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河北衡水中学高三毕业班第二次模拟考试数学(理)试题(扫描版)


河北衡水中学高三毕业班第二次模拟考试

数学(理科答案)

当 x ? ?1 时, f ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? ??? ? x
' 2 3

2012

1 ? x 2013 ? ? 0 也成立, 1? x

即 f ' (

x) ? 1 ? x ? x 2 ? x3 ? ??? ? x 2010 ? 0 恒成立, 所以 f ( x) ? 1 ? x ?
x 2 x3 x 4 x 2013 在 R 上单调递增. ? ? ? ??? ? 2 3 4 2013

1 1 ? ? 1 1? ? f (0) ? 1, f ? ?1? ? ?1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? ? 0, ? 2 3? ? 2012 2013 ?

f ? x ? 的惟一零点在 ? ?1, 0? 内, f ? x ? 4 ? 的惟一零点在 ? ?5, ?4? 内.

同理 g ? x ? 4 ? 的惟一零点在 ?5, 6? 内,因此 b ? 6, a ? ?4, a ? b ? 2. 二、填空题: 13.-33 15.
4 3 3

14. 16.

3? + 3 2
? 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明

过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (I)设等差数列 {a n } 的公差为 d,由 (a2 )2 ? a1 ? a4 ,…………2 分
2 又首项为 2 ,得 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d ) ,

因为 d ? 0 ,所以 d ? 2 ,……………4 分 所以 an ? 2n .………………6 分

因为 PM 在平面 PMN 内, 所以 PM∥平面 ABC.………………5 分

则 HG ? CD , 所以 ?HGR 为二面角 H ? PC ? E 的平面角,………………10 分 所以在直角 ?HRG 中 tan ?HGR ? 所以 cos ?HGR ?
HR 1 ? , RG 4

4 17 4 17 ,所以二面角 H ? PC ? E 的余弦值为 . 17 17

解法二: ( Ⅰ ) 存 在 点 M , 当 M 为 线 段 AE 的 中 点 时 , PM ∥ 平 面
BCA ,………1 分

建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 , 则
A?0,0,2? , M ?0,0,1? , P?2,1,0? , B?0,2,0? C ?2,2,0? ,
AB 中点 F ?0,1,1? ,

所以 PM ? ? ?2, ?1,1? , BC ? ?2,0,0? , AB ? ?0,2,?2? , EF ? ?0,1,1? 可 知 EF ? BC ? 0 , EF ? AB ? 0 , ? EF ? 平 面

ABC ,…………3 分

又 EF ? PM ? 0 ,
? PM // 平面 ABC .……………5 分

? y0 ? 0; 则由 n ? PC ? 0 , n ? PH ? 0 ,可得 ? ,则 n ? ( 1 ,0, 2) , ? 1 1 2 ?2 x ? y ? z ? 0. ? ? 2 2

平面 PBE 的一个法向量为 EA ? ?0,0,2? ,…………………10 分 设二面角 H ? PC ? E 的大小为 ? , 则 cos ? ?
n ? EA n ? EA ? 4 17 . ……………………12 分 17

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设商店某天销售 A 商品获得的利润为 ? (单位:元) 当需求量为 3 时, Y ? 15 ? 3 ? 5 ? (4 ? 3) ? 40 当需求量为 4 时, Y ? 15 ? 4 ? 60 , 当需求量为 5 时, Y ? 15 ? 4 ? 60 , ………………2 分 ,

? 的分布列为
Y P

40
0.3

60 0.7

……………4 分 则 E (? ) ? 40 ? 0.3 ? 60 ? 0.7 ? 54 (元) 所 以 商 店 该 天 销 售 A 商 品 获 得 的 利 润 均 值 为 元.……………………………6 分 (Ⅱ)设销售 A 商品获得的利润为 Y, 依题意, 视频率为概率,为追求更多的利润, 则商店每天购进的 A 商品的件数取值可能为 3 件,4 件,5 件. 当购进 A 商品 3 件时,
E (Y ) = [(30 ? 15) ? 3] ? 0.3 ? [(30 ? 15) ? 3] ? 0.4 ? [(30 ? 15) ? 3] ? 0.3 ? 45 ,

54

当购进 A 商品 4 件时,
E (Y ) =

[(30 ? 15) ? 3 ? (15 ? 10) ?1] ? 0.3 ? [(30 ? 15) ? 4] ?

x 70 ? x ? [(30 ? 15) ? 4] ? ? 54 100 100

……………8 分

由 MP ? MF ? FP ? FM , 得 y ? x 2 , 动 点 P 的 轨 迹 E 的 方 程 为
y ? x 2 .………………4 分

则 S ?| y 2 ? y1 | ( y1 ? y 2 ) , 所以 S 2 ? [( y1 ? y2 ) 2 ?4 y1 y2 ]( y1 ? y2 ? 2 y1 y2 ) ? (7 ? 2 16 ? r 2 )(4r 2 ? 15) , ………… 8分 设 t ? 16 ? r 2 得 t ? (0, )
f (t ) ? S 2 ,
7 2

代 入 上 式 , 则 S 2 ? (7 ? 2t ) 2 (7 ? 2t ) , 并 令

7 f ( t ) ? (7 ? 2t ) 2 (7 ? 2t ) ? ?8t 3 ? 28t 2 ? 98t ? 343(0 ? t ? ) , 2

∴ f `( t ) ? ?24t 2 ? 56t ? 98 ? ?2( 2t ? 7)(6t ? 7) ,……………10 分 令 f `( t ) ? 0 得 t ? ,或 t ? ? (舍去) 当 0 ? t ? 时, f `( t ) ? 0 ;当 t ? 时 f `( t ) ? 0 ;当 ? t ? 时, f `( t ) ? 0 故当且仅当 t ? 时, f ( t ) 有最大值,即四边形 ABCD 的面积最大,此时
r2 ? 527 , 36 527 36 .……………12 分

7 6

7 2

7 6

7 6

7 6

7 2

7 6

圆的方程为 x 2 ? ( y ? 4) 2 ?

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)定义域为 (??, ? ?) , f ' ( x) ? e 2 x ? a , 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (??, ? ?) 上为增函数;………………2 分 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 当 x?(
ln a ln a ,且当 x ? (??, ) 时, f ' ( x) ? 0 , 2 2

ln a , ? ?) 时 f ' ( x) ? 0 , 2 ln a ln a 所 以 f ( x) 在 x ? (??, ) 为 减 函 数 , 在 x ? ( , ? ?) 为 增 函 2 2

数.………………4 分

设为 ? ,即 e 2? ? 2? ? 3 ,且 ? ? ( , ; 1 ) 由上可知当 x ? (0,? ) 时 L( x) ? 0 ,即 h' ( x) ? 0 ;当 x ? (?, ? ?) 时 L( x) ? 0 , 即 h' ( x ) ? 0 , 所以 h( x) ? 10 分 把 e 2? ? 2? ? 3 代 入 上 式 可 得 h(? ) ? ? ? , 又 因 为 ? ? ( , 1 ), 所 以
3 h(? ) ? ( 1, ) , 2 1 2 1 2 x ?1 ? ?1 有最小值 h(? ) ? 2? ? ? , …………… ? x ,x ? (0, ? ?) , 2x e ?1 e ?1

1 2

又 m ? h( x) 恒成立,所以 m ? h(? ) ,又因为 m 为整数, 所以 m ? 1 ,所以整数 m 的最大值为 1.…………………12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 解 :( Ⅰ ) 连 结 BD , 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , 易 知
AC ? 5 , ?BDC ? ?ADB ? 90 0 ,…………2 分

所以 ?BDC ? ?ABC ,又因为 ?C ? ?C ,所以 ?ABC 与 ?BDC 相似,

所以 分

BC 2 9 CD BC ,所以 CD ? ? .…………5 ? AC 5 BC AC

(Ⅱ)当点 E 是 BC 的中点时, 直线 ED 与圆 O 相切.……………6 分 连接 OD ,因为 ED 是直角三角形 ?BDC 斜边的 中线,所以 ED ? EB ,所以 ?EBD ? ?EDB ,因为
OD ? OB ,所以 ?OBD ? ?ODB ,………………8 分

所以 ?ODE ? ?ODB ? ?BDE ? ?OBD ? ?EBD ? ?ABC ? 90 0 ,所以直线 ED 与 圆 O 相切.……………10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解 :( Ⅰ ) 法 一 : a ? 2 2 时 , 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 为
( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ,……………2 分

联立①②解得 ?

?x ? 0 ?x ? 4 (舍)或 ? ?y ? 0 ? y ? ?4

所以点 A 的直角坐标为(4,-4)…………5 分

所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .…………………10 分 5

法二:圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 , 将?
? x ? 2t 化为标准参数方程 ? y ? 4t

2 ? x? m ? 10 10 20 ? 代入得 m 2 ? am ? 0 ,解得 m1 ? 0, m2 ? ? a, ? 5 5 ?y ? 4 m ? 20 ?

∴d= | m1 ? m2 | = ,所以

10 a ,…………………8 分 5

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .…………………10 分 5

法三:圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 ,

直线 l 的方程为 y=2x. 联立 ?
? x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 ? y ? 2x

得 5 x 2 ? 2ax ? 0 解得 x1 ? 0, x 2 ? ?
2 a 5
10 a ,…………………8 分 5

∴d= 2 2 ? 1 | x1 ? x 2 | = 所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .………………10 分 5


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