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河北省唐山市2015届高三9月模拟考试数学理试题 word版含解析


河北省唐山市 2015 届高三摸底考试数学(理)试题 【试卷综析】 本试卷是高三摸底考试理工类数学试卷, 目的是对升入高三的学生的学习情况 做一个了解。其命题模式与高考保持一致,考查了高考考纲上的诸多热点问题,突出考查考 纲要求的基本能力,知识考查注重基础、注重常规,但也有综合性较强的问题。试题分必做 和选作两个部分,必做部分试题重点考查:函数、三角函数、数列、立体几何、统计与概

率、 解析几何、不等式、向量等;选作部分考察几何证明、坐标系与参数方程、不等式选讲,都 是常规题目。试卷涉及到的基本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论,数形结合 等。试卷比较适合刚刚升入高三的学生使用。 说明: 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选考两 个部分. 2.答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项” ,按照“注意事项”的规定答题. 3.做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑,如需改动, 用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 4.考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求) 1、已知集合 M={x|x≥-1},N={x|2-x2≥0},则 M∪ N=( ) A. [-1,+∞) C. [- 2 ,+∞) B.[-1, 2 ] D.(-∞,- 2 ]∪ [-1,+∞)

【知识点】集合的运算 A1 【答案解析】C 解析:

N ? x 2 ? x2 ? 0 ? x ? 2 ? x ? 2

?

? ?

M

N ? x x?? 2

?

?,
2

? ,所以
N 即可,必要时

故答案为:C 【思路点拨】解不等式 2 ? x ? 0 ,得集合 N,再根据并集的定义求 M 可借助数轴辅助运算。

z?
2、复数

1 ? 3i 1 ? 2i ,则(

)

A.|z|=2 B.z 的实部为 1 C.z 的虚部为-i D.z 的共轭复数为-1+i 【知识点】复数的相关概念和运算 L4

z?
【 答 案 解 析 】 D 解 析 :

1 ? i3 ? 1 ? i2

? ( 1 i ?3 ) i( ?1 ? 2 ) i 5 5 ? ? ?1 ? i ? ( 1 i ? 2 i) ( 1 2 ) 5 ,

z ? (?1) 2 ? (?1) 2 ? 2

,故 A 错误; z 的实部为-1,故 B 错误; z 的虚部为-1,不是 ?i ,

故 C 错误;根据共轭复数的定义,复数 a ? bi 的共轭复数为 a ? bi ,故 D 正确, 故选:D 【思路点拨】利用复数的除法运算化简复数 z ,然后根据复数的相关概念进行判断即可。

f ( x) ?
3、函数

2 x ? 2? x 2 是(

)

A.偶函数,在(0,+∞)是增函数 B.奇函数,在(0,+∞)是增函数 C.偶函数,在(0,+∞)是减函数 D.奇函数,在(0,+∞)是减函数 【知识点】函数的奇偶性和单调性;指数函数的性质 B3 B4 B6 解析:函数 f ( x ) 的定义域为 R ,
x ?x

f (? x) ?

【答案解析】B

2? x ? 2 x ? ? f ( x) 2 ,所以函数
x ?x

为奇函数; 函数 f ( x) ? 2 是增函数, f ( x) ? 2 是减函数, 所以 f ( x) ? 2 ? 2 是增函数,

f ( x) ?
则 故选:B

2 x ? 2? x 2 也是增函数,
x

【思路点拨】 由函数奇偶性的定义可以判断函数为奇函数, 而指数函数 f ( x) ? 2 是增函数,

2 x ? 2? x f ( x) ? f ( x) ? 2? x 是减函数,可以判断 2 是增函数。
4、抛物线 y=2ax2(a≠0)的焦点是( )

a A.( 2 ,0) 1 C.(0, 8a )

a a B.( 2 ,0)或(- 2 ,0) 1 1 D.(0, 8a )或(0,- 8a )

【知识点】抛物线的几何性质 H7

x2 ?
【答案解析】C 解析:抛物线的方程化成标准形式为:

1 y (a ? 0) y 2a ,其焦点在 轴

(0,
上,所以焦点坐标为

1 ) 8a ,

故答案为:C 【思路点拨】先把抛物线方程整理成标准方程,进而根据抛物线的性质可得焦点坐标。

?? ? 1 sin ? ? x ? ? ?4 ? 4 ,则 sin2x 的值为( 5、已知
7 A. 8 9 B. 16 15 C. 16 15 D. 16 ?

)

【知识点】差角公式;二倍角公式;同角三角函数基本关系式 C2 C5 C6

? ? 2 2 1 ?? ? sin ? ? x ? ? sin cos x ? cos sin x ? cos x ? sin x ? 4 4 2 2 4, ? 【答案解析】 A 解析: ? 4
1 2 ? cos x ? sin x ? 4 ? 1 4 2 cos 2 x ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 1 ? sin 2 x ? 8, 2 ,两边平方得:
? sin 2 x ?
故选:A 【思路点拨】把已知的式子用差角公式展开、化简,可得到 cos x ? sin x 的值,两边平方再 结合二倍角公式和同角三角函数基本关系式,即可计算出 sin 2 x 的值。 6、高三毕业时,甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念,已知甲乙相邻,则甲丙相邻 的概率为( )

7 8,

1 2 1 1 A. 3 B. 3 C. 2 D. 6
【知识点】条件概率 K2 【答案解析】A 解析:4 人排成一排,其中甲、乙相邻的情况有: (甲乙丙丁) 、 (甲乙丁丙) 、 (丙甲乙丁) 、 (丙丁甲乙) 、 (丁甲乙丙) 、 (丁丙甲乙) 、 (乙甲丙丁) 、 (乙甲丁丙) 、 (丙乙甲丁) 、 (丙丁乙甲) 、 (丁乙甲丙) 、 (丁丙乙甲) ,共计 12 种, 其中甲丙相邻的有: (丙甲乙丁) 、 (丁丙甲乙) 、 (乙甲丙丁) 、 (丁乙甲丙) 、有 4 种,

p?
∴甲乙相邻,则甲丙相邻的概率为:

4 1 ? 12 3 ,

故选:A 【思路点拨】用列举法列出 4 人排成一排,其中甲、乙相邻的情况,找出甲丙相邻,由此能 求出甲乙相邻,则甲丙相邻的概率。 7、设向量 a,b 满足|a|=|b|=|a+b|=1,则|a-tb|(t∈ R)的最小值为( )

A.

1 3 2 B. 2 C.1 D. 2

【知识点】向量的模的计算;二次函数的最值 F3 B5

【答案解析】 A 解析: 由已知得:

a?b ?
2

?a ? b?

2

? a ? 2a ? b ? b ? 2 ? 2a ? b ? 1
2

2

2



? 2a ? b ? ?1
t??


? a ? tb ?

? a ? tb ?

? 1? 3 ? a ? 2ta ? b ? t b ? 1 ? t ? t ? ? t ? ? ? ? 2? 4 ,
2 2 2 2

3 3 1 ? a ? tb 2 , 2 时, 有最小值 4
a ?b ?1

故选:A 【思 路点拨】由已 知结合向 量的模长计算 公式、性 质对 进行化简 ,可得 出

2a ? b ? ?1 ,代入

a ? tb

中,则

a ? tb ? 1 ? t ? t 2

,再利用配方法求其最值即可。

8、 已知 a>0, x, y 满足约束条件

?x ? 1 ? ?x ? y ? 3 ? y ? a ( x ? 3) ?

x ? y 的最小值为 1, , 且z ?2 则 a=(

)

1 A.1 B.2 C. 4

1 D. 2
E5

【知识点】简单的线性规划

【答案解析】D 解析:直线 y ? a( x ? 3) 的斜率为正数,经过定点 (3, 0) ,画出可行域如图:

由 z ? 2 x ? y ,得 y ? ?2 x ? z ,表示斜率为 ?2 ,在

y 轴上的截距为 z 的直线系,

平移直线 y ? ?2 x ? z ,当其经过可行域内的点 B 时,截距最小, z 最小,

?x ? 1 1 ? a? 2 x ? y ? 1 B (1, ? 1) y ? a ( x ? 3) 2, 由? ,得点 ,代入 可得:
故选:D 【思路点拨】先根据约束条件画出可行域,由 z ? 2 x ? y ,得 z 的几何意义是直线的斜率, 平移直线 z=2x+y,当过可行域内的点 B 时取得最小值,解出点 B 的坐标,从而得到 a 值即 可。 9、执行如图所示的程序框图,则输出的 a=( )

5 1 ? A.5 B. 4 C. 4

4 D. 5

【知识点】含循环结构的程序框图 L1

b ? 1?
【答案解析】C 解析:第一次循环: , 立,进入下一次循环;

1 ?5 1 ? 4 , a ? b ? 5 ,n ? 1 ? 1 ? 2 ,2 ? 9 成

b ? 1?
第二次循环: ,

1 4 4 ? a?b? 5 5, 5 , n ? 2 ? 1 ? 3 , 3 ? 9 成立,进入下一次循环;

b ? 1?
第三次循环: , 环;

1 1 ?? 4 4 a?b??1 4 , n ? 3 ? 1 ? 4 , 4 ? 9 成立,进入下一次循 5 ,

b ? 1?
第四次循环: ,

1 ?5 1 ? 4 , a ? b ? 5 , n ? 4 ? 1 ? 5 , 5 ? 9 成立,进入下一次循环;

从这里可以看出,循环具有周期性,周期为 3, 循环结束时, n ? 10 ,循环进行了 9 次,输出的 a 的值与第三次循环一样,所以

a??

1 4,

故选:C 【思路点拨】按照框图中流程线的流向判断循环是否需要进行,写出每次循环的结果,不难 得出最后的结果。

? ? x? 6对 10、将函数 f(x)=sinωx(其中 ω>0)的图象向右平移 2 个单位长度,所得图象关于
称,则 ω 的最小值是( )

2 9 3 A.6 B. 3 C. 4 D. 2
【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质 C4

? 【答案解析】D 解析:将函数 f ( x) ? sin ? x 的图像向右平移 2 个单位后,可得到函数
f ( x) ? sin ? ( x ? ) ? sin(? x ? ) x? 2 2 的图像,又因为所得图像关于 6 对称,所以

?

??

?

??

?
6

?

??
2

?

?
2

? k? ( k ? Z )
,即

? ? ? ? 3k , k ? Z

3 2

,ω>0,所以当 k ? ?1 时, ? 取最

3 小值 2 ,
故选:D 【思路点拨】由条件根据函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象变换规律,正弦函数的图象的对称

??
性可得

?
6

?

??
2

?

?
2

? k? ( k ? Z )
,即

? ? ? ? 3k , k ? Z

3 2

,由此可计算出 ? 取最小值。

11、已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=ax+(x-1)2-2a 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关 【知识点】函数的零点;指数函数、二次函数 B5 B6 B9
x 2 x 2

)

【答案解析】B 解析:由 f ( x) ? a ? ( x ?1) ? 2a ? 0 ,得 a ? ?( x ?1) ? 2a , 设y?a , 这是一个指数函数, y ? ?( x ? 1) ? 2a , 这是一个二次函数, 其对称轴为 x ? 1 ,
x 2

开口向下,最大值为 2 a ,与

y 轴交点的纵坐标为 2a ? 1 ,

当 a ? 1 时,作出两个函数的图像(如图中的红线部分) ,显然此时两个函数的图像有两个交 点,即函数 f ( x ) 有两个零点; 当 0 ? a ? 1 时,作出两个函数的图像(如图中的黑线部分) ,显然此时两个函数的图像也有 两个交点,即函数 f ( x ) 有两个零点;

综上,函数 f ( x ) 恒有两个零点, 故选:B 【思路点拨】 把函数的零点转化成两个简单函数的交点, 在同一个坐标系内作出两个函数的 图像,利用数形结合法观察两个函数交点的情况即可。因为 a 的值不定,故要分类讨论。 12、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的球面面积为( A.5π B.12π C.20π D.8π )

【知识点】由三视图求几何体的表面积、体积 G1 G2 【答案解析】A 解析:由三视图复原的几何体是底面为长、宽分别为 3,4 的长方形,侧 棱垂直于底面的四棱锥,把它扩展为长方体,则长、宽、高分别为 1,1, 它的外接球的直径就是长方体的对角线的长, 所以长方体的对角线长为: 1 ? 1 ? 3 ? 5 ,

R?
所以球的半径为:

5 2 ,

4? ? (
这个几何体的外接球的表面积是:

5 2 ) ? 5? 2 ,

故选:A 【思路点拨】三视图表示的几何体是底面为长、宽分别为 3,4 的长方形,侧棱垂直于底面 的四棱锥。 把它扩展为长方体, 它的外接球的直径就是长方体的对角线的长, 求出对角线长, 即可求出外接球的表面积. 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13、 ( x ? 2 y) 的展开式中 x y 的系数是___________.
8
6 2

【知识点】二项式定理 【 答 案 解 析 】 56

J3 解 析 : ( x ? 2 y)
8

的 展 开 式 的 通 项 为 :

r 8?r r 8?r r Tr ?1 ? C8 x (? 2 y)r ? (? 2)r C8 x y ,

当 r ? 2 时,可得 x y 的系数为: 故答案为:56

6

2

(? 2)2 C82 ? 2 ?

A82 ? 56 2 A2 ,
6 2

【思路点拨】写出 ( x ? 2 y) 的展开式的通项,当 r ? 2 时,就得到含 x y 的项,再求其系
8

数即可。 14、实数 x,y 满足 x+2y=2,则 3x+9y 的最小值是________________. 【知识点】基本不等式;指数的运算 B6 E6 【答案解析】6 解析:利用基本不等式可得: 3 ? 9 ? 3 ? 3
x y x 2x

? 2 3x ? 32 y ? 2 3x ?2 y

x ? 2 y ? 2 ,?3x ? 9y ? 2 3x?2 y ? 2 32 ? 6 ,
当且仅当 3 ? 3 ,即
x 2y

x?

1 1 ,y? 2 4 时,取等号,

故答案为:6 【思路点拨】利用基本不等式和指数的运算性质即可得出结论。

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 15、已知双曲线 C: a (a>0,b>0)的一条渐近线与直线 l: x ? 3 y ? 0 垂直,C
的一个焦点到 l 的距离为 1,则 C 的方程为__________________. 【知识点】直线的位置关系和距离公式;双曲线的标准方程和性质 H2 H6

x2 ?
【答案解析】

y2 ?1 3 解析: 双曲线的一条渐近线与直线 l: x ? 3 y ? 0 垂直,

b ? 3 ? 双曲线的渐近线的斜率为 3 ,则 a ,



由题意知双曲线的焦点在 x 轴上,可设双曲线的一个焦点坐标为 (c, 0) ,

c ?1 2 2 根据点到直线的距离公式,则 2 ,? c ? 2 ,即 a ? b ? 4 ,
联立①②,解得 a ? 1, b ? 3 ,所以双曲线的标准方程为:
2 2

②,

x2 ?

y2 ?1 3 ,

x2 ?
故答案为:

y2 ?1 3

【思路点拨】求双曲线的标准方程即求参数 a , b 。根据已知可求出渐近线的斜率,得到一个 关于 a , b 的方程, 再利用点到直线的距离公式结合双曲线的性质得到另外一个关于 a , b 的方 程,联立两个方程,解出参数 a , b 即可。

16 、在 △ ABC 中, AB ? 2 ,点 D 在边 BC 上, BD ? 2 DC ,

cos ?DAC ?

3 10 10 ,

cos ?C ?

2 5 5 ,则 AC+BC=_________________.

【知识点】解三角形 C8 【答案解析】 3 ? 5 解析:

设CD ? x, AD ? y, 则BD ? 2 x cos ?DAC ? ? sin ?DAC ? 3 10 2 5 , cos ?C ? 10 5

10 5 ,sin ?C ? 10 5 AD CD 由正弦定理得 ? sin C sin ?DAC y x 即 ? , 化简得y ? 2 x 5 10 5 10

sin ?ADB ? sin(?DAC ? ?C ) ?

10 2 5 3 10 5 2 ? ? ? ? 10 5 10 5 2 ,

??ADB ?

?
4

, ?ADC ?

3? , 4

在?ABD中,AB 2 ? BD 2 ? AD 2 ? 2 BD ? AD ? cos 2 ? 2x2 , 2 即x 2 ? 1, 解得x ? 1, 则BD ? 2, CD ? 1, AD ? 2 即2 ? 4 x 2 ? 2 x 2 ? 2 ? 2 x ? 2 x ? 在?ACD中,AC 2 ? AD 2 ? CD 2 ? 2 AD ? CD ? cos 即AC ? 5, ? AC ? BD ? 3 ? 5
故答案为: 3 ? 5

?
4

3? ?5 4

,

【思路点拨】根据三角形的边角关系,利用正弦定理和余弦定理求出 BD,CD 和 AD 的长度, 即可得到结论. 三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)-(21)题为必考题,(22),(23),(24)题为选考题,解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=kn(n+1)-n(k∈ R),公差 d 为 2. (1)求 an 与 k; (2)若数列{bn}满足

b1 ? 2 , bn ? bn?1 ? 2an (n ? 2) ,求 bn.

【知识点】等差数列及前 n 项和;等比数列的前 n 项和 D2 D3 【答案解析】 解: (Ⅰ)由题设得

a1 ? S1 ? 2k ?1 ,

a2 ? S2 ? S1 ? 4k ?1,

由 则

a2 ? a1 ? 2 得 k ? 1 ,
a1 ? 1, an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ?1
?4 分

(Ⅱ)

bn ? bn?1 ? 2an ? bn?2 ? 2an?1 ? 2an ?
an

? b1 ? 2a2 ? 2a3 ?

? 2an?1 ? 2an .

由(Ⅰ)知 2

? 22 n ?1 ,又因为 b1 ? 2 ,所以

bn ? b1 ? 2a2 ? 2a3 ?

? 2an?1 ? 2an ? 21 ? 23 ? 25 ?

? 22 n?1 ?

2(1 ? 4n ) 2(4n ? 1) ? 1? 4 3 .

明显, n ? 1 时,也成立.

综上所述,

bn ?

2(4n ? 1) 3

【思路点拨】 (Ⅰ)已知给出了等差数列{an}的公差 d,再求出首项 可利用

a1 即可解得 an ,由题意

Sn 结合等差数列定义求出 k ,再求 a1 即可;

(Ⅱ)由已知可得

bn ? b1 ? 2a2 ? 2a3 ?

? 2an?1 ? 2an , 结 合 ( Ⅰ ) 的 结 论 进 一 步 化 为
2 n ?1

bn ? 21 ? 23 ? 25 ?

? 22n?1 ,而数列 ?2

? 是首项为 2,公比为 4 的等比数列,b 就是其
n

前 n 项和,利用代入等比数列前 n 项和公式中即可解出结论。 18(本小题满分 12 分) 某大学外语系有 5 名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务, 每名大学生都随机分配到奥体 中心体操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务)。 (1)求 5 名大学生中恰有 2 名被分配到体操项目的概率; (2)设 X,Y 分别表示 5 名大学生分配到体操、游泳项目的人数,记ξ =|X-Y|,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ). 【知识点】古典概型的概率;离散型随机变量的分布列、均值和方差 K2 K6 K8 【答案解析】 解: (Ⅰ)设 5 名大学生中恰有 i 名被分到体操项目的事件为 Ai, (i=0,1,2,3,4,5) , 2 3 C5C3 5 则 P(A2)= 25 =16. (Ⅱ )ξ 的所有可能取值是 1,3,5. 2 3 3 2 C5C3 C5C2 5 P(ξ=1)=P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)= 25 + 25 = 8 ;

?4 分

1 4 4 1 C5C4 C5C1 5 P(ξ=3)=P(A1+A4)=P (A1)+P(A4)= 25 + 25 = 16 ; 0 5 5 C5C5 C5 1 P(ξ=5)=P(A1+A4) =P(A0)+P(A5)= 25 +25= 16 . 则随机变量 ξ 的分布列为[ ξ P ?10 分 5 5 1 15 则 ξ 的数学期望 E(ξ)=1× 8 +3× 16 +5× 16 = 8 . ?12 分 1 5 8 3 5 16 5 1 16

【思路点拨】 (Ⅰ)设 5 名大学生中恰有 i 名被分到体操项目的事件为 Ai, (i=0,1,2,3, 4,5) ,由此利用等可能事件概率计算公式能求出 5 名大学生中恰有 2 名被分配到体操项目 的概率. (Ⅱ)ξ 的所有可能取值是 1,3,5.分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 ξ 的分布 列和数学期望 E(ξ) 19(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥ 平面 ADC1; (2)若 AB⊥ AC,AB=AC=1,AA1=2,求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.

【知识点】线面平行的判定;二面角的平面角的求法 G4 G11 【答案解析】 解: (Ⅰ)连接 A1C,交 AC1 于点 E, 则点 E 是 A1C 及 AC1 的中点. 连接 DE,则 DE∥A1B. 因为 DE?平面 ADC1, 所以 A1B∥平面 ADC1. ?4 分 (Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系 A-xyz. 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0), 1 1 C1(0,1,2) D( 2 , 2 ,0), → =( 1 , 1 ,0),AC1 → =(0,1,2).?6 分 AD 2 2

设平面 ADC1 的法向量 m=(x,y,z),则

? ? 1 x+ 1 y=0, 2 ? 2 不妨取 m=(2,-2, 1). ? ?y+2z=0,
→ =(0,1,0). 易得平面 ABA1 的一个法向量 n=AC m·n 2 cos<m,n>=|m||n|= 3 , 5 平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值是 3 .

?9 分

?10 分

?12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)连接 A1C,交 AC1 于点 E,连接 DE,则 DE∥A1B,由此能证明 A1B∥平 面 ADC1. (Ⅱ)建立空间直角坐标系 A-xyz.利用向量法能求出平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的余弦 值,再根据同角三角函数的基本关系式求出正弦值. 20(本小题满分 12 分)

3 x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 椭圆 C: a (a>b>0)的离心率为 5 ,P(m,0)为 C 的长轴上的一个动点,过 P 点 4 41 PA ? PB ? ? 2 斜率为 5 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m=0 时,
(1)求 C 的方程; (2)求证:

PA ? PB

2

2

为定值. F3

【知识点】椭圆的标准方程和性质;直线与椭圆;向量的运算 H5 H8 【答案解析】 3 b 4 解: (Ⅰ)因为离心率为 5 ,所以 a = 5 . 4 当 m=0 时,l 的方程为 y= 5 x, x2 y2 a2 代入a2+b2=1并整理得 x2= 2 . 设 A(x0,y0),则 B(-x0,-y0), 41 41 a2 → →=-x0 PA·PB 2-y0 2=- 25 x0 2=- 25 · 2 . →·PB → =-41,所以 a2=25,b2=16, 又因为PA 2 x2 y2 椭圆 C 的方程为25+16=1. 5 x2 y2 (Ⅱ)l 的方程为 x= 4 y+m,代入25+16=1并整理得 25y2+20my+8(m2-25)=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ?5 分 ?2 分

41 41 则|PA|2=(x1-m)2+y1 2=16y1 2,同理|PB|2=16y2 2. 41 41 则|PA|2+|PB|2=16( y1 2+y2 2)=16[(y1+y2)2-2y1y2] 16(m2-25) 41 4m =16[(- 5 )2- ]=41. 25 所以,|PA|2+|PB|2 是定值. ?12 分

?8 分

【思路点拨】(Ⅰ)由椭圆的离心率可列出关于参数 a , b 的一个方程。当 m=0 时,直线 l 的方 程已知,与椭圆方程联立,消去 y 化简,设出点 A, B 的坐标,用坐标表示 PA ? PB ,再根据

PA ? PB ? ?

41 2 列出关于 a , b 的第二个方程,两方程联立即可解得 a , b ; x? 5 y?m 4 , 与椭圆方程联立, 消去 x , 设出 A, B 的
PA ? PB
2 2

(Ⅱ) 根据点斜式可设直线 l 的方程为

坐标,利用两点间的距离公式表示出

,结合韦达定理化简,即可证明

PA ? PB

2

2

为定值 41.

21(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2ex-ax-2(a∈ R) (1)讨论函数的单调性;

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2(e x1 ? 1) x ? x 2 1 (2)若 f(x)≥0 恒成立,证明:x1<x2 时,
【知识点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用 【答案解析】 解: (Ⅰ)f?(x)=2ex-a. 若 a≤0,则 f?(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增; 若 a>0,则 a 当 x∈(-∞,ln 2 )时,f?(x)<0,f(x)单调递减; a 当 x∈(ln 2 ,+∞)时,f?(x)>0,f(x)单调递增. ?4 分 B12 B14

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知若 a≤0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,又 f(0)=0,故 f(x)≥0 不 恒成立. a 若 a>0,则由 f(x)≥0=f(0)知 0 应为极小值点,即 ln 2 =0, 所以 a=2,且 ex-1≥x,当且仅当 x=0 时,取“=” . 当 x1<x2 时,f(x2)-f(x1)=2(ex2-ex1)-2(x2-x1) =2ex1(ex2-x1-1)-2 (x2-x1) ?7 分

≥2ex1(x2-x1)-2(x2-x1) =2(ex1-1) (x2-x1), f(x2)-f(x1) 所以 >2(ex1-1). x2-x1 【思路点拨】 (1)利用导数的运算法则求出 f '( x) ,根据 a 的值进行分类讨论,判断 f '( x) 的符号,即可得出其单调性; (2)通过对 a 分类讨论,得到当 a ? 2 ,满足条件 f(x)≥0 且 ex-1≥x,当且仅当 x=0 时,取 “=” .利用此结论即可证明. 请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 过平行四边形 ABCT 的三个顶点 B,C,T,且与 AT 相切,交 AB 的延长线于点 D. (1)求证:AT2=BT·AD; (2)E、F 是 BC 的三等分点,且 DE=DF,求∠ A.

【知识点】与圆有关系的比例线段 N1 【答案解析】 解: (Ⅰ)证明:因为∠A=∠TCB,∠ATB=∠TCB, C T 所以∠A=∠ATB,所以 AB=BT. F 又 AT 2=AB?AD,所以 AT 2=BT?AD.?4 分 M E (Ⅱ)取 BC 中点 M,连接 DM,TM. A D 由(Ⅰ)知 TC=TB,所以 TM⊥BC. B 因为 DE=DF,M 为 EF 的中点,所以 DM⊥BC. 所以 O,D,T 三点共线,DT 为⊙O 的直径. 所以∠ABT=∠DBT=90?. 所以∠A=∠ATB=45?. ?10 分 【思路点拨】 (1)证明 AB=BT,结合切割线定理,即可证明结论; (2)取 BC 中点 M,连接 DM,TM,可得 O,D,T 三点共线,DT 为⊙O 的直径,即可求∠ A。 23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C :

? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为 ? ?
参数),l 与 C 分别交于 M,N. (1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 【知识点】极坐标方程和直角坐标方程的互化;参数方程的应用 N3 【答案解析】 解: (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 y2=2ax(a>0) ; 直线 l 的普通方程为 x-y-2=0. ?4 分 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立,得 t2-2(4+a) 2t+8(4+a)=0 (*) △=8a(4+a)>0. 设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,恰为上述方程的根. 则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|. 由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.[ 由(*)得 t1+t2=2(4+a) 2,t1t2=8(4+a)>0,则有 (4+a)2-5(4+a)=0,得 a=1,或 a=-4. 因为 a>0,所以 a=1.

2 t 2 2 t 2 (t 为

?10 分

【思路点拨】 (Ⅰ)根据直角坐标和极坐标的互化公式 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 把曲线 C 的 极坐标方程化为直角坐标方程;用代入法消去参数 t,把直线 l 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立得到关于 t 的一元二次方程,则点 M, N.对应的参数就是方程的根,根据|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,结合维达定理又得到一 个关于 a 的方程,解方程即得 a 的值。

24(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

f ( x) ? x ?
设函数

4 ? x?m m (m>0)

(1)证明:f(x)≥4; (2)若 f(2)>5,求 m 的取值范围. 【知识点】绝对值不等式的证明 N4 【答案解析】 4 解: (Ⅰ)由 m>0,有 f(x)=|x- m |+|x+m| 4 4 ≥|-(x- m )+x+m|= m +m≥4, 4 当且仅当 m =m,即 m=2 时取“=” .所以 f(x)≥4. ?4 分

4 (Ⅱ)f(2)=|2- m |+|2+m|. 1+ 17 4 4 当 m <2,即 m>2 时,f(2)=m- m +4,由 f(2)>5,得 m> . 2 4 4 当 m ≥2,即 0<m≤2 时,f(2)= m +m,由 f(2)>5,0<m<1. 综上,m 的取值范围是(0,1)∪( 1+ 17 ,+∞). 2 ?10 分

【思路点拨】 (Ⅰ)运用绝对值不等式的性质:绝对值的和不小于差的绝对值,再利用基本 不等式即可证得结论;

4 4 ?2 ?2 (Ⅱ)分当 m 时和当 m 时两种情况,分别根据 f (2) ? 5 ,求得 m 的范围,再把所
得 m 的范围取并集,即得所求。


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