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机械振动和机械波


1.一质量为 m 的物体置于水平台面上,台面沿竖直方向作简谐运动,其频率为? ,振幅为 A,求 (1)若振动中物体与平台不分离,振动中物体对平台压力的最大值和最小值各为多少? (2)为使物体不与平台分离,振幅 A 的最大值为多少? 2.如图所示,在倾角为 ? 的光滑斜面上放置一质量为 m 的物体,物体与一轻弹簧相连,弹 簧的另一端固定在斜面的上端,弹簧的劲度系数为 k。今将重物从

其平衡位置沿斜面向下拉 下一小距离然后由静止释放,重物将在斜面上作简谐运动,试求其振动周期。

3.如图所示,劲度系数为 k 的轻弹簧连着一个质量为 M 的物体在光滑水平面上振动, 其振幅为 A。若一块质量为优的粘土由静止状态粘到振子上,随后系统继续进行振动,试求 在下列两种情况下系统继续振动的周期和振幅: (1)当振子通过平衡位置时与粘土相粘; (2)当振子在最大位移处时与粘土相粘。

_4.质量分别为 M 和 m 的两物块用劲度系数为忌的轻弹簧相连而置于光滑水平面上, 弹簧的自然长度为 l 。今将两物体拉开使弹簧长度变为 (l ? l0 ) ,然后同时将两物体由静止释 放。试求释放后两物块振动的周期和振幅。 5.如图所示,一列火车以惯性向前行驶,冲上一个与水平面成 ? 角的山坡,火车的速 度逐渐减小。当火车有一半车厢上了山坡时其速度刚好减小到零。设火车的全长为 L,火车 与路面间的摩擦可以忽略不计。求火车从开始爬坡到有一半上到山坡时共历时多少? 6.一质量为 M 的盘子,悬挂在劲度系数为 k 的轻弹簧下,质量为 m 的砝码在离盘高 h 处 自由落下掉在盘中,如图所示,砝码落入盘中后即和盘一道向下运动,问自砝码与盘相碰至 盘运动到最低位置的过程历时为多少? 7. 如图所示, 粗糙水平面上有一弹簧振子, 振子质量 m=1 kg, 弹簧的劲度系数为 k= 100 N/m,振子与水平面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 ? ,? 满足 ? g ? 2m / s 。O 为弹簧
2

处于自然长度时振子所在的位置,今将振子自弹簧伸长量 OA=7cm 的 A 点由静止释放。求: (1)振子由图中的 A 点运动至最左端(设该点为 B)所需的时间 ?t ? ? (2)振子最后停在什么位置?

8. 一物体沿 x 轴在 x1 ? ? A 和 x2 ? A 的区间内作简谐运动, 某人对此物体作随机观察, 则该物体出现在微小间隔 0 ? x ? a 中的概率是多少?

9.如图所示,轻杆 AB 左端 A 被光滑绞链固定,右端 B 被一劲度系数为 k2 的弹簧拉住, 弹簧的上端系于一固定点 D。 杆上的 C 点系有另一劲度系数为 k1 的轻弹簧, 弹簧的下端系有 一质量为 m 的物体。 系统平衡时, 杆恰处于水平而两弹簧轴线均沿竖直方向。 已知 AC ? a , AB=b,求杆绕 A 点在竖直面内作微小振动时的周期。 10.有两个轻质弹簧 I 和Ⅱ,其劲度系数分别为 k1 和 k2 ,按图 (1)和(2)所示的两种方式把它 们连接起来,并在下面悬挂一个质量为 m 的重物(图(2)中重物是悬挂在滑轮 A 的轴上)。设 弹簧和滑轮 A 的质量都可以忽略不计,试分别求出两种连接方式中重物的振动周期。

11.两质量同为 m 的薄木块,用一条质量可以忽略,劲度系数为 k 的弹簧相连,置于靠墙 的光滑水平面上。如图所示,现先把弹簧压缩 d0 然后突然释放。 (1)试论述木块 B 离墙后,两木块相对于它们的中心 C 将作什么运动? (2)试求出反映此运动特征的主要物理量。

12.图是放置在水平面上的两根完全相同的轻质弹簧与一个质量为 m 的物体组成的振子, 每根弹簧的劲度系数均为 k ,弹簧的一端固定在墙上,另一端与物体相连,物体与水平面间 的动摩擦因数和静摩擦因数均为 ? 。当弹簧恰为原长时,物体位于 O 点。现将物体向右拉 离 O 点至 x0 处(不超过弹性限度), 然后将物体由静止释放, 设弹簧在被压缩及拉长时其整体 并不弯曲,一直保持在一条直线上,并规定物体从最右端运动至最左端(或从最左端运动至 最右端)为一个振动过程。求: (1)从释放到物体停止运动,物体经历了怎样的运动过程? (2)从释放到物体停止运动,物体共运动了多长时间? (3)物体最后停在什么位置? (4)整个过程中物体克服摩擦力做了多少功? 13.如图所示,质量 M=0.4 kg 的靶盒位于光滑水平的导轨上,连结靶盒的弹簧的另一 端与墙壁固定,弹簧的劲度系数 k ? 200 N / m 。当弹簧处于自然长度时,靶盒位于 O 点。 P 处有一固定的发射器, 它可以根据需要瞄准靶盒, 每次发射出一颗水平速度 v0 ? 50m / s 、 质量 m=0.10kg 的球形子弹。当子弹打入靶盒后,便留在盒内(假定子弹与盒发生完全非弹性 碰撞), 开始时靶盒静止。 今约定, 每当靶盒停在或到达 O 点时, 都有一颗子弹进入靶盒内。 (1)若相继有 6 颗子弹进入靶盒,问每一颗子弹进入靶盒后,靶离开 O 点的最大距离各 为多少?它从离开 O 点到回到 O 点经历的时间各为多少? (2)若 P 点到 O 点的距离为 s=0.25 m,问至少要发射几颗子弹后停止射击,方能使靶盒 来回运动而又不会碰到发射器。

14.两个劲度系数均为 k 、质量均为 m 的相同弹簧振子 1、2 置于光滑水平台面上,其 固定端分别位于台面的两侧,两物块间又以劲度系数为

3 k 的弹簧相连,如图所示。现两物 2

块在台面上作同频率的简谐运动。试求此振动的频率为多少?

15.三根长度均为 l ? 2.00 m 、质量均匀的直杆,构成一个正三角形框架 ABC,C 点悬挂在一光滑水平转轴上,整个框架可以绕轴无摩擦地转动。杆 AB 是一根导轨,如图所 示。一电动玩具汽车可以在导轨上运动,现观察到小汽车正在导轨上运动,而框架却静止不 动,试论证汽车的运动是一种什么样的运动?

16.沿+x 方向传播的简谐波在 t ? 0 时刻的波形图如图所示。已知该波的振幅为 A,波 速为 v ,波长为 A,试写出该波的方程。

17. 如图所示, 绳中的简谐波沿+x 方向传播, 振幅 A=2 cm, 频率 v=10 Hz, 相距 ? x ? 2cm 的两点 A 和 B 振动的位相差为 ?? ? 为坐标原点,写出此波动的方程。

? 。已知 A 点的振动方程为 y ? A cos 20? t 。试以 B 6

18.将一根长约 100 cm 的均匀弦线,沿水平的 x 轴放置,拉紧并使其两端固定。现对 离固定的右端 25 cm 处(取该处为原点 0,如图所示)的弦上施加一个沿垂直于弦线方向(即 y 轴方向)的扰动,其位移随时间的变化规律如图所示。该扰动将沿弦线传播而形成波(孤立的 脉冲波), 已知该波在弦线中的传播速度为 2.5 cm/s, 且波在传播和反射过程中都没有能量损 失。 (1)试在图中准确地画出自 O 点沿弦向右传播的波在 t=2.5 s 时的波形图。 (2)该波向右传播到固定点时将发生反射,反射波向左传播,反射点总是不动的。这可 以看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加,使反射点的位移始终为零。由此观点出发, 试在图中准确地画出 t=12.5 s 时的波形图。

(3)在图中准确地画出 t ? 10.5 s 时的波形图。

例 1 如图所示,一根长为 2l 的细线,上端与一小圆环 A 相连,环套在光滑的固定水平 杆上,绳下端系有一个小球 B。A 和 B 的质量均为 m,线的质量可忽略不计。开始时细线与 竖直方向的夹角为 ?0 ( ?0 不一定很小),然后放手任其自由摆动。 (1)导出细线与竖直方向成角 ? 时,B 球速度的水平分量的表达式; (2)若另取一摆长为 l 的单摆(上端固定),令其摆线在开始时与竖直方向的夹角也是 ?0 , 试讨论此单摆的周期 T0 与前述装置中小球 B 摆动的周期 T 哪个大。(注意,此时单摆振动已 不是小角度的振动,故其振动周期已不能简单地取为 2?

l ) g

例 2 设想有一单摆,其摆长 l 与地球半径 R 相等,试求此单摆在地球表面附近振动时的 周期 T ? ?已知地球半径为 R ? 6370 km 例 4 一弹簧振子竖直悬挂,另一弹簧系一屏与弹簧振子并排悬挂, 它们沿竖直方向振动 的周期相同,都是 1 s。今有平行光水平将弹簧振子投影在屏上,如图所示。若将振子和屏 都下拉 10 cm,先将屏由静止释放,过时间扯后再将振子由静止释放。为使影子在屏上的振 幅为 5 cm,位应为多少?。

例 5 一只狼沿着半径为 R 的圆形岛边缘按逆时针方向匀速跑动, 当狼经过某点时, 一只 猎犬以相等的速率从岛中心。出发追逐狼。设追逐过程中狼、猎犬和圆心 O 在任一瞬间均 在同一直线上,求猎犬运动的轨迹和追上狼的位置。

例 6 一球形肥皂泡,其中充有空气(不计空气质量),泡外为真空,平衡时其半径为 r0 。 由于受到扰动,肥皂泡作微小的径向膨胀、收缩振动,求其振动周期。设振动过程中泡内空 气温度不变,已知肥皂泡的质量为 m,肥皂膜的表面张力系数为 ? 。

例 7 如图所示,在水平光滑桌面的中心有一光滑小孔 O,一条劲度系数为 k 的轻而细的 弹性绳穿过小孔 O,绳的一端固定在 D 点(D 点位于小孔的正下方),另一端系一个质量为 m 的质点。弹性绳的自然长度等于 OD,现将质点沿桌面拉至 B 处(设 OB=x),并将质点沿垂直 于 OB 的方向以速度 v0 ' 沿桌面抛出。试求: (1)质点绕 O 点转过 90。至 C 处所需的时间; (2)质点到达 C 点时的速度及 C 点至 0 点的距离。

例 8.在光滑水平面上自由放置一轻弹簧,其左端固定,右端系着一物块 P,另一物块 Q 在 P 的右边与它紧靠,Q 的质量是 P 的 2.5 倍。P 与 Q 的右边有一壁与弹簧垂直,物块与此 壁相距 L ?

14? cm 。今使 P、Q 从原来位置向左移一段距离,并令其处于静止状态后予以 13

释放,已知 P 在第一次通过平衡位置后完成一次全振动时,与 Q 恰好发生第一次碰撞,假 设所有碰撞均为弹性正碰,且两物块的大小均可忽略不计。求 (1)开始时弹簧的压缩量 L0 ? ? (2)在 P 与 Q 第一次分离至第一次碰撞的时间内,P 至两物块第一次分离点的最远距离 为多少? (3)在 P 与 Q 第一次碰撞至第二次碰撞的时间内,P 至两物块第一次分离点的最远距离 为多少? (4)图给出了一条余弦曲线,试以两物块第一次相碰时刻为计时起点,在图中画出 P 和 Q 的位移一时间图线,并标出 P 与 Q 第二次相碰的时刻。

例 9 质量为仇的滑块 Q 以速度 v0 向静止在光滑水平面上的弹簧振子撞去,弹簧的劲度 系数为 k ,其两端各连一个质量为 3m 的物块 B 和 C,最初,Q 的左侧面靠墙,右侧面与 B

相距为 L ?

v0 8

3m ? ( ? 1) ,如图所示,设所有碰撞均为弹性正碰,求滑块和弹簧振子最后 2k 2

的运动状态。

例 10 如图所示,劲度系数为 k 的轻弹簧竖直悬挂,下端与一质量为 M 的圆柱体(不能 转动)相连,不可伸长的细线绕过圆柱体,两端分别系有质量为 m1 和 m2 的重物。细绳与圆 柱体之间的摩擦力可忽略不计。试求当两重物同时运动时,圆柱体的振动周期。

例 11 三个质量均为 m 的小球,由两根原长均为 l0 、劲度系数均为 k 的弹簧相连,置于光滑 水平面上,试求此系统稳定振动时的振动周期(只考虑三球在同一直线上运动的情况)。

例 12 图所示的系统中,四根长度均为 l 的轻质刚性杆间用四只质量均为 m 的小球 A、B、 C、 绞接起来(即每根杆可相对于其所连的球发生转动而不可以与之分离)。 D 另有一条自然长 度为 2l 、劲度系数为 k ?

2? 2 mg 的轻弹簧连接于 B、D 两球之间,今将 A 球悬挂于固 l

定点上。求: (1)上述系统平衡时, ?DBA ? ?

(2)设上述系统处于平衡后受外界一微小扰动而使 C 球在竖直方向上发生振动,试求其 振动周期。

例 13 蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器(如图所示)。若干个摆球 位于同一高度并等间距地排列成一条直线,它们的悬挂点在不同的高度上,摆长依次减小。 设重力加速度 g ? 9. m / s 。 80
2

(1)试设计一个包含十个单摆的蛇形摆(即求出每一个摆的摆长),要求满足:(a)每个摆的 摆长不小于 0.450 m,不大于 1.000 m;(b)初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动一 个相同的小位移 x0 ( x0 ?? 0.45m ),然后同时释放,经过 40 s 后,所有的摆能够同时回到 初始状态。 (2)在上述情形中,从所有的摆球开始摆动起,到它们的速率首次全部为零所经过的时 间为多少?

例 14 质量为 m 的一系列小物块用劲度系数为 k 的小弹簧等间距地连结成一排, 构成一条弹 性链。平衡时,相邻物块间的间距为 d,如图所示。当左边的物块作圆频率为∞的左右简谐 运动时, 此运动将自左至右逐渐传播, 使各物块相继作同频率、 同幅度的振动。 ? ?? 设
2

k , m

求此运动传播的速度。


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