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广东省汕头市东里中学2012-2013学年高二理科数学期末统考复习 解析几何(教师版)

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高二理科数学 汕头统考复习――解析几何 基础过关题
一、直线和圆 1、直线方程的五种形式及相互转化: (1)、点斜式:设直线 l 过定点 P( x0,y0 ) ,斜率为 k ,则直线 l 的方程为__________________; (2)、斜截式:设直线 l 斜率为 k ,在 y 轴截距为 b ,则直线 l 的方程为___________________; (3)、

两点式:(4)、截距式:(5)、一般式:直线 l 的一般式方程为_______________________; 2、两直线平行 ? 两直线的倾斜角相等 ? 两直线的斜率相等或两直线的斜率均不存在; 两直线垂直 ? 两直线的斜率互为负倒数或一直线的斜率不存在,另一直线的斜率为 0; 3、两点 ( x1,y1 ) , 2,y 2 ) 间的距离:___________________; (x 点 P( x0,y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离:_______________________; 4、圆的定义:平面上到定点距离等于定长的动点的轨迹; 圆的标准方程:___________________,圆的一般方程:_____________________________________; 练习题 1.过点 (?1,3) 且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A ) A. x ? 2 y ? 7 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

2、如图,在平行四边形 ABCD 中,边 AB 所在直线方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ,点 C (2, 0) 。 (1)直线 CD 的方程为

y B E

2 x ? y ? 4? 0



(2) AB 边上的高 CE 所在直线的方程为

x ? 2 y ? 2? 0

C O A

x

3 、已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于 (C ) (A). 2 (B). 2 ? 2
2

(C). 2 ? 1
2

(D). 1+ 2 ) D、 x ? y ? 3 ? 0

D

4、 经过圆 C : ?x+ ? ? ? y ? 2? ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为( A 1 A、 x ? y ? 3 ? 0 B、 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0

5、过点 A(2,-3) ,B(-2,-5) ,且圆心在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上的圆的方程为 (y+2)2=10 二、圆锥曲线 1.定义:⑴椭圆: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ;⑵双曲线:

(x+1)2+

|| MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ;⑶抛物线:略
2、标准方程。3、几何性质(离心率) 4、双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 b ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a a b a2 b
第1页

(2)若渐近线方程为 y ? ? (3)若双曲线与

x y x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b

2

2

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上; ? ? 0 , a2 b a b
AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或 AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 )2 (弦端点

焦点在 y 轴上). 5、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 练习题

x2 y2 1. 已知椭圆 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为( D 25 16
A、2 B、3 C、5 D、 7 .
2



2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于 3.(2008·天津文)设椭圆 椭圆的方程为 .
x2 m
2

3 2
1 2

+

y2 n
2

2

=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y =8x 的焦点相同,离心率为 ,则此

y2 x =1 ? 16 12

x2 1 ? y 2 ? 1 ,则其渐近线方程为_________,离心率为_______; y ? ? x 4、已知双曲线 2 4
5、已知双曲线

5 2

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 2,则实数 m ? ____12_____; 4 m
x2 a2 ? y2 =1 右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-y=0,设 9

6.(2008·上海春招)已知 P 是双曲线

F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3,则|PF1|= 7、与双曲线
4x 2 y 2 =1. ? 9 4 y x =1 有 共 同 的 渐 近 线 , 且 过 点 ( -3 , 2 ? 9 16
2 2

. 5
3 ) 则双曲线的标准方程. ;

8、 (08-09 汕头高二统考)抛物线 y ? 4 x2 的焦点到准线的距离是( (A)4
2

D



(B)2

(C)

1 4

(D)

1 8
. y =8x
2

9.抛物线 y =24ax(a>0)上有一点 M, 它的横坐标是 3, 它到焦点的距离是 5, 则抛物线的方程为

典型例题
例 1(09-10 汕头高二统考) 已知椭圆 C:

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) ,且椭圆上的任一点到两个焦点的距离之和为 4。 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 F 是椭圆 C 的左焦点,判断以 PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由。

第2页

x2 y 2 .解: (1)依题意知:椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的半长轴 a ? 2 ,……………… 2 分 a b
又椭圆经过点 P ? 1 , ?, ∴

? ?

3? 2?

1 9 ? 2 ?1, 4 4b

解得: b ? 3 ,
2

………………5 分

x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 4 3
(2)∵ a ? 4 , b ? 3 ,∴ c ? a2 ? b2 ? 1.
2

………………6 分

2

∴椭圆 C 的左焦点坐标为 ? ?1 , ? . 0

………………8 分

以椭圆 C 的长轴为直径的圆的方程为 x 2 ? y 2=4 ,圆心坐标是 ? 0, ? ,半径为 2. 0

5 3 25 3 以 PF 为直径的圆的方程为 x ? ? y ? ? ? ,圆心坐标是 ? 0, ? ,半径为 . ? ? ? ? 4 4 ? 16 ? 4? ?
2 2

………………12 分

5 ?3 ? 3 ∵两圆心之间的距离为 ? 0 ? 0 ? ? ? ? 0 ? = = 2 ? , 4 ?4 ? 4 故以 PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
2

2

………………14 分

练习题 1、设中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的渐进线方程是 y= ?

2 x,且过点( 3 ,2),

求: (1) 双曲线的标准方程 (2) 过点 P(2,1)能否作一条直线 l ,与双曲线交于 A、B 两点,且点 P 是 线段 AB 的中点?请说明原因。 解:(1) 由题意可设双曲线的标准方程为 y 2 ? 2x2 ? ? (? ? 0) 则 ? ? 4-2X3=-2 故双曲线的标准方程为 x 2 ?
y2 ?1 2

(2)存在 假设存在这样的直线,设其斜率为 k(斜率不存在时不满足) 则直线 l 的方程为 y-1=k(x-2) ,即 y=kx+1-2k. 设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,P(x,y) . 把 y=kx+1-2k 代入双曲线的方程 x2-
x1 ? x2 k (1 ? 2k ) = . 2 2 ? k2
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y2 =1,得 2

(2-k2)x2-2k(1-2k)x-(1-2k)2-2=0(2-k2≠0) ① . 所以,x=

由题意,得

k (1 ? 2k ) =2. 2 ? k2

解得 k=4. 当 k=4 时,方程①成为 14x2-56x+51=0. 根的判别式 △=562-56×51=280>0,方程①有实数解. 所以,直线 l 存在,方程为 y=4x-7.
练习题2、已知动圆过定点 F (0, 2) ,且与定直线 L : y ? ?2 相切. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)若 AB 是轨迹 C 的动弦,且 AB 过 F (0, 2) , 分别以 A 、 B 为切点作轨迹 C 的切线,设两切线交点 为 Q ,证明: AQ ? BQ .

(1)依题意,圆心的轨迹是以 F (0, 2) 为焦点, L : y ? ?2 为准线的抛物线上……3 分

因为抛物线焦点到准线距离等于 4, 所以圆心的轨迹是 x2 ? 8 y ………………6 分 (2)?直线AB与x轴不垂直, 设AB : y ? kx ? 2. A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). ………………8 分

? y ? kx ? 2, ? 由? 可得 x2 ? 8kx ?16 ? 0 , 1 y ? x2 . ? 8 ?
抛物线方程为 y ?

x1 ? x2 ? 8k , x1 x2 ? ?16

………11 分

1 2 1 x , 求导得 y ? ? x. 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 8 4 1 1 k1 ? x1 , k 2 ? x2 。 ………12 分 4 4 1 1 1 k1 ? k2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ?1 ………13 分 4 4 16

所以, AQ ? BQ

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