 ? f (n ? 2) ? ? ? ... ? ? ? ? ? f (1) 3 3 3 3 3 3 3 n ? 1 n n ?1 3 2 1 1 = ? ? ? ? ? ? (n ? 1)(n ? 2) 3 3 3 3 3 3 6 f (n) ? f (n ? 1) ?
20.(2009 重庆卷理)设 a1 ? 2 , an ?1 ? 公式 bn = .

a ?2 2 * , bn ? n , n ? N ,则数列 ?bn ? 的通项 an ? 1 an ? 1

解析

2 ?2 an ?1 ? 2 an ?1 a ?2 由条件得 bn ?1 ? ? ?2 n ? 2bn 且 b1 ? 4 所以数列 ?bn ? 是首项 2 an ?1 ? 1 an ? 1 ?1 an ?1

n ?1 n ?1 为 4,公比为 2 的等比数列,则 bn ? 4 ? 2 ? 2

答案 2n+1

三、解答题 21.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知点(1,

1 )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项 3

和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S n - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 1000 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > bnbn?1 2009

解(1) Q f ?1? ? a ?

1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ?3?

x

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2? ? c? ? ? f ?1? ? c? ? ? , ? ? ? ? 3 9 2 . a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2? ? c ? ? ? ? ? ? ? 27 4 2 a2 2 1 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? a3 ? 2 3 3 27

又公比 q ?

a2 1 2?1? ? ,所以 an ? ? ? ? 3?3? a1 3

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1 ; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n

Sn ? 1 ? ? n ?1? ?1 ? n , S n ? n 2

当 n ? 2 , bn ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? ? n ?1? ? 2n ?1 ;
2

?bn ? 2n ?1( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?L ? ? ? ? ?K ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ?1) ? ? 2n ? 1?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2? 3? 2? 3 5? 2? 5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

n 1000 1000 1000 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. ? 2n ? 1 2009 9 2009 1 n ?1 22.(2009 全国卷Ⅰ理)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? (1 ? )an ? n n 2 an (I)设 bn ? ,求数列 {bn }的通项公式 n
由 Tn ? (II)求数列 {an } 的前 n 项和 S n 分析: (I)由已知有

an?1 an 1 1 ? ? n ? bn?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 * (n? N ) n ?1 2

利用累差迭加即可求出数列 {bn }的通项公式: bn ? 2 ? (II)由(I)知 an ? 2n ?

n , 2n?1

? S n = ? (2k ?
k ?1

n

n n k k ) ? ? (2k ) ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2 n



?
k ?1

n

(2k ) ? n(n ? 1) ,又
n

?2
k ?1

k
k ?1

是一个典型的错位相减法模型,

易得

?2
k ?1

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? S n = n(n ? 1) ? n?1 ? 4 n ?1 2 2

评析: 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前 09 n 项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线

教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意 识降低难度和求变的良苦用心。 23.(2009 北京理)已知数集 A ? ?a1 , a2 ,?an ??1 ? a1 ? a2 ? ?an , n ? 2 ? 具有性质 P ;对任 意的

i, j ?1 ? i ? j ? n ? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

(Ⅰ)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1, 2,3, 6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ; ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1

(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时, a1, a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题. (Ⅰ)由于 3 ? 4 与

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 都属于数集 ?1, 2,3, 6? , 2 3 1 2 3 6
∴该数集具有性质 P.

(Ⅱ)∵ A ? ?a1 , a2 ,? an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an

由于 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A . 从而 1 ?

an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A ? k ? 2,3,?, n ? . 由 A 具有性质 P 可知

an ? A ? k ? 1, 2,3,?, n ? . ak

又∵

an a a a ? n ??? n ? n , an an?1 a2 a1



an a a a ? 1, n ? a2 ,? n ? an?1 , n ? an , an an?1 a2 a1

从而

an a a a ? n ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an , an an?1 a2 a1



a1 ? a2 ? ? ? an ? an . ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1 a5 a 2 ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2 a4 ? a3 , a4 a3

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ,∴ a3a4 ? a2a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A , 由 A 具有性质 P 可知

a4 ?A. a3

2 a2 a4 ? a3 ,得

a3 a4 a a a ? ? A ,且 1 ? 3 ? a2 ,∴ 4 ? 3 ? a2 , a2 a2 a3 a3 a2



a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 ,即 a1, a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a2 成等比数列. a4 a3 a2 a1

24.(2009 江苏卷)设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, S n 为其前 n 项和,满足

a2 2 ? a32 ? a4 2 ? a5 2 , S7 ? 7 。
(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; (2)试求所有的正整数 m ,使得

am am?1 为数列 ?an ? 中的项。 am?2

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满分 14 分。 (1)设公差为 d ,则 a2
2 2 2 2 ? a5 ? a4 ? a3 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因为

d ? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,又由 S7 ? 7 得 7a1 ?
a1 ? ?5 , d ? 2 ,
(2) (方法一) 则

7?6 d ? 7 ,解得 2

am am?1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2m ? 3 ? t , am?2 2m ? 3
所以 t 为 8 的约数

am am?1 (t ? 4)(t ? 2) 8 = ? t ? ? 6, am?2 t t

(方法二)因为

am am?1 (am?2 ? 4)(am?2 ? 2) 8 为数列 ?an ? 中的项, ? ? am?2 ? 6 ? am?2 am?2 am?2



8 为整数,又由(1)知: am?2 为奇数,所以 am?2 ? 2m ? 3 ? ?1,即m ? 1,2 a m+2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2 。
2 25(2009 江苏卷)对于正整数 n ≥2,用 Tn 表示关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实

数根的有序数组 ( a , b ) 的组数,其中 a, b ? ?1, 2,?, n? ( a 和 b 可以相等) ;对于随机选取的

a, b ? ?1, 2,?, n?( a 和 b 可以相等) Pn 为关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2ax ? b ? 0 有实数 ,记
根的概率。 (1)求 Tn2 和 Pn 2 ; (2)求证:对任意正整数 n ≥2,有 Pn ? 1 ?

1 . n

【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理,考查探究能力。满分 10 分。

26.(2009 山东卷理)等比数列{ an }的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N

?

,点 (n Sn , , )

均在函数 y ? bx ? r(b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记 证明:对任意的 n ? N

bn ? 2(log 2 an ? 1)(n ? N ? )
?

,不等式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·· n ·· ·· ? n ? 1 成立 b1 b2 bn

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? bx ? r(b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数的图像
n 上.所以得 S n ? b ? r ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r ,当 n ? 2 n n ?1 n n ?1 n ?1 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? b ? r ? (b ? r ) ? b ? b ? (b ? 1)b ,又因为{ an }为等比数列,所以

?

r ? ?1 ,公比为 b , an ? (b ? 1)b n ?1
n ?1 n ?1 (2)当 b=2 时, an ? (b ? 1)b ? 2 ,

bn ? 2(log 2 an ? 1) ? 2(log 2 2n ?1 ? 1) ? 2n



bn ? 1 2n ? 1 b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b ? 1 b2 ? 1 ,所以 1 · ·· n ·· ·· ? ? ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6 2n bn 2n
b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·· n ·· ·· ? ? ? ? ? n ? 1 成立. b1 b2 bn 2 4 6 2n

下面用数学归纳法证明不等式

① 当 n ? 1 时,左边=

3 3 ,右边= 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2
b ? 1 3 5 7 2k ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·· k ·· ·· ? ? ? ? ? k ? 1 成立. b1 b2 bk 2 4 6 2k

② 假设当 n ? k 时不等式成立,即

则当 n ? k ?1 时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 2k ? 1 2 k ? 3 · ·· k ·· ·· ? ? ? ? ?? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6 2k 2k ? 2

? k ?1 ?

2k ? 3 (2k ? 3)2 4(k ? 1)2 ? 4(k ? 1) ? 1 1 ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? ? (k ? 1) ? 1 2k ? 2 4(k ? 1) 4(k ? 1) 4(k ? 1)

所以当 n ? k ?1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 S n 求 an 的基本题型,并运 用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.
2 2 27.( 2009 广 东 卷 理 )知曲线 Cn : x ? 2nx ? y ? 0(n ? 1, 2,?) .从点 P ( ?1, 0) 向曲线 C n

引斜率为 kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 P ( xn , yn ) . n (1)求数列 {xn }与 yn } 的通项公式; { (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ??? x2 n?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

解 : 1) 设 直 线 ln : y ? kn ( x ? 1) ,联立 x 2 ? 2nx ? y 2 ? 0 得 (
2 2 2 2 2 2 (1 ? k n ) x 2 ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0 ,则 ? ? (2k n ? 2n) 2 ? 4(1 ? k n )k n ? 0 ,∴

kn ?

n 2n ? 1

(?

n 2n ? 1

舍去)

2 kn n2 n 2n ? 1 n x ? ? , 即 xn ? , ∴ y n ? k n ( x n ? 1) ? 2 2 1 ? k n (n ? 1) n ?1 n ?1 2 n

1 ? xn ( 2) 证 明 : ∵ ? 1 ? xn

n n ?1 ? n 1? n ?1 1?

1 2n ? 1

x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2n?1 ?

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 1 ? ????? ? ? ????? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1 2n ? 1
1 ? xn 1 ? xn

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n?1 ?

由于

xn ? yn

1 ? xn 1 ' ,可令函数 f ( x ) ? x ? 2 sin x ,则 f ( x) ? 1 ? 2 cos x ,令 ? 2n ? 1 1 ? xn
2 ? ? ,给定区间 (0, ) ,则有 f ' ( x) ? 0 ,则函数 f (x ) 在 (0, ) 上单 2 4 4

f ' ( x) ? 0 ,得 cos x ?

调递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 x ?

? 1 1 ? 2 sin x 在 (0, ) 恒成立,又 0 ? ? ? , 4 2n ? 1 3 4

则有

1 ? xn x 1 1 ,即 ? 2 sin n . ? 2 sin 1 ? xn yn 2n ? 1 2n ? 1
1 2 (an ? 3), n ? N? . 4

28.(2009 安徽卷理)首项为正数的数列 ?an ? 满足 an?1 ? (I)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n ? 2, an 都是奇数;

(II)若对一切 n ? N? 都有 an?1 ? an ,求 a1 的取值范围. 解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运 算求解和探究能力, 考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。 本小题满分 13 分。 解: (I)已知 a1 是奇数,假设 ak ? 2m ?1是奇数,其中 m 为正整数,

ak 2 ? 3 ? m(m ? 1) ? 1 是奇数。 则由递推关系得 ak ?1 ? 4
根据数学归纳法,对任何 n ? N? , an 都是奇数。 (II) (方法一)由 an?1 ? an ?

1 (an ? 1)(an ? 3) 知, an?1 ? an 当且仅当 an ? 1 或 an ? 3 。 4
32 ? 3 1? 3 ? 3. ? 1 ;若 ak ? 3 ,则 ak ?1 ? 4 4

另一方面,若 0 ? ak ? 1, 则 0 ? ak ?1 ?

根据数学归纳法, 0 ? a1 ? 1, ? 0 ? an ? 1, ?n ? N? ; a1 ? 3 ? an ? 3, ?n ? N? . 综合所述,对一切 n ? N? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1 或 a1 ? 3 。 (方法二)由 a2 ?

a12 ? 3 ? a1 , 得 a12 ? 4a1 ? 3 ? 0, 于是 0 ? a1 ? 1 或 a1 ? 3 。 4

an ?1 ? an ?

an 2 ? 3 an ?12 ? 3 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? ? , 4 4 4

an 2 ? 3 , 所以所有的 an 均大于 0,因此 an?1 ? an 与 an ? an?1 同号。 因为 a1 ? 0, an ?1 ? 4
根据数学归纳法, ?n ? N? , an?1 ? an 与 a2 ? a1 同号。 因此,对一切 n ? N? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1 或 a1 ? 3 。 29.(2009 江西卷理)各项均为正数的数列 {an} , a1 ? a, a2 ? b ,且对满足 m ? n ? p ? q 的 正整数 m, n, p, q 都有 (1)当 a ?

a p ? aq am ? an ? . (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )

1 4 , b ? 时,求通项 an ; 2 5 1

(2)证明:对任意 a ,存在与 a 有关的常数 ? ,使得对于每个正整数 n ,都有

?

? an ? ?.

解: (1)由

a p ? aq am ? an ? 得 (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )

a1 ? an a2 ? an?1 1 4 ? . 将 a1 ? , a2 ? 代入化简得 (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a2 )(1 ? an?1 ) 2 5

an ?

2an?1 ? 1 . an?1 ? 2

所以

1 ? an 1 1 ? an?1 ? ? , 1 ? an 3 1 ? an?1 1 ? an } 为等比数列,从而 1 ? an

故数列 {

3n ? 1 1 ? an 1 ? , 即 an ? n . 3 ?1 1 ? an 3n 3n ? 1 可验证, an ? n 满足题设条件. 3 ?1
(2) 由题设

am ? an 的值仅与 m ? n 有关,记为 bm?n , 则 (1 ? am )(1 ? an )

bn?1 ?

a1 ? an a ? an ? . (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a)(1 ? an )
a?x ( x ? 0) ,则在定义域上有 (1 ? a )(1 ? x)

考察函数 f ( x) ?

? 1 a ?1 ?1 ? a , ? ? 1 f ( x) ? g (a) ? ? , a ?1 ? 2 ? a ?1 ? a , 0 ? a ? 1 ?
故对 n ? N , bn?1 ? g (a) 恒成立.
*

又 b2 n ?

2an ? g (a) , (1 ? an )2

注意到 0 ? g (a) ?

1 ,解上式得 2

1 ? g ( a ) ? 1 ? 2 g ( a) 1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a) g ( a) ? ? an ? , g (a) g ( a) 1 ? g ( a ) ? 1 ? 2 g ( a)
取? ?

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a) ,即有 g (a)

1

?

? an ? ?. .
1 2

30. (2009 湖北卷理)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ?an ? ( )n ?1 ? 2 (n 为正整数) 。
n (Ⅰ)令 bn ? 2 an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

n ?1 5n 的大小,并予以证明。 an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试比较 Tn 与 n 2n ? 1 1 1 解(I)在 Sn ? ?an ? ( )n ?1 ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ?1? 2 ? a1 ,即 a1 ? 2 2 1 1 当 n ? 2 时, Sn?1 ? ?an?1 ? ( )n?2 ? 2, an ? Sn ? Sn?1 ? ?an ? an?1 ? ( )n?1 , ? 2 2 1 ? 2a n ? an?1 ? ( )n?1 ,即2n an ? 2n?1 an?1 ? 1 . 2
(Ⅱ)令 cn ?

? bn ? 2n an ,? bn ? bn ?1 ? 1, 即当n ? 2时,bn ? bn ?1 ? 1.
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ? (II)由(I)得 cn ?

?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( )n ,所以 n 2 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3? ( )2 ? 4 ? ( )3 ? K ? (n ? 1)( )n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( )2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( )4 ? K ? (n ? 1)( )n?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? (n ? 1)( )n?1 2 2 2 2 2 1 1 n ?1 [1 ? ( ) ] 1 3 n?3 4 2 ? 1? ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2

n . 2n

5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ?1) Tn ? ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)
于是确定 Tn与

5n n 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1 的大小 2n ? 1

由 2 ? 2 ?1?1;22 ? 2 ? 2 ?1;23 ? 2 ? 3 ?1;24 ? 2 ? 4 ?1;25 ? 2 ?5;K

可猜想当 n ? 3时, ? 2n ? 1. 证明如下: 2
n

证法 1: (1)当 n=3 时,由上验算显示成立。 (2)假设 n ? k ?1 时 2k ?1 ? 2g k ? 2(2k ?1) ? 4k ? 2 ? 2(k ?1) ?1? (2k ?1) ? 2(k ?1) ?1 2 所以当 n ? k ?1 时猜想也成立
n 综合(1) (2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1.

证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n n 0 1 n n 2n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? Cn ? K ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1

综上所述,当 n ? 1, 2时 Tn ?

5n 5n ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1

31.(2009 四川卷文)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ?1成 立,记 bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找出 一个正整数 k ;若不存在,请说明理由;
* (III)记 cn ? b2 n ? b2 n ?1 (n ? N ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都

有 Tn ?

3 ; 2

解(I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又?an ? 5Sn ?1, an?1 ? 5Sn?1 ?1

1 4

? an?1 ? an ? 5an ?1 ,即

an?1 1 ?? an 4

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 1 4 ? (? )n 1 n 4 (n ? N * ) ∴ an ? (? ) , bn ? ?????????????3 分 1 n 4 1 ? (? ) 4
∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? (II)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 证明:由(I)知 bn ? 1 (?4) n ?1 1 ? (? ) n 4

?b2k ?1 ? b2k ? 8 ?

5 5 20 15 ?16k ? 40 ? 8? k ? k ? 8? k ? 8. (?4)2k ?1 ?1 (?4)2k ?1 16 ?1 16 ? 4 (16 ?1)(16k ? 4) 5 ?

∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ? ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ??? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ? ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ??? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k ∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。 (III)由 bn ? 4 ? ?????????????8 分

5 得 (?4) n ? 1

cn ? b2n?1 ? b2n ?
又 b1 ? 3, b2 ?

5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 ? 2n?1 ? ? ? ? 42n ?1 4 ? 1 (16n ?1)(16n ? 4) (16n )2 ? 3 ?16n ? 4 (16n )2 16n

13 4 ,? c2 ? , 3 3 3 当 n ? 1 时, T1 ? , 2
当 n ? 2 时,

1 1 [1 ? ( )n ?2 ] 2 4 1 1 1 4 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 16 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 48 2 3 1? 16
32.(2009 湖南卷文)对于数列 {un } ,若存在常数 M>0,对任意的 n ? N ,恒有
*

un?1 ? un ? un ? un?1 ? ? ? u2 ? u1 ? M ,
(Ⅰ)首项为 1,公比为 ?

则称数列 {un } 为 B ? 数列.

1 的等比数列是否为 B-数列?请说明理由; 2

(Ⅱ)设 S n 是数列 {xn } 的前 n 项和.给出下列两组判断: A 组:①数列 {xn } 是 B-数列, B 组:③数列 {Sn } 是 B-数列, ②数列 {xn } 不是 B-数列; ④数列 {Sn } 不是 B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (Ⅲ)若数列 {an } 是 B-数列,证明:数列 {an } 也是 B-数列。 解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为 {an } ,则 an ? (? ) n ?1 .于是
2

1 2

1 1 3 1 an ? an?1 ? (? )n?1 ? (? )n?2 ? ? ( )n?2 , n ? 2. 2 2 2 2

| an?1 ? an | ? | an ? an?1 | ??? | a2 ? a1 |
=

3 ? 1 1 2 1 1 ? ? ? ? ?1 ? ? )? ? ? )-1 ? = 3 ? ?1 ? )? ? 3. ( ( n ( n 2 ? 2 2 2 2 ? ? ?

所以首项为 1,公比为 ?

1 的等比数列是 B-数列 2

.

(Ⅱ)命题 1:若数列 {xn } 是 B-数列,则数列 {Sn } 是 B-数列.此命题为假命题. 事实上设 xn =1, n ? N ,易知数列 {xn } 是 B-数列,但 S n =n,
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? n .
由 n 的任意性知,数列 {Sn } 不是 B-数列。 命题 2:若数列 {Sn } 是 B-数列,则数列 {xn } 不是 B-数列。此命题为真命题。 事实上,因为数列 {Sn } 是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 n ? N ,有
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? M ,
即 | xn?1 | ? | xn | ??? | x2 |? M .于是 xn?1 ? xn ? xn ? xn?1 ? ? ? x2 ? x1

? xn?1 ? 2 xn ? 2 xn?1 ? ? ? 2 x2 ? x1 ? 2M ? x1 ,
所以数列 {xn } 是 B-数列。 (注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法)

(Ⅲ)若数列 ?an ? 是 B-数列,则存在正数 M,对任意的 n ? N ? , 有

an?1 ? an ? an ? an?1 ? ? ? a2 ? a1 ? M .
因为 an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ? a1

? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ? a1 ? M ? a1 .
2 2 记 K ? M ? a1 ,则有 an?1 ? an ? (an?1 ? an )(an?1 ? an )

? ( an?1 ? an ) an?1 ? an ? 2K an?1 ? an .
2 2 2 2 2 2 因此 an?1 ? an ? an ? an?1 ? ... ? a2 ? a1 ? 2KM .

2 故数列 an 是 B-数列.

? ?

33. (2009 陕西卷理) 已知数列 ? xn } 满足, x1=

1 1 xn+1= , n ? N* . 2’ 1 ? xn

? ? ? 猜想数列 {xn} 的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明: | xn?1 -xn|≤ ( )n?1 。 证明(1)由 x1 ?

1 2 6 5

1 1 2 5 13 及xn+1 ? 得x2 ? ? x4 ? ,x4 ? 2 1 ? xn 3 8 21

由 x2 ? x4 ? x6 猜想:数列 ? x2n ? 是递减数列 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,已证命题成立 易知 x2k ? 0 ,那么 x2 k ? 2 ? x2 k ? 4 ? (2)假设当 n=k 时命题成立,即 x2k ? x2k ?2

x2 k ?3 ? x2 k ?1 1 1 ? ? 1 ? x2 k ?1 1 ? x2 k ?3 (1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ?3 )

=

x2k ? x2 k ?2 ?0 (1 ? x2k )(1 ? x2k ?1 )(1 ? x2k ?2 )(1 ? x2 k ?3 )

即 x2( k ?1) ? x2( k ?1) ? 2 也就是说,当 n=k+1 时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 (2)当 n=1 时, xn?1 ? xn ? x2 ? x1 ?

1 ,结论成立 6

当 n ? 2 时,易知 0 ? xn?1 ? 1,?1 ? xn?1 ? 2, xn ?

1 1 ? 1 ? xn?1 2

? (1 ? xn )(1 ? xn?1 ) ? (1 ?

1 5 )(1 ? xn?1 ) ? 2 ? xn?1 ? 1 ? xn?1 2

? xn?1 ? xn ?
?

xn ? xn?1 1 1 ? ? 1 ? xn 1 ? xn?1 (1 ? xn )(1 ? xn?1 )

2 2 2 xn ? xn ?1 ? ) xn ?1 ? xn ? 2 ? ? ? ) x2 ? x1 ( 2 ( n-1 5 5 5 1 2 n-1 ? ( ) 6 5

34.(2009 四川卷文)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ?1成 立,记 bn ?

4 ? an (n ? N * ) 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找出 一个正整数 k ;若不存在,请说明理由;
* (III)记 cn ? b2 n ? b2 n ?1 (n ? N ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都

有 Tn ?

3 ; 2

解(I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又?an ? 5Sn ?1, an?1 ? 5Sn?1 ?1

1 4

? an?1 ? an ? 5an ?1 ,即

an?1 1 ?? an 4

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 1 4 ? (? )n 1 n 4 (n ? N * ) ∴ an ? (? ) , bn ? ?????????????3 分 1 n 4 1 ? (? ) 4
∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? (II)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 证明:由(I)知 bn ? 1 (?4) n ?1 1 ? (? ) n 4

?b2k ?1 ? b2k ? 8 ?

5 5 20 15 ?16k ? 40 ? 8? k ? k ? 8? k ? 8. (?4)2k ?1 ?1 (?4)2k ?1 16 ?1 16 ? 4 (16 ?1)(16k ? 4) 5 ?

∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ? ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ??? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ? ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ??? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k ∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。 (III)由 bn ? 4 ? ?????????????8 分

5 得 (?4) n ? 1

cn ? b2n?1 ? b2n ?
又 b1 ? 3, b2 ?

5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 ? 2n?1 ? ? ? ? 42n ?1 4 ? 1 (16n ?1)(16n ? 4) (16n )2 ? 3 ?16n ? 4 (16n )2 16n

13 4 ,? c2 ? , 3 3 3 当 n ? 1 时, T1 ? , 2
当 n ? 2 时,

1 1 [1 ? ( )n ?2 ] 2 4 1 1 1 4 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 16 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 48 2 3 1? 16
?????????????14 分

35. (2009 天津卷理) 已知等差数列{ a n }的公差为 d ? 0) 等比数列{ bn }的公比为 q (d , (q>1) 。

? 设 sn = a1b1 + a2b2 ?..+ an bn , Tn = a1b1 - a2b2 +?..+(-1 ) n?1 an bn ,n ? N

(I)

若 a1 = b1 = 1,d=2,q=3,求 S3 的值; 若 b1 =1,证明(1-q) S 2n -(1+q) T2n =

(II)

2dq(1 ? q 2 n ) ? ,n ? N ; 2 1? q

(Ⅲ)

若正数 n 满足 2 ? n ? q,设 k1, k2 ,..., kn和l1, l2 ,..., ln是 ,...,n 的两个不同的排列, 1 2,

c1 ? ak1 b1 ? ak2 b2 ? ... ? akn bn ,

c2 ? al1 b1 ? al2 b2 ? ... ? aln bn 证明

c1 ? c2



本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识,考 查运算能力,推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分 14 分。
n ?1 * (Ⅰ)解:由题设,可得 an ? 2n ? 1, bn ? 3 , n ? N

所以, S3 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 1?1? 3? 3 ? 5? 9 ? 55
n ?1 (Ⅱ)证明:由题设可得 bn ? q 则

S 2 n ? a1 ? a2 q ? a3q 2 ? ..... ? a2 n q 2 n ?1 ,



T2n ? a1 ? a2 q ? a3q 2 ? a4 q3 ? ..... ? a2 n q 2n?1 , S2n ? T2n ? 2(a2 q ? a4 q3 ? ... ? a2 n q 2n?1 )
① 式减去②式,得



① 式加上②式,得

S 2 n ? T2 n ? 2(a1 ? a3q 2 ? .... ? a2 n ?1q 2 n ? 2 )
② 式两边同乘 q,得



q( S2 n ? T2 n ) ? 2(a1q ? a3q 3 ? .... ? a2 n ?1q 2 n ?1 )
所以,

(1? q)S2n ? (1? q)T2n ? (S2n ? T2n ) ? q(S2n ? T2n )
? 2d (q ? q 3 ? K ? q 2 n ?1 ) 2dq (1 ? q 2 n ) ? ,n? N* 2 1? q

(Ⅲ)证明: c1 ? c2 ? (ak1 ? al1 )b1 ? (ak2 ? al2 )b2 ? K ? (akn ? aln )bn

? (k1 ? l1 )db1 ? (k2 ? l2 )db1q ? K ? (kn ? ln )db1q n ?1
因为 d ? 0, b1 ? 0, 所以

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K ? (kn ? ln )q n?1 db1
(1) 若 kn ? ln ,取 i=n (2) 若 kn ? ln ,取 i 满足 ki ? li 且 k j ? l j , i ? 1 ? j ? n 由(1),(2)及题设知, 1 ? i ? n 且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K (ki ?1 ? li ?1 )qi ?2 ? (ki ? li )qi ?1 db1
① 当 ki ? li 时,得 ki ? li ? ?1,由q ? n,得ki ? li ? q ?1, i ? 1,2,3.....i ?1 即 k1 ? l1 ? q ?1, (k2 ? l2 )q ? q(q ?1) ?, (ki ?1 ? li ?1 )q
i ?1 i ?1 又 ( ki ? li ) q ? ? q , 所以 i?2

? q i ? 2 (q ? 1)

c1 ? c2 1 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? K (q ? 1)q i ? 2 ? q i ?1 ? (q ? 1) db1 1? q
因此 c1 ? c2 ? 0,即c1 ? c2 ② 当 ki ? li 同理可得 综上, c1 ? c2 36.(2009 四川卷理)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ?1成 立,记 bn ?

c1 ? c2 ? ?1 ,因此 c1 ? c2 db1

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?bn ? 的通项公式;
* (II)记 cn ? b2 n ? b2 n ? (n ? N ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都有 1

Tn ?

3 ; 2

(III)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn 。已知正实数 ? 满足:对任意正整数 n, Rn ? ?n 恒成立, 求 ? 的最小值。 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想,以及推理论证、 分析与解决问题的能力。 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 5a1 ? 1,? a1 ? ? 又 Q an ? 5an ?1, an?1 ? 5an?1 ?1

1 4

1 ? an?1 ? an ? 5an?1 ,即an?1 ? ? an 4 1 1 ? 数列 ?an ? 成等比数列,其首项 a1 ? ? ,公比是 q ? ? 4 4 1 ? an ? (? )n 4 1 4 ? (? )n 4 ??????????????..3 分 ? bn ? 1 n 1 ? (? ) 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ? 1

?cn ? b2n ? b2n?1 ?

5 5 25 ?16n ? 2n?1 ? 42n ?1 4 ? 1 (16n ?1)(16n ? 4)

25 ?16n 25 ?16n 25 = ? ? (16n )2 ? 3 ?16n ? 4) (16n )2 16n
13 4 ,? c1 ? 3 3 3 当 n ?1 时,T1 ? 2 4 1 1 1 当 n ? 2时,Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? K ? n ) 3 16 16 16 1 1 [1 ? ( ) n?1 ] 2 4 16 ? ? 25 ? 16 1 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? ......................7分 1 48 2 3 1? 16
又 b1 ? 3, b2 ?

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ? 1

一方面,已知 Rn ? ?n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2k ?1(k ? N * ) 则 Rn ? b1 ? b2 ? K ? b2k ?1

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? K K ? 2k ?1 ) 4 ? 1 4 ?1 4 ? 1 4 ?1 1 1 1 1 1 ? 4n ? 5 ? [? 1 ? ( 2 ? 3 ) ? K K ? ( 2k ? 2k ?1 )] 4 ? 1 4 ?1 4 ? 1 4 ?1 4 ? 1 ? 4n ? 5 ? (?
1

> 4n ?1

??n ? Rn ? 4n ?1,即(? ? 4)n ? ?1对一切大于 1 的奇数 n 恒成立
?? ? 4, 否则,(? ? 4)n ? ?1只对满足 n ?

1 的正奇数 n 成立,矛盾。 4??

另一方面,当 ? ? 4 时,对一切的正整数 n 都有 Rn ? 4n 事实上,对任意的正整数 k,有

b2 n?1 ? b2 n ? 8 ?

5 (?4)
2 k ?1

5 ? 1 (?4) 2 k ? 1 ?

? 8?

5 20 ? k (16) ? 1 (16) k ? 4

15 ?16k ? 40 ? 8? k ?8 (16 ? 1)(16k ? 4)
? 当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N* )
则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?1 ? b2m ) < 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N* ) 则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ?K ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 < 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n

? 对一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n
综上所述,正实数 ? 的最小值为 4??????????.14 分

37.(2009 年上海卷理)已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。 (1) 若 an ? 3n ?1 ,是否存在 m、k ? N ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由;
*

(2)

找出所有数列 ?an ? 和 ?bn ? ,使对一切 n ? N ,
*

an ?1 ? bn ,并说明理由; an

(3)

若 a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3, 试确定所有的 p ,使数列 ?an ? 中存在某个连续 p 项的和

是数列 ?bn ? 中的一项,请证明。 [解法一](1)由 am ? am?1 ? ak ,得 6m ? 5 ? 3k ?1 , 整理后,可得 k ? 2m ? ... 分 ...2

4 ? ,? m 、 k ? N ,? k ? 2m 为整数, 3
... 分 ...5 (*)

? 不存在 m 、 k ? N ? ,使等式成立。
(2)若

an ?1 a1 ? nd ? b1q n?1 , ? bn ,即 a1 ? (n ? 1)d a
n ?1

(ⅰ)若 d ? 0, 则 1 ? b1q

? bn 。
... 分 ...7

当{ an }为非零常数列,{ bn }为恒等于 1 的常数列,满足要求。 (ⅱ)若 d ? 0 , (*)式等号左边取极限得 lim
n ??

a1 ? nd (*)式等号右边的极限只有 ? 1, a1 ? (n ? 1)d

当 q ? 1 时,才能等于 1。此时等号左边是常数,? d ? 0 ,矛盾。 综上所述,只有当{ an }为非零常数列,{ bn }为恒等于 1 的常数列,满足要求。...10 分 ... 【解法二】设 an ? nd ? c, 若

an?1 ? bn , 且?bn ? 为等比数列 an



an? 2 an?1 / ? q, 对n ? N *都成立,即an an? 2 ? qa 2 n?1 an?1 an

?(dn ? c)(dn ? 2d ? c) ? q(dn ? d ? c)2 对n ? N*都成立, a2 ? qd 2 ....7分 ?
(i) (ii)
* 若 d=0,则 an ? c ? 0,? bn ? 1, n ? N

若 d ? 0, 则q=1,?bn ? m (常数)即

dn ? d ? c ? m ,则 d=0,矛盾 dn ? c

综上所述,有 an ? c ? 0, bn ? 1, 使对一切 n ? N ,
*
n (3) an ? 4n ? 1, bn ? 3 , n ? N *

an?1 ? bn , an

10 分

设 am?1 ? am?2 ? ?? ? a m? p ? bk ? 3 , p、k ? N , m ? N .
k *

4(m ? 1) ? 1 ? 4(m ? p) ? 1 p ? 3k , 2

? 4m ? 2 p ? 3 ?

3k ,? p、k ? N*,? p ? 35 , s ? N . p

13 分

取 k ? 3s ? 2,4m ? 32s?2 ? 2 ? 3s ? 3 ? (4 ?1)2s?2 ? 2 ? (4 ?1)s ? 3 ? 0, 由二项展开式可得正整数 M1、M2,使得(4-1)
2s+2

15 分

=4M1+1,

2 ? (4 ?1)s ? 8M2 ? (?1)s 2, ?4m ? 4(M1 ? 2M2 ) ? (?1)s ?1 2,?存在整数 满足要求 m .
故当且仅当 p=3 ,s ? N 时,命题成立.
s

?

?

说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分) 若 p 为偶数,则 am+1+am+2+??+am+p 为偶数,但 3 为奇数 故此等式不成立,所以,p 一定为奇数。 当 p=1 时,则 am+1=bk,即 4m+5=3 , 而 3 =(4-1)
k k k k

0 k 1 k ?1 k ?1 k ?1 k k k = Ck ? 4 ? Ck ? 4 ? (?1) ? ?? ? Ck ? 4 ? (?1) ? Ck ? (?1) ? 4 M ? (?1) , M ? Z ,

当k为偶数时,存在m,使4m+5=3 成立 当 p=3 时,则 am+1+am+2+am+3=bk,即 3am+2-bk, 也即 3(4m+9)=3 ,所以 4m+9=3 ,4(m+1)+5=3
k k-1 k-1

k

1分

由已证可知,当 k-1 为偶数即 k 为奇数时,存在 m, 4m+9=3 成立 当 p=5 时,则 am+1+am+2+??+am+5=bk,即 5am+3=bk

k

2分

也即 5(4m+13)=3 ,而 3 不是 5 的倍数,所以,当 p=5 时,所要求的 m 不存在 故不是所有奇数都成立. 2分

k

k

38.(2009 重庆卷理)设 m 个不全相等的正数 a1, a2 ,?, am (m ? 7) 依次围成一个圆圈. (Ⅰ)若 m ? 2009 ,且 a1, a2 ,?, a1005 是公差为 d 的等差数列,而 a1, a2009 , a2008 ,?, a1006 是

公比为 q ? d 的等比数列;数列 a1, a2 ,?, am 的前 n 项和 Sn (n ? m) 满足:

S3 ? 15, S2009 ? S2007 ?12a1 ,求通项 an (n ? m) ;
(Ⅱ)若每个数 an (n ? m) 是其左右相邻两数平方的等比中项,求证:
2 2 a1 ? ? ? a6 ? a7 ? ? ? am ? ma1a2 am ; 2 解: (I)因 a1, a2009 , a2008 , ???, a1006 是公比为 d 的等比数列,从而 a2000 ? a1d , a2008 ? a1d 由

S2009 ? S2008 ?12a1得a2008 ? a2009 ? 12a ,故 1
解得 d ? 3 或 d ? ?4 (舍去) 。因此 d ? 3 又

S3 ? 3a1 ? 3d ? 15 。解得 a1 ? 2

从而当 n ? 1005 时,

an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 3(n ?1) ? 3n ?1
当 1006 ? n ? 2009 时,由 a1, a2009 , a2008 , ???, a1006 是公比为 d 的等比数列得

an ? a1d 2009?( n ?1) ? a1d 2010? n (1006 ? n ? 2009)
因此 an ? ?

?3n ? 1, n ? 1005 ?2 ? 3
2009? n

,1006 ? n ? 2009

2 2 2 2 2 2 2 2 (II)由题意 an ? an ?1an ?1 (1 ? n ? m), am ? am ?1a1 , a1 ? am a2 得

  ?an ? an?1an?1 (1 ? n ? m),     ①  ? ?am ? am?1a1         ② ?a ? a a           ③ m 2 ? 1
有①得 a3 ?

a2 a 1 1 , a4 ? , a5 ? , a6 ? 1 a3 a1 a2 a2



2 由①,②,③得 a1a2 ??? an ? (a1a2 ??? an ) ,

故 a1a2 ??? an ? 1 . 又 ar ?3 ?



ar ? 2 ar ?1 1 1 ? ? ? (1 ? r ? m ? 3) ,故有 ar ?1 ar ar ?1 ar

ar ?6 ?

1 ? ar (1 ? r ? m ? 6) .⑥ ar ?3

下面反证法证明: m ? 6k 若不然,设 m ? 6k ? p, 其中 ? p ? 5 1 若取 p ? 1 即 m ? 6k ?1,则由⑥得 am ? a6k ?1 ? a1 ,而由③得 am ?

a1 a , 故a1 ? 1 , a2 a2

得 a2 ? 1, 由②得 am?1 ?

am , 从而a6 ? a6 k ? am?1 , 而 a1

a6 ?

a1 , 故a1 ? a2 ? 1,由 ④及⑥可推得 an ? 1( 1 ? n ? m )与题设矛盾 a2

同理若 P=2,3,4,5 均可得 an ? 1( 1 ? n ? m )与题设矛盾,因此 m ? 6k 为 6 的倍数 由均值不等式得

a1 ? a2 ? a3 ? K ? a6 ? (a1 ?

a a 1 1 ) ? (a2 ? ) ? ( 2 ? 1 ) ? 6 a1 a2 a1 a2

由上面三组数内必有一组不相等(否则 a1 ? a2 ? a3 ? 1 ,从而 a4 ? a5 ? K ? am ? 1与题设矛 盾) ,故等号不成立,从而 a1 ? a2 ? a3 ? K ? a6 ? 6 又 m ? 6k ,由④和⑥得
2 2 2 2 2 2 a7 ? K ? am ? (a7 ? K ? a12 ) ? K ? (a6 k ?5 ? K ? a6 k ) 2      =(k-1) 12 ? K ? a6 ) (a

     =(k-1) 12 ? (a
因此由⑤得

1 1 1 2 2 +a2 ? 2 +a3 ? 2 ) ?6(k-1) 2 a1 a2 a3

2 2 a1 ? a2 ? a3 ? K ? a6 ? a7 ? K ? am ? 6 ? 6(k ? 1) ? 6k ? m ? ma1a2 a3 K am

2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 江西卷)在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n 答案 A 二、填空题 B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n

1 n



6.(2008 江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 4 7 3 5 8 6 9 10

. . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 答案 .

n2 ? n ? 6 2

7.(2008 湖北)观察下列等式:

?i ? 2 n
i ?1 n

n

1

2

1 ? n, 2

?i
i ?1 n

2

1 1 1 ? n3 ? n2 ? n, 3 2 6
1 1 1 ? n4 ? n3 ? n2 , 4 2 4 1 1 1 1 ? n5 ? n4 ? n3 ? n, 5 2 3 30 1 1 5 1 ? n 6 ? n5 ? n 4 ? n 2 , 6 2 12 12 1 1 1 1 1 ? n7 ? n6 ? n5 ? n3 ? n, 7 2 2 6 42

?i
i ?1 n

3

?i
i ?1 n

4

?i
i ?1 n

5

?i
i ?1

6

??????????????

?i
i ?1

n

k

? ak ?1nk ? 2 ? ak nk ? ak ?1nk ?1 ? ak ?2 nk ?2 ? ??? ? a1n ? a0 ,
*

可以推测,当 x ≥2( k ? N )时, ak ?1 ?

1 1 , ak ? , ak ?1 ? k ?1 2

ak ?2 ?
答案

.

k 12

0

三、解答题

10.(2008 全国 I)设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) .

1) (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0, 是增函数;
(Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; (Ⅲ)设 b ? (a1, ,整数 k ≥ 1)

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

(Ⅰ)证明: f ( x) ? x ? x ln x , f ' ? x ? ? ? ln x,当x ? ? 0,1?时,f ' ? x ? ? ? ln x ? 0 故函数 f ? x ? 在区间(0,1)上是增函数; (Ⅱ)证明: (用数学归纳法) (i)当 n=1 时, 0 ? a1 ? 1 , a1 ln a1 ? 0 ,

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? a1
1) 1] 由函数 f ( x ) 在区间 (0, 是增函数,且函数 f ( x ) 在 x ? 1 处连续,则 f ( x ) 在区间 (0, 是增函
数, a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? 1 ,即 a1 ? a2 ? 1成立; (ⅱ)假设当 x ? k (k ? N *) 时, ak ? ak ?1 ? 1 成立,即 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1

1] 那么当 n ? k ?1 时,由 f ( x ) 在区间 (0, 是增函数, 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 得

f (ak ) ? f (ak ?1) ? f (1) .而 an?1 ? f (an ) ,则 ak ?1 ? f (ak ), ak ?2 ? f (ak ?1 ) , ak ?1 ? ak ?2 ? 1,也就是说当 n ? k ?1 时, an ? an?1 ? 1 也成立;
根据(ⅰ)(ⅱ)可得对任意的正整数 n , an ? an?1 ? 1 恒成立. 、 (Ⅲ)证明:由 f ( x) ? x ? x ln x . an?1 ? f (an ) 可

a? a b k a a1 ? b ? ? ai ln ai ?? a k ?ln ? k ? b k 1
i ?1

k

1, 若存在某 i ≤ k 满足 ai ≤ b ,则由⑵知: ak ?1 ? b ? ai ? b ≥0

?? a k ?ln 2, 若对任意 i ≤ k 都有 ai ? b ,则 a? a b k a k ? b k 1
a ?1 b ? ln ? a1 ? b ? ? ai ln ai ? a1 ? b ? ? ai ln b ? a1 ? b ? (? ai ) ln b ?1 b ka
i ?1 i ?1 i ?1 k k k

?1 b ka ? ??1 b 0 ,即 ak ?1 ? b 成立. a ? 1 b a b( ? ? ? ln 1 a )

11.(2008 山东卷)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
??

a9

a10

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,?构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn 为数列{bn}的前 n 项和,且 满足=

2bn 1=(n≥2). bn S N ? S 2 n
1 }成等差数列,并求数列{bn}的通项公式; Sn

(Ⅰ)证明数列{

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为 同一个正数.当 a81 ? ?

4 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项和的和. 91

第二部分

两年联考题汇编

2010 年联考题 题组二(5 月份更新)

一、填空题 1 1.(肥城市第二次联考)在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+al2=120,则 a9- a11 的值为 3 A.14 答案 C 解析: a4 +a6 +a8 +a10 +a12 ? 5a8 ? 120 ? a8 ? 24 , a 9 ? a11 ? (a 8 +d)- (a8 ? 3d ) B.15 C.16 D.17

1 3

1 3

2 ? a8 ? 16 ,所以选 C。 3
2.(昆明一中三次月考理)各项都是正数的等比数列 ?a n ? 的公比 q ? 1 ,且 a 2, a 3,a 1 成等差

1 2

数列,则

a4 ? a5 的值为 a3 ? a4
B.

A.

1? 5 2

1? 5 2

C.

5 ?1 2

D.

1? 5 1? 5 或 2 2

答案:B 3. 哈师大附中、 ( 东北师大附中、 辽宁省实验中学) 已知正项等比数列 ?an ? 满足: 7 ? a6 ? 2a5 , a 若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则 A.

3 2

B.

5 3

1 4 ? 的最小值为( m n 25 C. 6
中,已知

) D. 不存在

答案 A 4. ( 昆 明 一 中 二 次 月 考 理 ) 在 实 数 数 列 ,?, A. 答案:C B. ,则 C. D. , ) ,

的最大值为(

5.(昆明一中二次月考理)已知数列 的是( )

的通项为

,下列表述正确

A. 最大项为 0,最小项为

B. 最大项为 0,最小项不存在

C. 最大项不存在,最小项为

D. 最大项为 0,最小项为

答案:A 6.(昆明一中二次月考理)三个实数 a、b、c 成等比数列,若有 a + b + c=1 成立,则 b 的 取值范围是( )

A. 答案:C

B.

C.

D.

7.(祥云一中月考理)设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则 A. 2 答案:C B. 4 C.

S4 ?( a2



15 2

D.

17 2

8.(祥云一中三次月考理)设 a ? 0, b ? 0. 若 2 是 2 a 与 2 b 的等比中项,则 为 A .

1 1 ? 的最小值 a b

1 4

B . 1

C. 4

D. 8

答案:C 二、填空题 9.(祥云一中月考理)两个正数 a 、 b 的等差中项是 双曲线

9 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则 2

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的离心率为



答案:

41 5

10.( 祥云一中 二次月 考理 )数列

{an } 的 前 n 项和 为 Sn ,若 a ? n

3 S ,则 5 等于 n( n ? 1)

__________ _______ .
答案:

5 18

1 {an } 的 公 比 q ? 2 , 前 n 项 和 为 Sn , 则 11 . 池 州 市 七 校 元 旦 调 研 ) 设 等 比 数 列 (
S4 ? a4
答案:15



【解析】对于

a1 (1 ? q 4 ) s4 1 ? q4 3 s4 ? , a4 ? a1q ,? ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q )

三、解答题 12. (马鞍山学业水平测试) (本题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ?中, a1 ? 1, Sn 是数列 ?an ?的前 n 项和,对任意 n ? N ,有
?

2S n ? 2 pa n ? pa n ? p( p ? R)
2

(1)求常数 p 的值;

(2)求数列 ?an ?的通项公式; (3)记 bn ?

4S n n ? 2 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 T 。 n?3
2 ?

解: (1)由 a1 ? 1 及 2S n ? 2 pa n ? pa n ? p(n ? N ) ,得:

2 ? 2p ? p ? p
2

? p ? 1 ????????????????????3 分
① ②
2

(2)由 2S n ? 2a n ? a n ? 1 得 2S n?1 ? 2an?1 ? an?1 ? 1
2

由②—①,得

2an?1 ? 2(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an )
2

即: 2(an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an ) ? 0

?(an?1 ? an )(2an?1 ? 2an ?1) ? 0
由于数列 ?an ?各项均为正数,

?2an?1 ? 2an ? 1



a n ?1 ? a n ?

1 ??????????????6 分 2

1 的等差数列, 2 1 n ?1 ? 数列 ?an ?的通项公式是 an ? 1 ? (n ? 1) ? ? ?????7 分 2 2 n ?1 n(n ? 3) (3)由 a n ? ,得: S n ? 2 4

? 数列 ?an ?是首项为 1 ,公差为

?bn ?

4S n n ? 2 ? n ? 2 n ????????????????????9 分 n?3

? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ?? ? n ? 2 n 2 ? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ?? ? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1

? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ?? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 ? ?(n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 1? 2

Tn ? ( n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 ??????12 分

2n {an } 中, a1 ? 1 , an ? n ? 1 an?1 ? n 13. (岳野两校联考) (本题满分 13 分)已知数列

(n ? 2, n ? N ) .且
*

bn ?

an ?? n k 为等比数列,

(Ⅰ) 求实数 ? 及数列 (Ⅱ) 若

?bn ?、 {an} 的通项公式;

S n 为 {an } 的前 n 项和,求 S n ;
cn ? bn , (bn ? 1) 2 数列{ cn }前 n 项和为 Tn .求证:对任意 n ? N * ,都有 Tn <3.

(Ⅲ) 令

【解析】(Ⅰ)当 n ? 2, n ? N 时,
*

an ?

2n an?1 ? n n ?1 ,

?

an a an a ? 2 n?1 ? 1 ? 1 ? 2( n?1 ? 1) n n ?1 , 即 n n ?1 , 故 ? ?1时

?????1 分



bn ? 2bn?1 , 而

b1 ?

a1 ?1 ? 2 ? 0 1
从而

????????2 分 ????????4 分

? bn ? 2 ? 2n ?1 ? 2n
(Ⅱ)



an ? n ? 2n ? n

S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ? (1 ? 2 ? ? ? n)
记 则

Rn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n 2 Rn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? n ? 2n ?1

相减得:

? Rn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2 n2 ? n ? 4 2

????7 分

? Rn ? (n ? 1)2

n ?1

?2

? Sn ? (n ? 1)2n ?1 ?

?????9 分

cn ?
(Ⅲ)

2n 2n 2n?1 1 1 ? n ? n ? n?1 ? n (n ? 2) n 2 n n ?1 (2 ?1) (2 ?1)(2 ? 2) (2 ?1)(2 ?1) 2 ?1 2 ?1

????????11 分

n ? 2 时,

Tn ?

21 1 1 1 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n (n ? 2) 1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

? 2 ?1?

1 ?3 2 ?1
n

????????12 分



T1 ?

2 ?2?3 2 ?1
????????13 分

??n ? N * , Tn ? 3
14.(祥云一中月考理) (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2an 2 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?. an ? 1 3

(Ⅰ)证明:数列 {

1 ? 1}是等比数列; an

(Ⅱ)求数列 {

n } 的前 n 项和 S n . an 2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an?1 2an 2 2 an an ? 1

解: (Ⅰ)? an ?1 ?

?

1 1 1 1 1 2 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , an?1 2 an a1 2 3

? 数列 {

1 1 1 ? 1}是以为 首项, 为公比的等比数列. an 2 2
1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? n?1 ? n ,即 ? n ? 1 , an?1 2 2 2 an 2

????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

?????6 分

?

n n ? n ? n. an 2

??????7 分

1 2 3 n ① ? 2 ? 3 ?? ? n , 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2
设 Tn ? 由① ? ②得

?? ????8 分 ????????9 分

1 1 (1 ? n ) 1 n 1 1 1 2 ? n ? 1 ? 1 ? n ,????10 分 Tn ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 2 2 2 1? 2 1 n n(n ? 1) ? Tn ? 2 ? n?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? . ????11 分 2 2 2

15.(祥云一中二次月考理) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0, 且a 2 , a5满足 2 ? a5 ? 12, a2 a5 ? 27, 数列 ?bn ?的前 n 项 a 和为 S n ,且 S n ? 1 ?

1 bn (n ? N ? ). 2

(1)求数列 ?an ?、 ?bn ?的通项公式; (2)设 Tn ?b 2 ?b4 ? b6 ? ?? b2n ,求 解:

lim T .
n?? n

( )由 a 2 ? a 5 ? 12, a 2 a 5 ? 27, 等差数列 ?a n ? 1 的公差 d ? 0, 可求得 a 2 ? 3, a5 ? 9. a5 ? a 2 ? 3d ,? d ? a5 ? a 2 ? 2, a1 ? a 2 ? d ? 1,? a n ? 2n ? 1(n ? N ? ).(4分) 3

1 ? 数列?bn ? 的前n项和为S n ? 1 ? bn (n ? N ? ), 2 1 2 ? 当n ? 1时,S1 ? b1 ? 1 ? b1 ,? b1 ? . 2 3 1 1 当n ? 2时,bn ? S n ? S n ?1 ? bn ?1 ? bn , 2 2 b 1 2 ?1? ? n ? (n ? 2),即bn ? ? ? ? bn ?1 3 3 ? 3?
n ?1

?

2 (8分) 3 n.

(2)由(1)知 ? 2n ?仍是等比数列,其中首项 b2 ? b

2 1 ,公比q ? 9 9

? Tn ? b2 ? b4 ? b6 ? ? ? b2 n

2 1 (1 ? n ) b2 (1 ? q n) 9 9 ? 1 (1 ? 1 ). ? ? 1 1? q 4 9n 1? 9

1 1 1 ?lim Tn ? lim (1 ? n ) ? . 4 9 n?? n?? 4
16. (祥云一中二次月考理) (本小题满分 12 分) 已知 n 是正整数, 、 数列 ?an ?的前 n 项和为 S n , 数列 ?nan ? 的前 n 项和为 Tn. . 对任何正整数 n ,等式 S n ? ?a n ? (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)求 Tn ; (3)设 An ? 2Tn ,Bn ? (2n ? 4)Sn ? 3, 比较 An 与Bn 的大小.

1 (n ? 3) 都成立. 2

解(1)当 n ? 1时,由 S n ? ?an ? 解得 a1 ? ? .

1 1 (n ? 3)得S1 ? a1 ? ?a1 ? (1 ? 3), 2 2

1 2

当 n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? ?a n ? 解得 an ?

1 1 ? ? (n ? 3) ? ?? an?1 ? (n ? 4)? , 2 2 ? ?

1 1 an?1 ? , 2 4
? ? 1? 2?

即 an ?

1 1 1 ? (an?1 ? ). 2 2 2

因此,数列 ?a n ? ? 是首项为 -1,公比为

1 的等比数列。 2

an ?

1 ?1? ? ?? 1? ? ? ? 2 ?2?

n ?1

,即 a n ?

1 1 ? n?1 ; 2 2

? 数列 ?an ?的通项公式为 an ?
(2)? nan ?

1 1 ? n?1 . 2 2

n 1 ? n ? n?1 , 2 2

1 1 1 1 ?Tn ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? (1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? n ? n?1 ). 2 2 2 2 1 1 1 令 U n? 1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? n ? n?1 , 2 2 2 1 1 1 1 1 1 则 U n ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n?1 ? n ? n . 2 2 2 2 2 2

?1? 1? ? ? 1 1 1 1 1 ? 2? ? n? 1 上两式相减: U n ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 1 2 2 2 2 2n 2 1? 2
即U n ? 4 ?

n

n?2 . 2 n?1

? Tn ?

n(n ? 1) n ? 2 n 2 ? n ? 16 n ? 2 ? 4 ? n ?1 ? ? n ?1 . 4 4 2 2

(3)? S n ? ?an ?

n?3 1 1 n?3 n?4 1 ? ? ? n?1 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2 2

? An ? Bn ?

n 2 ? n ? 16 n ? 2 (2n ? 4)(n ? 4) n ? 2 ? n?2 ? ? n?2 ? 3 2 2 2 2 ? n 2 ? 5n ? 6 . 2

?

? 当n ? 2或n ? 3时,

? n 2 ? 5n ? 6 的值最大,最大值为 0, 2

? An ? Bn ? 0.
因此,当 n 是正整数时, An ? B n .

题组一(1 月份更新)
一、选择题 1.(2009 临沂一模)在等差数列{an}中,若 a2+a4+a6+a8+a10=80,则 a7 ? A、4 答案 C 2. ( 2009 杭 州 学 军 中 学 第 七 次 月 考 ) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 通 项 公 式 为 an ? 2n ?1 , 在 B、6 C、8 D、10

1 a8 的值为 2

a1与a2之间插入1个2,在 a2与a3之间插入2个2 ,?,在 an与an?1之间插入n个2 ,?,
构成一个新的数列 ?bn ? ,若 a10 ? bk ,则 k = A、45 答案 C 3.(2009 青岛一模)已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ? d ? 0 ? ,且 a3 ? a6 ? a10 ? a13 ? 32 ,若 B、50 C、55 D、60 ( )

am ? 8 ,则 m 为
A. 12 答案 B[高考学习] 4.(2009 嘉兴一中一模)各项都是正数的等比数列 {an } 中, a 2 , B. 8 C. 6 D. 4

1 a3 , a1 成等差数列,则 2

a 4 ? a5 的值为( a3 ? a 4
(A) 答案 B



5 ?1 2

(B)

5 ?1 2

(C)

1? 5 2

(D)

5 ?1 5 ?1 或 2 2

5.(2009 汕头一模)记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 A. - 3 答案 D B·5 C 一 31 D. 33

S10 等于() S5

6.(2009 宣威六中第一次月考)设数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 an ? 5Sn ? 3(n ? N? ) ,那么

lim(a1 ? a3 ??? a2n?1 ) ? ( C
n??



A.

1 5

B. ?

1 5

C.

4 5

D.

3 4

答案 C 7.(2009 日照一模)设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若

a5 5 S9 = ,则 等于 a3 9 S5

A1 答案 A

B.-1

C.2

D.

1 2

8. (2009 玉溪市民族中学第四次月考) 数列 {an }满足: an ? 2an?1 ? 0(n ? 2), a1 ? 1, 则a2与a4 的等差中项是 A.-5 答案 B B.5 ( ) C.-10 D.10

二、填空题 1.(2009 冠龙高级中学 3 月月考)若数列 ?an ?中, a n ? 项的最小值为_________。 答案 4 2.(2009 韶关一模)在由正数组成的等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 1, a3 ? a4 ? 4, 则 a5 ? a6 ? ___. 答案 16 3. ( 2009 闵 行 三 中 模 拟 ) 已 知 ?an ? 是 等 比 数 列 , a2 ? 2,a5 ?

n 2 ? 12 , n ? N * ,则数列 ?an ?中的 n?2

1 , 则 4

a1a2 ? a2 a3 ? ?? an an?1 =



答案

32 ( 1 ? 4? n ) 3
.

n 4. (2009 上海九校联考) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n ? 2 ? 1 , a8 ? 若 则

答案 128 5.(2009 金华一中 2 月月考)将正奇数排列如下表其中第 i 行 第 j 个数表示 a ij (i ? N * , j ? N * ) ,例如 1 3 7 . 13 15 9 ?? 5 11 17 19

a32 ? 9 ,若 aij ? 2009 ,则 i ? j ?
答案 60

三、解答题 1.(2009 上海卢湾区 4 月模考)已知数列 {an } 的前 n 项和为 An ,且对任意正整数 n ,都满足:

tan ?1 ? An ,其中 t ? 1 为实数.
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn 为杨辉三角第 n 行中所有数的和,即

0 1 n bn ? Cn ? Cn ?? ? Cn , Bn 为杨辉三角前 n 行中所有数的和,亦即为数列 ?bn ? 的前 n 项和,

求 lim
n??

An 的值. Bn

解: (1) 由已知 tan?1 ? 1 ? An?1 , tan ? 1 ? An ,相减得 tan?1 ? tan ? an?1 ,由 t ? 1 ? 0 得

1 1 t an ?1 t ,又 ta1 ?1 ? a1 ,得 a1 ? ,故数列 {an } 是一个以 a1 ? 为首项,以 q ? ? t ?1 t ?1 t ?1 an t ?1
为公比的等比数列. 从而 an ? (4 分)
n ?1

1 ? t ? ?? ? t ?1 ? t ?1 ?

1? t ? ? ? ? t ? t ?1 ?
n

n

n? N* ;

(6 分)

? t ? (2) An ? tan ? 1 ? ? ? ?1 , ? t ?1 ?
0 1 n n 又 bn ? Cn ? Cn ?? ? Cn ? 2 ,故 Bn ? 2 2n ? 1 ,

(7 分)

?

?

(11 分)

? t ? ? ? ?1 An ? t ?1? ? lim n ?1 于是 lim , n ?? B n ?? 2 ?2 n


n

t A 1 ? 2 ,即 t ? 2 时, lim n ? , n?? B t ?1 2 n t A ? 2 ,即 t ? 2 时, lim n ? 0 , n ?? B t ?1 n t A ? 2 ,即 1 ? t ? 2 时, lim n 不存在. n?? B t ?1 n
(14 分)





2.(2009 临沂一模)已知单调递增的等比数列 {an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项。 (I) (II) 求数列{an}的通项公式; 若 bn= an log 1 an ,sn=b1+b2+┉+bn,求 sn+n? 2n?1 >50 成立的正整数 n 的最小
2

值。 解:(I)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q, 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4, 代入 a2+a3+a4=28, 得 a3=8,

∴a2+a4=20┉┉┉┉┉┉┉┉2 分

1 ? ?a1q ? a1q3 ? 20 ? q ? 2 ?q ? ? ∴? 解之得 ? 或? 2 ┉┉┉┉┉┉┉┉4 分 2 ?a3 ? a1q ? 8 ?a1 ? ? ?a1 ? 32 ?
又{an}单调递增,∴q=2,a1=2,

∴an=2

n

┉┉┉┉┉┉┉┉6 分
n n n 2

(II) bn ? 2 ? log 1 2 ? ?n ? 2 , ┉┉┉┉┉┉┉┉7 分

∴ ? sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ... ? n ? 2n

① ②

∴ ?2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ... ? ( n ? 1) ? 2 n ? n2 n ?1
? ? 2 ∴ ① - ②得 sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ... n ? n ? n2 1 ?

n 2(1? 2 ) ? ? n ? n2 1= 2n ?1 ? n ? 2n ?1 ? 2 ┉ 1? 2

10 分 ∴ sn ? n ? 2n ?1 ? 50, 即 2n?1 ? 2 ? 50,?2n?1 ? 52
又当 n≤4 时, 2 当 n≥5 时, 2
n?1

? 25 ? 32 ? 52 , ┉┉┉┉┉┉┉┉11 分

n?1

? 26 ? 64 ? 52 .

n ?1 故使 sn ? n ? 2 ? 50, 成立的正整数 n 的最小值为 5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉12 分

3. ( 2009

杭 州 高 中 第 六 次 月 考 ) 已 知 数 列 {a n },{bn } 中 ,

a1 ? b1 ? 1, a n ?1 ? b n ? n, b n ?1 ? a n ? (?1) n , n ? N*
(1)求 a 3 ,a 5 的值;
2 (2)求证: a 2n ? n ? n

(3)求

1 1 1 1 的值. ? ? ... ? a2 a4 a6 a 2n

(1)

a3 ? 2 a5 ? 5 ------------------------4 分
a n ?1 ? b n ? n, b n ?1 ? a n ? ( ?1) n ,
可得

(2)由

a n ?1 ? a n ?1 ? n ? (?1) n


------------------------6 分 以
? 2 ------------------------8 分

a4 ?

a ?

将上述式子相加得

a 2n ? a 2 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ... ? 2n ?

(n ? 1)(2n ? 4) 2

a 2n ? n 2 ? n

(或者用数学归纳法证明)------------------------10 分

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? .......................12分 (3) a2 a4 a6 a 2n 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) 1 1 1 1 1 1 n ? 1 ? ? ? ? ... ? ? ? 1? ? ..........................14分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
n ? 4.(2009 青岛一模)已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2 ? 3 ? k ( k ? R, n ? N )

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 an ? 4(5 ? k ) n n , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,试比较 3 ?16Tn 与
a b

4(n ?1)bn?1 的大小,并证明你的结论.
n ? 解: (Ⅰ)由 S n ? 2 ? 3 ? k ( k ? R, n ? N ) 得: n ? 2 时,

an ? S n ? S n ?1 ? 4 ? 3n ?1 ?????????2 分

??an ? 是等比数列,?a1 ? S1 ? 6 ? k ? 4 ?k ? ?2 ,得 an ? 4 ? 3n ?1 (n ? N ? ) ??4 分
(Ⅱ)由 an ? 4(5 ? k )
an bn n ?1 和 an ? 4 ? 3 得 bn ?

n ?1 ????????6 分 4 ? 3n?1

?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ?1 ? bn ?

1 2 n?2 n ?1 ? ??? ? ? (1) 2 n?2 4?3 4?3 4 ?3 4 ? 3n ?1 1 2 3 n?2 n ?1 3Tn ? ? ? ??? ? ??? (2) 2 n ?3 4 4?3 4?3 4 ?3 4 ? 3n ? 2

1 1 1 1 1 n ?1 ? ? ? ?? ? ? 2 n ?3 n ?2 4 4?3 4?3 4?3 4 ?3 4 ? 3n?1 1 1 1 1 1 n ?1 3 2n ? 1 ??10 分 [高考学 习 ?Tn ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 n ?3 n ?2 n ?1 8 8?3 8?3 8?3 8?3 8?3 16 16 ? 3n?1 ?(2) ? (1) : 2Tn ?
网]

4(n ? 1)bn?1 ? (3 ? 16Tn ) ?

n(n ? 1) 2n ? 1 n(n ? 1) ? 3(2n ? 1) ? n?1 ? 3n 3 3n

?n(n ?1) ? 3(2n ?1) ? n2 ? 5n ? 3 ?????????11 分
?当 n ?

5 ? 37 5 ? 37 或n? ? 0 时有 n( n ? 1) ? 3(2n ? 1),所以当 n ? 5 (n ? N? ) 时有 2 2

3 ? 16Tn ? 4(n ? 1) n?1 b
那 么 同 理 可 得 : 当

5 ? 37 5 ? 37 ? ? 时 有 n( n 1 ) ?n? 2 2

3 ( ? ,1)以 当 n2 所

? 1 ? n ? 5 (n ? N 时有 3 ?16Tn ? 4(n ?1)bn?1?????????13 分 ) ? 综 上 : 当 n ? 5 (n ? N )时 有 3 ? 1 Tn ? 6 ? n ? bn?1 ) 当 1 ? n ? 5 (n ? N )时 有 4( 1 ;

3 ? 1 Tn ? 6

n ? bn?1?????????14 分 4( 1 )

5.(2009 日照一模)已知数列 满足关系式

{an } 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n ? N ? ,

2Sn ? 3an ? 3.

(I)求数列

{an } 的通项公式;
bn ? 1 log3 an ? log3 an ? 1 ,前 n 项和为 Tn ,求证:对于任意

(Ⅱ)设数列

{bn }的通项公式是 Tn ? 1

的正整数 n ,总有

?2Sn ? 3an ? 3, ? 2S ? 3an?1 ? 3(n ? 2). 解: (I)由已知得 ? n ?1
故 即

2(Sn ? Sn?1 ) ? 2an ? 3an ? 3an?1 an ? 3an?1 (n ? 2) {an } 为等比数列,且 q ? 3 2a1 ? 3a1 ? 3,?a1 ? 3
????????????6 分

故数列

又当 n ? 1 时,

? an ? 3n ( n ? 2)


a1 ? 3 亦适合上式
?????????????8 分

? an ? 3n (n ? N ? )

bn ?
(Ⅱ) 所以

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? …? bn
1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1
? 1? 1 ?1 n ?1
????????????12 分

6.(2009 昆明市期末)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=a,Sn+1=2Sn+n+1,n∈N* (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)当 a=1 时,若 bn ? (Ⅰ)由 Sn+1=2Sn+n+1

n , 设数列{bn}的前 n 项和 Tn,n∈N*,证明 Tn<2。 a n ?1 ? a n
①得 ②

Sn ? 2Sn?1 ? (n ?1) ? 1(n ? 2).
①—②得

Sn?1 ? Sn ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? n ? (n ?1).
故 又 所以 an+1=2an +1。 (n≥2)················· 分) ·················(2 an+1+1=2(an+1) ,

an?1 ? 1 ? 2(n ? 2). an ? 1

故数列{an+1}是从第 2 项其,以 a2+1 为首项,公比为 2 的等比数列。 又 故 S2=2S1+1+1,a1=a,所以 a2=a+2。 an=(a+3)·2n-2-1(n≥2).

又 a1=a 不满足 an=(a+3)·2n-2-1, 所以 an ? ?

?a ?(a ? 3) ? 2
n?2

n ?1
?1

n?2

·················· 分 ··················6

(Ⅱ)由 a1=1,得 an==2n-1,n∈N*,则

bn ?

(2

n ?1

n n n ? n?1 ? n. n n ? 1) ? (2 ? 1) 2 ? 2 2
① ②

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3? 3 ? ? ? ? ? n ? n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 得 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n?1 2 2 2 2 2
又 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? ?bn ,即Tn ? ①—②得

1 1 1 1 1 Tn ? ? 2 ? ? ? ? ? n ? n?1 . 2 2 2 2 2
1 1 (1 ? ) 2 2n 1 n ? n ?1 故 Tn ? 1 2 2 . 1? 2
所以 Tn ? 2 ?

1 n n?2 ················12 分 ? n ? 2 ? n <2. ················ n ?1 2 2 2
Sn An ? 1 ,且 ? Tn 2n ? 7

7. ( 2009 东 莞 一 模 ) 设 等 差 数 列 {an } , bn } n 项 和 Sn ,Tn 满 足 { 前

a3 a 2 ? 7 ? ,S2=6;函数 g ( x) ? 1 ? x ?1? ,且 cn ? g(cn?1)(n ? N, n ? 1), c1 ? 1. b4 ? b6 b2 ? b8 5 2
(1)求 A;

(2)求数列 {an }及 cn }的通项公式; { (3)若 d n ? ?

?an (n为奇数) , 试求d1 ? d 2 ? ? ? d n . ?cn (n为偶数)
a 2 a 2
a 1 ? a9 ?9 S a 2 2 而 9 ? ? 5 ? T9 b1 ? b9 b5 5 ?9 2

3 7 5 解: (1)由 b ? b ? b ? b ? 5 知 : b ? 5 4 6 2 8 5

a

?

9A ?1 2 ? 2?9 ? 7 5

解得 A=1??????????????2 分

(2)令 S n? kn(n ? 1)

? S 2 ? 6, 得k ? 1, 即S n ? n 2 ? n

2 2 当 n=1 时,a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n +n ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 2n

?

?

综合之:an=2n????????????????6 分

1 1 (cn?1 ? 1)变形得: cn ? 1 ? (cn?1 ? 1) 2 2 1 ∴数列{cn+1}是 为公比,以 c1 ? 1 ? 2 为首项的等比数列。 2 1 1 cn ? 1 ? 2 ? ( ) n?1即cn ? ( ) n?2 ? 1 ?????????9 分 2 2
由题意 cn ? (3)当 n ? 2k ? 1 , d1 ? d 2 ? ?? dn ? (a1 ? a3 ? ?a2k ?1 ) ? (c2 ?c 4 ??? c2k ) 时 考学习] [高

4 1 4 1 ? 2(k ? 1)2 ? [1 ? ( )k ] ? k ? 2k 2 ? 3k ? 2 ? [1 ? ( )k ] 3 4 3 4
? n2 ? n ? 2 4 1 ? [1 ? ( ) n ?1 ] ?????????11 分 2 3 2

当 n ? 2k时, d1 ? d 2 ? ?? d n ? (a1 ? a3 ? ?a2k ?1 ) ? (c2 ?c 4 ??? c2k )

4 1 n2 ? n 4 1 ? 2k 2 ? k ? [1 ? ( ) k ] ? ? [1 ? ( ) n ] ???13 分 3 4 2 3 2

?n2 ? n ? 2 4 1 ? [1 ? ( ) n ?1 ](n为正奇数 ) ? ? 2 3 2 综合之: d1 ? d 2 ? ? d n ? ? 2 ? n ? n ? 4 [1 ? ( 1 ) n ](n为正偶数 ) ? 2 3 2 ?
???14 分

8. (2009 泰安一模) 已知数列 a } a1 ? {a 中, (I) (II)

1 , (n aa?1 ? aa 在直线 y=x 上, 点 , 其中 n=1,2,3…. 2 ) 2

令 bn ? an?1 ? an?1 ,求证数列{b n }是等比数列; 球数列 {aa } 的通项

解: (I) a1 ?

1 3 3 1 3 , 2aa?1 ? aa ? n,? a2 ? , a2 ? a1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ,......1分 2 4 4 2 4 ba ? aa ?1 ? aa ? 1, ba ?1 ? aa ? 2 ? aa ?1 ? 1........................................2分
an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? 1 2 2 ? 2 ? an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2

b a ? a ?1 ? n ?1 ? n ? 2 n ?1 ? bn an ?1 ? an ? 1

3 1 ?{bn }是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列。........ 分 5 4 2 3 1 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 ,......? am ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 ,................8分 2 2 2 2 3 1 3 1 (II)? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n ,? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? 2 2 2 2 3 1 n ?1 3 1 bn ? ? ? ( ) ? ? ? n ........................................................6分 4 2 2 2 将以上各式相加得: 3 1 1 1 ? a n ? a1 ? (n ? 1)= ? ( + 2 +...+ n-1 ), 2 2 2 2 1 1 (1 ? m ?1 ) 3 2 1 3 1 3 2 又? an ? a1 ? n ? 1 ? ? ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2
9. ( 2009 上 海 奉 贤 区 模 拟 考 ) 已 知 点 集 L ? {( x, y) | y ? m ? n} , 其 中 m ? (2 x ? b,1) ,
? ?

n ? (1, b ? 1) ,点列 Pn (an , bn ) 在 L 中, P1 为 L 与 y 轴的交点,等差数列 {an } 的公差为 1,

n? N? 。
(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2) f ( n) = 若 关于 n 的函数。 ( 3 ) 若 f (n) = , 给 定 常 数 m( m ? N * , m ? 2 ), 是 否 存 在 k ? N , 使 得
?

令 Sn ? f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (n) ; 试用解析式写出 S n ,

f (k ? m) ? 2 f (m) ,若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由。

(1)y=

·

=(2x-b)+(b+1)=2x+1

-----(1 分) -----(1 分) -----(1 分) -----(1 分)

y ? 2 x ? 1与 x 轴的交点 P (a1, b1 ) 为 (0,1) ,所以 a1 ? 0 ; 1
所以 an ? a1 ? (n ?1) ?1 ,即 an ? n ?1 , 因为 P (an , bn ) 在 y ? 2 x ? 1上,所以 bn ? 2an ?1 ,即 bn ? 2n ?1 n (2)设 f ( n) ? {

an (n ? 2k ? 1) * (k ? N ) , bn ( n ? 2k )
----(1 分)

即 f (n) ? {

n ? 1 (n ? 2k ? 1) * (k ? N ) 2n ? 1 (n ? 2k )

(A)当 n ? 2k 时, Sn ? S2k ? a1 ? b2 ? a3 ? b4 ? .... ? a2k ?1 ? a2k ? (a1 ? a3 ? ... ? a2k ?1 )

?(b2 ? b4 ? ... ? b2k )
=

----(1 分) ----(1 分) ----(1 分) ----(1 分) ----(1 分)

0 ? 2k ? 2 3 ? 4k ?1 n 3 ?k ? ? k = 3k 2 ,而 k ? ,所以 Sn ? n2 2 2 2 4

(B)当 n ? 2k ?1时, Sn ? S2k ?1 ? (a1 ? a3 ? ... ? a2k ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ... ? b2k ?2 )

0 ? 2k ? 2 3 ? 4k ? 5 ?k ? ? (k ? 1) = 3k 2 ? 4k ? 1 , 2 2 n ?1 3 n 1 而k ? ,所以 Sn ? n2 ? ? 2 4 2 4
=

?3 2 n 1 ? 4 n ? 2 ? 4 , n ? 2k ? 1 ? * 因此 Sn ? ? (k ? N ) 3 2 ? n ,    ,n ? 2k ?4 ?
(3)假设 k ? N ,使得 f (k ? m) ? 2 f (m) , (A) m 为奇数
?

----(1 分)

( 一 ) k 为 奇 数 , 则 k ? m 为 偶 数 。 则 f (m) ? m ? 1 , f (m ? k ) ? 2(m ? k ) ? 1 。 则

2 (m ? k )? 1? 2m ? ,解得: k ? ( 1)

1 * 与 k ? N 矛盾。 2

----(1 分)

( 二 ) k 为 偶 数 , 则 k ? m 为 奇 数 。 则 f ( m) ? 2 m ? 1 , f ( m ? k ) ? ( m ? k ) ? 1 。 则

(m ? k ) ? 1 ? 2(2m ? 1) ,解得: k ? 3m ?1 ( 3m ? 1是正偶数) 。
(B) m 为偶数

----(1 分)

? ( 一 ) k 为 奇 数 , 则 k ? m 为 奇 数 。 则 f ( m) ? m 1, f (m ? k ) ? (m ? k ) ? 1 。 则 (m ? k ) ? 1 ? 2 m ? ,解得: k ? m ?1( m ?1 是正奇数) ( 1) 。
----(1 分)

( 二 ) k 为 偶 数 , 则 k ? m 为 偶 数 。 则 f ( m) ? 2m? 1, f (m ? k ) ? 2(m ? k ) ? 1 。 则

1 2 (m ? k )? 1? 2 ( m ? ,解得: k ? m ? 与 k ? N * 矛盾。 2 1) 2

----(1 分)

由此得:对于给定常数 m( m ? N * , m ? 2 ),这样的 k 总存在;当 m 是奇数时, k ? 3m ?1 ; 当 m 是偶数时, k ? m ?1。 ----(1 分)

10.(2009 南华一中 12 月月考)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足:

? a ?1 ? Sn ? ? n ? ? 2 ?

2

(1) 求 a1 , a2 , a3 ; (2)求出数列 ?an ? 的通项公式(写出推导过程) ; (3) 设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和。 an an ?1
2

? a ?1 ? ? a1 ? 1 ? 解: (1)由 Sn ? ? n ? 解得 a1 ? 1 ???????1 分 ? 得 a1 ? S1 ? ? ? 2 ? ? 2 ?
2

由 1 ? a2 ? S2 ? ?

? a2 ? 1 ? ? 解得 a2 ? 3 ??????????????2 分 ? 2 ?
2 2

? a ?1 ? 由 1 ? 3 ? a3 ? S3 ? ? 3 ? 解得 a3 ? 5 ?????????????3 分 ? 2 ?
(2)当 n ? 1 时 a1 ? 1

? a ? 1 ? ? an ?1 ? 1 ? 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ? n ? ?? ? ?????4 分 ? 2 ? ? 2 ?
2 2

整理得: ? an ?1? ? ? an?1 ?1?
2

2

化简得: an ? an?1 ? 2

?????????????????????6 分

所以 ?an ? 是公差为 2,首项为 1 的等差数列, 即 an ? a1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1???????????????????7 分 (3) bn ?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ??????9 分 an an ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

Tn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ?? 1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 ? ? 2 ?? ? ? ? ? ??

1? 1 ? n ??????????????????12 分 ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

11.(2009 枣庄一模)设数列

{a n }满足 a1 ? a, a n ?1 ? can ? 1 ? c(n ? N * ), 其中 a, c为实数 , 且c ? 0.
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 a ?

1 1 , c ? , bn ? n(1 ? an )(n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前n项和Sn . 2 2

解: (1)?an?1 ? can ? 1 ? c, an?1 ?1 ? c(an ?1),

?当a1 ? a ? 1 ,{an ?1} 是首项为 a ? 1, 公比为c 的等比数列 时
? a n ? 1 ? (a ? 1)c n ?1 , 即a n ? (a ? 1)c n ?1 ? 1.
当 a ? 1 , an ? 1 仍满足上式。 时 4分

2分

? 数列{a n }的通项公式为 a n ? (a ? 1)c n ?1 ? 1(n ? N * )
注:未考虑 a ? 1 ? 0 的情况,扣 1 分。 (2)由(1)得,当 a ?

1 1 , c ? 时, 2 2 1 1 bn ? n(1 ? an ) ? n{1 ? [1 ? ( ) n ]} ? n( ) n . 8 分 2 2 1 1 1 1 ? S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? ? ? n ? ( ) n . 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n?1 Sn ? ( ) ? 2 ? ( ) ? ? ? n ? ( ) . 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n 1 n?1 两式作差得 S n ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) . 2 2 2 2 2

Sn ? 1 ?

1 1 2 1 1 ? ( ) ? ? ? ( ) n?1 ? n ? ( ) n 2 2 2 2

1 1 ? ( )n 2 ? n ? ( 1 ) n ? 2 ? (1 ? 1 ) ? n . ? 1 2 2n 2n 1? 2 n?2 ? S n ? 2 ? n . 12 分 2 12.(2009 冠龙高级中学 3 月月考)由函数 y ? f ? x? 确定数列 ?an ? , an ? f ? n ? ,函数

y ? f ? x? 的反函数 y ? f ?1 ? x ? 能确定数列 ?bn ? , bn ? f ?1 ? n ? ,若对于任意 n ? N * ,都有
。 an ? bn ,则称数列 ?bn ? 是数列 ?an ? 的“自反数列” (1)若函数 f ? x ? ?

px ? 1 确定数列 ?an ? 的自反数列为 ?bn ? ,求 ?an ? 的通项公式; x ?1
n 1 1 1 ? ?? x1 x 2 xn
为正数数列 ? xn ? 的调和平均数,若 d n ?

(2)在(1)条件下,记

2 ? 1 , Sn an ? 1

为数列 ?d n ? 的前 n 项和, H n 为数列 ? S n ? 的调和平均数,求 lim
n??

Hn ; n

(3)已知正数数列 ?Cn ? 的前 n 项之和 Tn ?

1? n ? ? Cn ? ? 。求 Tn 的表达式。 2? Cn ?

解:(1)由题意的:f –1(x)=

1? x px ? 1 ? n ?1 ? n ?1 = f(x)= ,所以 p = –1,所以 an= (2) an= , x? p x ?1 n ?1 n ?1

dn=

2 ? 1 =n, an ? 1

Sn 为数列{dn}的前 n 项和,Sn=

n(n ? 1) ,又 Hn 为数列{Sn}的调和平均数, 2
n
= (n ? 1) 2

Hn=

n 1 1 1 ? ?? S1 S 2 Sn

=

2 2 2 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

H n ?1 1 = l i m n = lim n ?? 2n n?? n 2

(3)因为正数数列{cn}的前 n 项之和 Tn=

n 1 (cn+ ), cn 2

所以 c1=

1 1 (c1+ ),解之得:c1=1,T1=1 c1 2 n , Tn ? Tn?1

当 n≥2 时,cn = Tn–Tn–1,所以 2Tn = Tn–Tn–1 +

Tn +Tn–1 =

n 2 2 ,即: Tn ? Tn ?1 = n, Tn ? Tn?1

2 2 2 2 所以, Tn ?1 ? Tn ? 2 = n–1, Tn ? 2 ? Tn ?3 = n–2,……, T22 ? T12 =2,累加得:

Tn2 ? T12 =2+3+4+……+ n,

Tn2 =1+2+3+4+……+ n =

n(n ? 1) n(n ? 1) ,Tn= 2 2

2 13.(2009 番禺一模)设数列 ?an ? 对一切正整数 n 均有 an ? 2an ?1 ? 1 ,且 an ? 0 ,如果

? a1 ? cos2? , ? ? (0, ] . 8
(1)求 a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? (n ?N? ) 的通项公式; (3)设数列 ?an ? 前 n 项之积为 Tn ,试比较 Tn 与

2

?

的大小,并证明你的结论.

2 2 2 2 (1)依题意: cos 2? ? 2a2 ? 1 ,则 2a2 ? cos ? ? 1 ? , a2 ? cos ?

而 ? ? (0,

?
8

] ,又 an ? 0 ,所以 a2 ? cos ? ,

??????1 分 ??????2 分 ??????4 分 ??????5 分

同样可求得 a3 ? cos (2)猜测 an ? cos

?
?
2

, , (n ? N * )

2n ? 2

①用数学归纳法证明:显然 n ? 1 时猜想正确, ②假设 n ? k (k ? N*) 时猜想成立,即 ak ? cos
2 则 n ? k ?1 时, ak ? 2ak ?1 ? 1 , cs ∵ ∴o

?
2k ? 2



?
2
k ?2

即 ? ak ?11? , 2cos2 2 2

?
2
k ?1

2 而 ? 2ak ?1 , an ? 0

故 ak ?1 ? cos

?
2k ?1

? cos

?
2( k ?1)?2

,

??????6 分

这就是说 n ? k ?1 猜想也成立,故对任意正整数 n 都有 an ? cos (3) Tn ? 证明:

?
2n ? 2

. ??????7 分 ?????9 分

2

? ? ? (0, ] ,
8

?

则 cos 2? ? cos 则 Tn ? cos

?
4

,cos ? ? cos
cos

?
2
3

, ???,cos

?
2
n?2

? cos

?
2n?1

? 0,

???10 分

?
4

cos

?
3

?
2
4

2

? ? ??? cos

?
2n?1

∴ Tn ?

2n cos

?
2
2

cos

?
2
n 3

cos

?
2
4

? ?cos ???

?
2
n ?1

2 sin
设 g ( x) ? sin x ? x , x ? (0, 即 g ( x) 为 (0,

?

?
n

sin 2 sin

?
2

?

?
n

1 2 sin

?
2n ?1

???11 分

2n ?1

2n ?1

?
2

) ,则 g ?( x) ? cos x ? 1 ? 0 ,

) 上的减函数,∴ g ( x) ? g (0) ,故 x ? (0, ) 时, sin x ? x , ??12 分 2 2 ? ? ? ? 而 n?1 ? (0, ) ,∴ 0 ? sin n ?1 ? n ?1 , 2 4 2 2 ? ? ∴ 0 ? 2n sin n?1 ? 2n ? n?1 ???13 分 2 2 ? ? ∴ 0 ? 2n sin n?1 ? , , 2 2 2 1 2 ? ,即 Tn ? . 则 14 分 ? ? n ? 2 sin n ?1 2 1 1 14.(2009 深圳一模理)已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? , f ?( x) 为函数 f ( x ) 的导函数. 2 4
(Ⅰ) 若数列 {an } 满足:a1 ? 1 ,an?1 ? f ?(an ) ? f ?(n)( n ? N ) 求数列 {an } 的通项 an ; ,
?

?

?

(Ⅱ)若数列 {bn }满足: b1 ? b , bn?1 ? 2 f (bn ) ( n ? N ) . (ⅰ)当 b ?

?

1 时,数列 {bn }是否为等差数列?若是,请求出数列 {bn }的通项 bn ;若不 2

是,请说明理由; (ⅱ)当
n 1 1 2 . ? b ? 1 时, 求证: ? ? 2 2b ? 1 i ?1 bi

解: (Ⅰ)? f ?( x) ? 2 x ?

1 , 2

??????????1 分

1 1 ? an?1 ? (2an ? ) ? (2n ? ) ? 2an ? 2n ?1 , 2 2
即 an?1 ? 2(n ?1) ?1 ? 2(an ? 2n ?1) ??????????3 分

? a1 ? 1 ,

? 数列 {an ? 2n ?1} 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列.

? an ? 2n ? 1 ? 4 ? 2n ?1 ,即 an ? 2n ?1 ? 2n ? 1 .
(Ⅱ) (ⅰ)? bn?1 ? 2 f (bn ) ? 2bn ? bn ?
2

??????????5 分

1 , 2

1 ?bn?1 ? bn ? 2(bn ? )2 . 2 1 1 ? 当 b1 ? 时, b2 ? . 2 2 1 假设 bk ? ,则 bk ?1 ? bk . 2
由数学归纳法,得出数列 {bn }为常数数列,是等差数列,其通项为 bn ? (ⅱ)? bn?1 ? 2bn 2 ? bn ?

1 .?8 分 2

1 1 , ?bn?1 ? bn ? 2(bn ? )2 . 2 2 1 1 ? 当 ? b1 ? 1 时, b2 ? b1 ? . 2 2 1 1 假设 bk ? ,则 bk ?1 ? bk ? . 2 2 1 由数学归纳法,得出数列 bn ? (n ? 1, 2, 3, ? ) .?????10 分 2 1 1 又? bn?1 ? ? 2bn (bn ? ) , 2 2
1 1 1 ? ? , 1 1 bn?1 ? 2 bn ? 2 bn 1 1 1 . ? ? 1 bn bn ? 2 bn?1 ? 1 2
??????????12 分

?



??
i ?1

n

n 1 1 1 1 1 . ? ? ?( ? )? 1 1 1 b1 ? 2 bn?1 ? 1 bi i ?1 bi ? 2 bi ?1 ? 2 2

? bn?1 ?

1 , 2
??????????14 分

??

1 1 2 . ? ? b1 ? 1 2b ? 1 i ?1 bi 2

n

2009 年联考题
一、选择题 1.(北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理)已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R, x ? 0 时, 当

f ( x) ? 1 ,且对任意的实数 x, y ? R,等式 f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) 成立.若数列 {an } 满足

a1 ? f (0) ,且 f (an ?1 ) ?

1 ( n?N*),则 a2009 的值为( f (?2 ? an )

)

A. 4016 答案 B

B.4017

C.4018

D.4019

2.(2009 厦门乐安中学)在等差数列 {an } , 前n项和为 n , 若a7 ? 5, S7 ? 21 那么 10等于 中 S , S ( ) A.55 答案 B 3. (湖北省 2009 年 3 月高三八校第二次联考理科) 等差数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和, B.40 C.35 D.70

a1 ? 2008 ,

S 2007 S 2005 ? ? 2 ,则 S2008 的值为( 2007 2005



? A? ? 2006
答案 C

? B? 2006

?C ? ? 2008

? D? 2008

4.(2009 宁乡一中第三次月考)等差数列 {an } 中, a10 ? 0 , a11 ? 0 ,且 | a10 |?| a11 | , S n 为 其前 n 项之和,则( )

A. S1, S2 ,?, S10 都小于零, S11, S12 ,?都大于零 B. S1, S2 ,?, S5 都小于零, S6 , S7 ,?都大于零 C. S1, S2 ,?, S19 都小于零, S20 , S21 ,? 都大于零 D. S1, S2 ,?, S20 都小于零, S21 , S22 ,? 都大于零 答案 C

5.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 数列 {an }满足a1 ? 1, an?1

1 m 2 2 ? 4 ? 1, 记S n ? a12 ? a2 ?? ? an , 若 S2n?1 ? Sn ? 对任意 2 30 an
( C.8 D.7 )

n? N * 恒成立,则正整数 m 的最小值
A.10 答案:A. 6.(抚顺一中 2009 届高三第一次模拟) 数列{an}满足 a1+ 3·a2+ 3 ·a3+?+ 3 ·an= A
2 n-1

B.9

n ,则 an= 2

n 3n

B

1 2n

C

1 2 ? 3n ?1

D

1 3 ? 2 n ?1

答案:C. 7.(抚州一中 2009 届高三第四次同步考试) 已知数列{an}满足 an+1=an–an–1(n≥2) a1=a,a2=b,记 Sn=a1+a2+a3+?+an,则下列结论正确的 , 是 A.a2008= – a,S2008=2b – a C.a2008= – b,S2008=b – a 答案:A. 二、填空题 8.(北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试文)对于集合 N={1, 2, 3,?, n}的每一个非空集, 定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、 加后继的数.例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是 9–6+4–2+1=6,集合{5}的交替和为 5.当集合 N 中的 n =2 时,集合 N={1, 2}的所有非空子集为{1},{2},{1, 2},则它的“交 替和”的总和 S 2 =1+2+(2–1)=4,则当 n ? 3 时, S3 = ______________ ;根据 S 2 、 S3 、 S 4 , 猜想集合 N ={1, 2, 3,?, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 S n =__________. 答案 12
n ?1 , n?2

B.a2008= – b,S2008=2b – a D.a2008= – a,S2008=b – a

9.(2009 广州一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N* 都有 Sn = 答案

2 1 a n ? ,且 1<Sk<9,则 a1 的值为______,k 的的值为________. 3 3

-1,4

10.(湖北省孝感市 2009 届高三 3 月统考理) 如图,以 O? 0,0? 、 A?1,0? 为顶点作正 ?OAP , 1 再以 P1 和 P A 的中点 B 为顶点作正 P BP2 ,再 1 1 以 P2 和 P2 B 的中点 C 为顶点作正 P2 CP3 ,?, 如此继续下去。有如下结论: ①所作的正三角形的边长构成公比为

1 的等比数列; 2

②每一个正三角形都有一个顶点在直线 AP2 ( x ? 1 )上;

? 63 21 3 ? ③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点 P 的坐标是 ? , 6 ? 64 64 ? ; ? ? ?
④第 n 个正三角形的不在第 n ? 1 个正三角形边上的顶点 P 的横坐标是 xn ,则 lim xn ? 1 . n
n ??

其中正确结论的序号是_____________.(把你认为正确结论的序号都填上) . 答案 ①②③④

n 11.(2009 江西师大附中)设等比数列{an}的前 n 项和 Sn ? 2 ? a ,等差数列{bn}的前 n 项和

Tn ? n 2 ? 2n ? b ,则 a+b=
答案 -1



12.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 已知方程 x2 ? mx ? 2 |m-n|= 答案:

?

?? x

2

1 ? nx ? 2? ? 0 的四个根组成一个首项为 的等比数列,则 2



3 . 2

三、解答题 13.(2009 龙岩一中第 6 次月考)某企业 2008 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因, 企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造, 预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的 情况下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1+

1 )万元(n 为正整数). 2n

(Ⅰ)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术改 造后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金) ,求 An、Bn 的表达式; (Ⅱ)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不 进行技术改造的累计纯利润? 解: (Ⅰ)依题意知,数列 An 是一个以 500 为首项,-20 为公差的等差数列,所以

An ? 480n ?

n(n ? 1) ? (?20) ? 490n ? 10n2 , 2

1 1 1 Bn ? 500(1 ? ) ? 500(1 ? 2 ) ? ? ? 500(1 ? n ) ? 600 = 500n ? 500( 1 ? 12 ? ? ? 1n ) ? 600 2 2 2 2 2 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 2 2 ? 600 500n ? 500 ? 100 = 500n ? 500 ? = 1 2n 1? 2
(Ⅱ)依题意得, Bn ? An ,即 500n ?

500 ? 100 ? 490n ? 10n2 , 2n

50 ? n2 ? n ? 10 , n 2 50 ? 可设 f (n) ? n , g(n) ? n2 ? n ?10 2
可化简得 又? n ? N ? ,? 可设 f (n) 是减函数, g (n) 是增函数,又

f (3) ?

50 50 ? g (3) ? 2, f (4) ? ? g (4) ? 8 8 16
3x ? 2 ? 1? , ? x ? ?. 2x ?1 ? 2?

则 n ? 4 时不等式成立,即 4 年 14.(2009 韶关一模)已知函数 F ? x ? ?

(I)求 F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ??F? ? ? ... ? F ? ?; ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

(II)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? F ? an ? ,求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 求证: a1a2 a3 ...an ?

2n ? 1 .

解:( ? )因为 F ? x ? ? F ?1 ? x ? ?

3x ? 2 3 ?1 ? x ? ? 2 ? ?3 2 x ? 1 2 ?1 ? x ? ? 1

所以设 S= F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ??F? ? ? ... ? F ? ? ; ..........(1) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2008 ? ? 2007 ? ? 1 ? ??F? ? ? ... ? F ? ? ???.(2) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

S= F ? (1)+(2)得:

? ? 1 ? ? ? 2008 ? ? 2008 ? ? ? ? 2 ? ? 2007 ? ? ? 1 ?? 2S ? ? F ? ?? F? ?? ? ?F ? ??F? ? ? ? ... ? ? F ? ??F? ?? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? ? 2009 ?
= 3? 2008 ? 6024 , 所以 S=3012

( ?? )由 an ?1 ? F ? an ? 两边同减去 1,得

an?1 ? 1 ?
1

3an ? 2 a ?1 ?1 ? n 2an ? 1 2an ? 1
? 2an ? 1 2 ? an ? 1? ? 1 1 ? ? 2? , an ? 1 an ? 1 an ? 1

所以

an ?1 ? 1

所以

? 1 ? 1 1 ? 2, ? ? 1 为首项的等差数列, ? 是以 2 为公差以 an ?1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 ? an ? 1?
1 ?
1 1 2n ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 ? an ? 1 ? ? an ? 1 2n ?1 2n ?1

所以

? ??? ? 因为 ? 2n?2 ? ? 2n?2 ?1 ? ? 2n ?1?? 2n ?1?
所以

2n 2n ? 1 2 3 4 5 2n 2n ? 1 ? ? ? , ? ,... ? 2n ?1 2n 1 2 3 4 2n ?1 2n

所以 a1a2 a3 ...an ?

? a1a2a3...an ?

2

?

2 2 4 4 2n 2n ? ? ? ...... ? 1 1 3 3 2n ?1 2n ?1

>

2 3 4 5 2n 2n ? 1 ? ? ? ...... ? ? 2n ? 1 1 2 3 4 2n ?1 2n

15.(2009 聊城一模)过点 P(1,0)作曲线 C : y ? x k ( x ? (0,??), k ? N ? , k ? 1) 的切线, 切点为 M1,设 M1 在 x 轴上的投影是点 P1。又过点 P1 作曲线 C 的切线,切点为 M2,设 M2 在 x 轴 上的投影是点 P2,?。依此下去,得到一系列点 M1,M2?,Mn,?,设它们的横坐标 a1,a2,?, an,?,构成数列为 ?an ?。 (1)求证数列 ?an ?是等比数列,并求其通项公式; (2)求证: an ? 1 ?

n ; k ?1
n , 求数列?bn ?的前 n 项和 Sn。 an

(3)当 k ? 2时, 令bn ?

k ?1 k 解: (1)对 y ? x k 求导数,得 y ? kx , 切点是 M n (a n , a n ) 的切线方程是 k k y ? a n ? kan ?1 ( x ? a n )

当 n=1 时,切线过点 P(1,0) ,即 0

? a1k ? ka1k ?1 (1 ? a), 得a1 ?

k ; k ?1

当 n>1 时,切线过点 pn?1 (an?1 ,0) ,即 0

k k ? an ? kan ?1 (an?1 ? an ), 得

an k ? . an?1 k ? 1

所以数列 ?an ? 是首项a1 ?

k k , 公比为 的等比数列 , k ?1 k ?1 k n 所以数列 ?an ? 的通项公式为 n ? ( a ) ,n? N? k ?1
(2)应用二项公式定理,得

k n 1 n 1 1 2 1 n 0 1 2 n ) ? (1 ? ) ? Cn ? Cn ? Cn ( ) ? ? ? Cn ( ) k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 n ? 1? .????? (8分) k ?1 an ? (
(3)当

n 1 2 3 n .数列?bn ? 的前项n项和S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , n 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 n 同乘以 , 得 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 . 2 2 2 2 2 2 k ? 2时, an ? 2 n , bn ?
两式相减,得

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 2 1 n 2 ? n ? 1? 1 ? n S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 2 n?1 2 n 2 n ?1 1? 2 n?2 所以 S n ? 2 ? 2n
16.(2009 闵行三中模拟)已知点列 B1(1,y1)、B2(2,y2)、?、Bn(n,yn)(n∈N)顺次为一次函
1 数 y ? 1 x ? 12 图像上的点,点列 A1(x1,0)、A2(x2,0)、?、An(xn,0)(n∈N)顺次为 x 轴正半 4

轴上的点,其中 x1=a(0<a<1) ,对于任意 n∈N,点 An、Bn、An+1 构成一个顶角的顶点为 Bn 的 等腰三角形。 ⑴求数列{yn}的通项公式,并证明{yn}是等差数列; ⑵证明 xn+2-xn 为常数,并求出数列{xn}的通项公式; ⑶在上述等腰三角形 AnBnAn+1 中,是否存在直角三角形?若有,求出此时 a 值;若不存在,请 说明理由。
1 1 解: (1) yn ? 4 n ? 12 (n?N),∵yn+1-yn= 4 ,∴{yn}为等差数列 ??????4 分

1

(2)因为 ?An Bn An?1 与 ?An?1 Bn?1 An?2 为等腰三角形.

? xn ? xn ?1 ?n ? 2 ? 所以 ? ,两式相减得 xn?2 ? xn ? 2 。??????7 分 xn ?1 ? xn ? 2 ? ? n ?1 ? ? 2

注:判断 xn?2 ? xn ? 2 得 2 分,证明得 1 分 ∴x1,x3,x5,?,x2n-1 及 x2,x4,x6 ,?,x2n 都是公差为 2 的等差数列,??????6 分 ∴ xn ? ?n ? a ? 1 (当n为奇数) ??????10 分 ? ? n - a (当n为偶数)
1 1 (3)要使 AnBnAn+1 为直角三形,则 |AnAn+1|=2 y Bn =2( n ? 12 )?xn+1-xn=2( n ? 12 ) 4 4

当 n 为奇数时,xn+1=n+1-a,xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
1 11 ?2(1-a)=2( n ? 12 ) ?a= 12 ? n (n 为奇数,0<a<1) (*) 4 4

取 n=1,得 a= 2 ,取 n=3,得 a= 6 ,若 n≥5,则(*)无解; ??????14 分 3 当偶数时,xn+1=n+a,xn=n-a,∴xn+1-xn=2a.
1 1 ∴2a=2( n ? 12 )?a= n ? 12 (n 为偶数,0<a<1) (*?), 4 4

1

取 n=2,得 a= 12 ,若 n≥4,则(*?)无解. 综上可知,存在直角三形,此时 a 的值为 2 、 6 、 12 . ??????18 分 3
1
7

7


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