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2012届高三苏教版数学寒假作业三


高三数学寒假作业 3
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.

2012.1.17

班级________________学号________________姓名_______________

2 1.集合 A ? ?0,2? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1,

2, 4? ,则实数 a 的值为

?

?


开始



9.已知角 ? 的终边经过点 P ? x, ?6 ? ,且 tan ? ? ? 则 x 的值为 ▲ .

3 , 5

i←0 s←0 i← i +1 s← s + i s ≤20
N 输出 i
(第 8 题图)

10.经过点 ? 2, ?1? ,且与直线 x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线 方程是 ▲ .

4.若复数 z1 ? a ? i, z2 ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,且 z1 ? z2 为纯虚数,则实数 a 的值为 ▲ .

?x ? 0 ? 5.已知实数 x 、 y 满足约束条件 ? y ? 0 则 ?x ? y ? 2 ?
z ? 2 x ? 4 y 的最大值为
▲ .

Y

结束
频率/组距
0.024

6.某学校有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的 一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为 ▲ .

7.设等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 , a1 ? 4d ,若 ak 是 a1 与 a2k
0.012

的等比中项,则 k 的值为



. ▲ .

0.008 0.004 0.002 o 20 40 60 80 100 分数/分

7.根据如图所示的算法流程,可知输出的结果 i 为

9.下图是一次考试结果的频率分布直方图,若规定 60 分以上 (含 60)为考试合格,则这次考试的合格率为 ▲ . ▲ .
(第 9 题图)

c 10.设 a, b, c 是单位向量,且 a ? b ? c ,则 a ? 的值为

? ? ?

? ?

?

? ?

11.如图,已知正三棱柱 ABC ? A B1C1 的底面边长为 2 cm ,高位 5 cm , A 1 1 一质点自 A 点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A 1 点的最短路线的

C1 B1

A

C

长为



cm .
▲ .

2 3 12. 若不等式 x ? 2 ? x ? 2 x ? ax 对 x? ? 0, 4? 恒成立, 则实数 a 的取值范围是

13.五位同学围成一圈依次循环报数,规定,第一位同学首次报出的数为 2,第二位同学首 次报出的数为 3,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数 字,则第 2010 个被报出的数为 ▲ .

14 . 设 M 是 由 满 足 下 列 性 质 的 函 数 f ? x ? 构 成 的 集 合 : 在 定 义 域 内 存 在 x0 , 使 得

f ? x0 ?1? ? f ? x0 ? ? f ?1? 成 立 . 已 知 下 列 函 数 : ① f ? x ? ?
f

1 x ; ② f ? x? ? 2 ; ③ x
▲ (写出所有

? x? ? l g?

2

x? ? ;④ f ? x ? ? cos ? x ,其中属于集合 M 的函数是 2

满足要求的函数的序号) . 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知 a ? ?sin ? ,1? , b ? ? cos ? , 2? , ? ? ? 0,

? ?? ?. ? 4? ? ? ? ? 17 ?? ? (Ⅰ)若 a ∥ b ,求 tan ? 的值;(Ⅱ)若 a ? b ? ,求 sin ? 2? ? ? 的值. 8 4? ?

?

?

16. 如图, 在四棱锥 E ? ABCD 中, 四边形 ABCD 为平行四边形,BE ? BC ,AE ? BE , M 为 CE 上一点,且 BM ? 平面 ACE . C D (Ⅰ)求证: AE ? BC ; (Ⅱ)如果点 N 为线段 AB 的中点,求证: MN ∥平面 ADE .

N

M B

A
17. 如图,矩形 ABCD 是机器人踢足球的场地, AB ? 170cm , AD ? 80cm ,机器人先 从 AD 的中点 E 进入场地到点 F 处, EF ? 40cm , EF ? AD .场地内有一小球从 A 点沿 AB 运动,机器人从 F 点出发去截小球,现机器人和小球同时出发,它们均作匀速直线运 E 动,并且小球运动的速度是机器人行走速度的 2 倍.若忽略机器人原地旋转所需的时间,则 机器人最快可在何处截住小球?

D

C

E

F

A

B

18. 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , F1 、F 2 分别为椭圆 C 的左、 2 2 a b 右焦点,若椭圆 C 的焦距为 2. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,以 M 为圆心, MF 为半径作圆 M ,当圆 M 与椭圆的右 1 准线 l 有公共点时,求△ MF 1F 2 面积的最大值.

19. 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 3x ? a, b ? R ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 .
3 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式; 小值;

?

?

(Ⅱ)若对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? c , 求实数 c 的最 (Ⅲ)若过点 M ? 2, m?? m ? 2? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

20. 设函数 f ? x ? ?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; 求实数 t 的取值范围;

2x ? 3 ? x ? 0 ? ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? f ? 1 ? ? n ? N * , 且n ? 2? . ? ? 3x ? an?1 ?
n ?1

(Ⅱ)设 Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? a4 a5 ? ??? ? ? ?1?

an an ?1 , Tn ?t 若 n

2

对 n ? N 恒成立,
*

* * (Ⅲ)是否存在以 a1 为首项,公比为 q 0 ? q ? 5, q ? N 的数列 a n k , k ? N ,使得

?

?

? ?

数列 a n k 中每一项都是数列 ?an ? 中不同的项, 若存在, 求出所有满足条件的数列 ?nk ? 的通项公式;若不存在,说明理由.

? ?

高三数学寒假作业 3
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. ? 2 8.7 2.10 9.72% 3. x ? y ? 3 ? 0 10. 4. ?1 5.8

2012.1.17 (参考答案)

6.

1 4

7.3 14.②④

1 2

11.13

12. ?? , 2 2 ?

?

?

13.4

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 9 分) 已知 a ? ?sin ? ,1? , b ? ? cos ? , 2? , ? ? ? 0,

?

?

? ?

??

?. 4?

(Ⅰ)若 a ∥ b ,求 tan ? 的值;(Ⅱ)若 a ? b ?

?

?

? ?

17 ?? ? ,求 sin ? 2? ? ? 的值. 8 4? ?
………………………3 分

解:(Ⅰ)因为 a ∥ b ,所以 2sin ? ? cos ? .………………… 则 tan ? ?

?

?

1 .…………………………………………………………………………5 分 2 ? ? 17 17 (Ⅱ)因为 a ? b ? ,所以 sin ? cos ? ? 2 ? ,……………………………………7 分 8 8 1 即 sin 2? ? .…………………………………………………………………………9 分 4
因为 ? ? ? 0,

? ?

??

15 ? ?? .…………………………11 分 ? ,所以 2? ? ? 0, ? ,则 cos 2? ? 4 4? ? 2?

?? 2 2 2 1 2 15 2 ? 30 ? ……… ? ? ? ? 所以 sin ? 2? ? ? ? sin 2? ? cos 2? ? 2 4 2 4 8 4? 2 2 ?
…14 分 16. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分)

如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形, BE ? BC , AE ? BE ,

M 为 CE 上一点,且 BM ? 平面 ACE .
(Ⅰ)求证: AE ? BC ; (Ⅱ)如果点 N 为线段 AB 的中点,求证: MN ∥平面 ADE .

D

C

N
证明:(Ⅰ)因为 BM ? 平面 ACE , AE ? 平面 ACE ,所以 BM ? AE .……………2 分 因为 AE ? BE ,且 BE ? BM ? B , BE、BM ? 平面 EBC , 所以 AE ? 平面 EBC .……………………………………………………………………4 分 因为 BC ? 平面 EBC ,所以 AE ? BC .………………………………………………6 分 (Ⅱ)取 DE 中点 H ,连结 MH 、AH . 因为 BM ? 平面 ACE , EC ? 平面 ACE ,所以 BM ? EC . 因为 BE ? BC ,所以 M 为 CE 的中点.………………………………………………8 分 所以 MH 为△ EDC 的中位线.所以 MH ∥

M
B

A

E

1 1 DC ,且 MH = DC .……………10 分 2 2

因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 DC ∥ AB ,且 DC ? AB . 故 MH ∥

1 1 AB ,且 MH ? AB . 2 2

因为 N 为 AB 中点,所以 MH ∥ AN ,且 MH ? AN . 所以四边形 ANMH 为平行四边形,所以 MN ∥ AH .………………………………12 分 因为 MN ? 平面 ADE , AH ? 平面 ADE ,所以 MN ∥平面 ADE .………………14 分 17. (本题满分 14 分)

AB 如图, 矩形 ABCD 是机器人踢足球的场地, ? 170cm ,AD ? 80cm , 机器人先从 AD
的中点 E 进入场地到点 F 处,EF ? 40cm ,EF ? AD . 场地内有一小球从 A 点沿 AB 运动, 机器人从 F 点出发去截小球, 现机器人和小球同时出发, 它们均作匀速直线运动, 并且小球运动的速度是机器人行走速度的 2 倍.若忽略机器人原地旋转所需的时间,则 机器人最快可在何处截住小球? 解:设该机器人最快可在点 G 处截住小球 , 点 G 在线段 AB 上. 设 FG ? xcm .根据题意,得 BG ? 2 xcm .
A

D

C

E

F
B

则 AG ? AB ? BG ? ?170 ? 2x ?? cm? .………………………………………………1 分 连接 AF ,在△ AEF 中, EF ? AE ? 40cm , EF ? AD ,

所以 ?EAF ? 45? , AF ? 40 2cm .………………………………………………2 分 于是 ?FAG ? 45? .在△ AFG 中,由余弦定理, 得 FG2 ? AF 2 ? AG2 ? 2 AF ?AG cos ?FAG . 所以 x2 ? 40 2 解得 x1 ? 50

?

?

2

? ?170 ? 2 x ? ? 2 ? 40 2 ? ?170 ? 2 x ? cos 45? .………………8 分
2

370 .………………………………………………………………12 分 3 370 所以 AG ? 170 ? 2x ? 70 ? cm? ,或 AG ? ? .………13 分 ? cm ? (不合题意,舍去) 3 x2 ?
答:该机器人最快可在线段 AB 上离 A 点 70 cm 处截住小球.…………………………14 分

18. (本题满分 16 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 10 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , F1 、F 2 分别为椭圆 C 的左、右 2 2 a b

焦点,若椭圆 C 的焦距为 2. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,以 M 为圆心, MF 为半径作圆 M ,当圆 M 与椭圆的右 1 准线 l 有公共点时,求△ MF 1F 2 面积的最大值. 解:(Ⅰ)因为 2c ? 2 ,且

c 1 ? ,所以 c ? 1, a ? 2 .……………………………………2 分 a 2

2 所以 b ? 3 .………………………………………………………………………………4 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .……………………………………………………6 分 4 3
2 2 x0 y0 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)设点 M 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,则

因为 F ? ?1,0? , 1

a2 ? 4 ,所以直线 l 的方程为 x ? 4 .………………………………8 分 c

由于圆 M 与 l 由公共点,所以 M 到 l 的距离 4 ? x0 小于或等于圆的半径 R .
2 2 2 2 因为 R ? MF1 ? ? x0 ? 1? ? y0 ,所以 ? 4 ? x0 ? ? ? x0 ? 1? ? y0 ,………………10 分 2 2 2

2 即 y0 ? 10x0 ?15 ? 0 .

又因为 y0 ? 3 ?1 ?
2

? ?

2 3x 2 x0 ? ,所以 3 ? 0 ? 10 x0 ? 15 ? 0 .…………………………12 分 ? 4 4?

解得

4 ? x0 ? 2 .……………………………………………………………………14 分 3 4 15 时, y0 ? ,所以 S? MF1F2 3 3

当 x0 ?

?

?

max

1 15 15 .…………16 分 ? ? 2? ? 2 3 3

19. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 8 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 3x ? a, b ? R ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 .
3 2

?

?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)若对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? c ,求实数

c 的最小值;
(Ⅲ)若过点 M ? 2, m?? m ? 2? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,求实数 m 的取值范围. 解:(Ⅰ) f ? ? x ? ? 3ax ? 2bx ? 3 .…………………………………………………………2 分
2

根据题意,得 ?
3

? f ?1? ? ?2, ?a ? b ? 3 ? ?2, ?a ? 1 ? 即? 解得 ? ……………………3 分 ?b ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0, ? f ? ?1? ? 0, ?

所以 f ? x ? ? x ? 3x .………………………………………………………………4 分
2 (Ⅱ)令 f ? ? x ? ? 0 ,即 3x ? 3 ? 0 .得 x ? ?1 .

x
f ? ? x?
f ? x?

?2

? ?2, ?1?
+

?1

? ?1,1?
?

1

?1, 2?
+

2

?2



极大值



极小值



2

因为 f ? ?1? ? 2 , f ?1? ? ?2 , 所以当 x?? ?2, 2? 时, f ? x ?max ? 2 , f ? x ?min ? ?2 .………………………………6 分 则对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有

f ? x 1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 4 ,所以 c ? 4 .
所以 c 的最小值为 4.……………………………………………………………………8 分

(Ⅲ)因为点 M ? 2, m?? m ? 2? 不在曲线 y ? f ? x ? 上,所以可设切点为 ? x0 , y0 ? .
3 则 y0 ? x0 ? 3x0 .
2 因为 f ? ? x0 ? ? 3x0 ? 3,所以切线的斜率为 3x0 ? 3 .………………………………9 分

2

3 x0 ? 3x0 ? m 则 3x ? 3 = ,………………………………………………………………11 分 x0 ? 2
2 0 3 2 即 2x0 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 .

因为过点 M ? 2, m?? m ? 2? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,
3 2 所以方程 2x0 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解.

所以函数 g ? x ? ? 2x ? 6x ? 6 ? m 有三个不同的零点.
3 2

则 g? ? x ? ? 6x ?12x .令 g? ? x ? ? 0 ,则 x ? 0 或 x ? 2 .
2

x
g? ? x ?
g ? x?
则?

? ??,0?
+ 增

0

? 0, 2?
?

2

? 2,???
+

极大值



极小值



? g ? 0? ? 0 ?6 ? m ? 0 ? ,即 ? ,解得 ?6 ? m ? 2 .…………………………………16 分 ??2 ? m ? 0 ? g ? 2? ? 2 ?

20. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 设函数 f ? x ? ?

? 1 ? 2x ? 3 ? x ? 0 ? ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? f ? ? n ? N * , 且n ? 2 . 3x ? an?1 ?

?

?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? a4 a5 ? ??? ? ? ?1? 求实数 t 的取值范围;
* * (Ⅲ)是否存在以 a1 为首项,公比为 q 0 ? q ? 5, q ? N 的数列 a n k , k ? N ,使得 n ?1

an an ?1 , Tn ?t 若 n

2

对 n ? N 恒成立,
*

?

?

? ?

数列 a n k 中每一项都是数列 ?an ? 中不同的项, 若存在, 求出所有满足条件的数列 ?nk ? 的通项公式;若不存在,说明理由.

? ?

1 ?3 ? 1 ? an?1 2 2 ? an ?1 ? , ? n ? N * , 且n ? 2 ? ,所以 an ? an ?1 ? 解:(Ⅰ)因为 an ? f ? ?? 1 3 3 ? an ?1 ? 3? an ?1 2?
因为 a1 ? 1 ,所以数列 ?an ? 是以 1 为首项,公差为 (Ⅱ) ①当 n ? 2m, m ? N * 时,

2 2n ? 1 的等差数列.所以 an ? 4分 3 3

Tn ? T2 m ? a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? ??? ? ? ?1?

2 m ?1

a2 m a2 m ?1
1? m

? a2 ? a1? a? ? a4 a3 ? ? 3
4 ? ? ? a2 ?a4 ? ? 3

????? ?a5

m

a2 ?

m 2 ?

a?

a2 ?

1

4 a ? a2 m 1 1 ?m ? ? ? ? 2 a2 ? m ? ? ? 8m 2 ? 12m ? ? ? ? 2n 2 ? 6n ? .② 9 3 2 9

当 n ? 2m ? 1, m ? N * 时,

Tn ? T2 m ?1 ? T2 m ? ? ?1?

2 m ?1

a2 m a2 m ?1 ? ?

1 ?8m2 ? 12m ? ? 1 ?16m2 ? 16m ? 3? 9 9

?

1 ?8m2 ? 4m ? 3? ? 1 ? 2n2 ? 6n ? 7 ? .………………8 分 9 9

? 1 2 ?? 9 ? 2n ? 6n ? , n为偶数, ? 所以 Tn ? ? ? 1 ? 2n 2 ? 6n ? 7 ?,n为奇数 ?9 ?
要使 Tn ? tn2 对 n ? N 恒成立,只要使 ?
*

1 ? 2n2 ? 6n ? ? tn2 , (n为偶数)恒成立 . 9

只要使 ? ? 2 ? (Ⅲ)由 an ?

1? 9?

6? 5? ? ? ? ? t , 对n为偶数恒成立 ,故实数 t 的取值范围为 ? ? ?, ? ………10 分 9? n? ?

2n ? 1 ,知数列 ?an ? 中每一项都不可能是偶数. 3

* ① 如存在以 a1 为首项,公比 q 为 2 或 4 的数列 a n k , k ? N ,

? ?

此时 a n k 中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以 a1 为首项,公比为偶数的数列

? ?

?a ? …12 分
nk

② 当 q ? 1 时,显然不存在这样的数列 a n k .
* 当 q ? 3 时,若存在以 a1 为首项,公比为 3 的数列 a n k , k ? N .

? ?

? ?

则 an 1 ? 1 , n1 ? 1 , a n k ? 3

k ?1

?

2nk ? 1 3k ? 1 , nk ? . 3 2

所以满足条件的数列 ?nk ? 的通项公式为 nk ?

3k ? 1 .……………………16 分 2


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